版高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明第36讲合情推理与演绎推理学案.docx
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版高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明第36讲合情推理与演绎推理学案
第36讲 合情推理与演绎推理
考纲要求
考情分析
命题趋势
1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理.了解合情推理在数学发现中的作用.
2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理.
3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.
2017·全国卷Ⅰ,12
2016·北京卷,8
2015·江苏卷,11
2015·福建卷,15
合情推理一般以新定义、新规则的形式考查集合、函数、不等式、数列等问题;而演绎推理常结合函数、方程、不等式、解析几何、立体几何、数列等问题中的证明来考查.
分值:
5分
1.合情推理
(1)归纳推理
①定义:
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的__全部对象__都具有这些特征的推理,或者由个别的事实概括出一般结论的推理.
②特点:
是由__部分__到__整体__、由__个别__到__一般__的推理.
(2)类比推理
①定义:
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有__这些特征__的推理.
②特点:
是由__特殊__到__特殊__的推理.
2.演绎推理
(1)演绎推理
从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之,演绎推理是由__一般__到__特殊__的推理.
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式
①大前提——已知的__一般原理__.
②小前提——所研究的__特殊情况__.
③结论——根据一般原理,对__特殊情况__做出的判断.
1.思维辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理.( × )
(2)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.( × )
(3)“所有3的倍数都是9的倍数,若数m是3的倍数,则m一定是9的倍数”,这是三段论推理,但其结论是错误的.( √ )
(4)在演绎推理中,只要符合演绎推理的形式,结论就一定正确.( × )
解析
(1)错误.归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理;类比推理是由特殊到特殊的推理.
(2)错误.平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适.
(3)正确.因为大前提错误,所以结论错误.
(4)错误.演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时,得到的结论一定正确.
2.命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是( C )
A.使用了归纳推理
B.使用了类比推理
C.使用了“三段论”,但推理形式错误
D.使用了“三段论”,但小前提错误
解析由条件知使用了三段论,但推理形式是错误的.
3.数列2,5,11,20,x,47,…中的x=( B )
A.28 B.32
C.33 D.27
解析由5-2=3,11-5=6,20-11=9.
则x-20=12,因此x=32.
4.给出下列三个类比结论:
①(ab)n=anbn与(a+b)n类比,则有(a+b)n=an+bn;
②loga(xy)=logax+logay与sin(α+β)类比,则有sin(α+β)=sinαsinβ;
③(a+b)2=a2+2ab+b2与(a+b)2类比,则有(a+b)2=a2+2a·b+b2.
其中结论正确的个数是( B )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析只有③正确.
5.观察下列不等式:
1+<,
1++<,
1+++<,
…
按此规律,第五个不等式为__1+++++<__.
解析观察得出规律,左边为项数个连续自然数平方的倒数和,右边为项数的2倍减1的差除以项数,即1+++++…+<(n∈N*,n≥2),
所以第五个不等式为1+++++<.
一 类比推理
(1)进行类比推理,应从具体问题出发,通过观察、分析、联想进行对比,提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键.
(2)类比推理常见的情形有:
平面与空间类比、低维与高维的类比、等差与等比数列类比、运算类比(加与乘、乘与乘方、减与除、除与开方)、数的运算与向量运算类比、圆锥曲线间的类比等.
【例1】
(1)若数列是等差数列,则数列也为等差数列.类比这一性质可知,若正项数列是等比数列,且也是等比数列,则dn的表达式应为( D )
A.dn= B.dn=
C.dn= D.dn=
(2)在平面几何中:
△ABC的∠C内角平分线CE分AB所成线段的比为=.把这个结论类比到空间:
在三棱锥A-BCD中(如图),平面DEC平分二面角A-CD-B,且与AB相交于E,则得到类比的结论是__=__.
解析
(1)若{an}是等差数列,则a1+a2+…+an=na1+d,∴bn=a1+d=n+a1-,即{bn}为等差数列;若{cn}是等比数列,则c1·c2·…·cn=c·q1+2+…+(n-1)=c·q,
∴dn==c1·q,即{dn}为等比数列,故选D.
(2)由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得=.
二 归纳推理
归纳推理中几种问题的处理技巧
(1)与等式或不等式“共舞”问题.观察所给的几个等式或不等式两边式子的特点,注意是纵向看,发现隐含的规律.
(2)与数列“牵手”问题.先求出几个特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所含的范围,从而由特殊的结论推广到一般结论.
(3)与图形变化“相融”问题.合理利用特殊图形归纳推理得出结论,并用赋值检验法验证其真伪性.
【例2】观察下列等式:
12=1;
12-22=-3;
12-22+32=6;
12-22+32-42=-10;
…
依此规律,第n个等式可为__12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1·__.
解析第n个等式的左边第n项应是(-1)n+1n2,
右边数的绝对值为1+2+3+…+n=,
故有12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1·.
【例3】观察下列的图形中小正方形的个数,则第6个图中有__28__个小正方形.
解析第1~5个图形中分别有3,6,10,15,21个小正方形,它们分别为1+2,1+2+3,1+2+3+4,1+2+3+4+5,1+2+3+4+5+6,因此an=1+2+3+…+(n+1).故a6=1+2+3+…+7==28,即第6个图中有28个小正方形.
【例4】(2016·山东卷)观察下列等式:
-2+-2=×1×2;
-2+-2+-2+-2=×2×3;
-2+-2+-2+…+-2=×3×4;
-2+-2+-2+…+-2=×4×5;
…
照此规律,
-2+-2+-2+…+-2=__n(n+1)__.
解析通过观察已给出等式的特点,可知等式右边的是个固定数,后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半,后面第二个数是第一个数的下一个自然数,所以,所求结果为×n×(n+1),即n(n+1).
三 演绎推理
演绎推理是从一般到特殊的推理;其一般形式是三段论,应用三段论解决问题,应当首先明确什么是大前提和小前提,若前提是显然的,则可以省略.
【例5】数列的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=·Sn(n∈N*),证明:
(1)数列是等比数列;
(2)Sn+1=4an.
证明
(1)∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=Sn,
∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即nSn+1=2(n+1)Sn,
∴=2·,又=1≠0,(小前提)
故是以1为首项,2为公比的等比数列.(结论)
(2)由
(1)可知=4·(n≥2),
∴Sn+1=4(n+1)·=4··Sn-1=4an(n≥2),(小前提)
又a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提)
∴对于任意正整数n,都有Sn+1=4an.(结论)
1.(2018·安徽淮南模拟)从1开始的自然数按如图所示的规则排列,现有一个三角形框架在图中上下或左右移动,使每次恰有九个数在此三角形内,则这九个数的和可以为( B )
A.2011 B.2012
C.2013 D.2014
解析根据题图所示的规则排列,设最上层的一个数为a∈N*,则第二层的三个数为a+7,a+8,a+9,第三层的五个数a+14,a+15,a+16,a+17,a+18,这9个数之和为a+3a+24+5a+80=9a+104.由9a+104=2012,得a=212,是自然数,故选B.
2.(2018·江西临川一中模拟)已知12=×1×2×3,12+22=×2×3×5,12+22+32=×3×4×7,12+22+32+42=×4×5×9,则12+22+…+n2=__n(n+1)(2n+1)(n∈N*)__(其中n∈N*).
解析根据题意可归纳出12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1),下面给出证明:
(k+1)3-k3=3k2+3k+1,则23-13=3×12+3×1+1,33-23=3×22+3×2+1,…,(n+1)3-n3=3n2+3n+1,累加得(n+1)3-13=3(12+22+…+n2)+3(1+2+…+n)+n,整理得12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1),故填n(n+1)(2n+1).
3.用火柴棒摆“金鱼”,如图所示,按照下面的规律,第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为__6n+2__.
…
解析由题意知,图②的火柴棒比①的多6根,图③的火柴棒比图②的多6根,而图①的火柴棒的根数为2+6,∴第n条小鱼需要(2+6n)根.
4.(2018·北京海淀模拟)若f(a+b)=f(a)f(b)(a,b∈N*),且f
(1)=2,则++…+=__2_018__.
解析利用三段论.
因为f(a+b)=f(a)f(b)(a,b∈N*),(大前提)
令b=1,则=f
(1)=2,(小前提)
所以==…==2.(结论)
所以原式==2018.
易错点 类比不当
错因分析:
从平面类比到空间时,缺乏对对应特点的分析,无法得到正确结论.
【例1】在Rt△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC于D,求证:
=+,那么在四面体A-BCD中,类比上述结论,你能得到怎样的猜想,并说明理由.
解析如图
(1)所示,由射影定理知AD2=BD·DC,
AB2=BD·BC,AC2=BC·DC,
∴=
==.
又BC2=AB2+AC2,∴==+,
∴=+.
四面体A-BCD中,AB,AC,AD两两垂直,AE⊥平面BCD于E,
则=++.
证明如下:
如图
(2),连接BE交CD于F,连接AF.
∵AB⊥AC,AB⊥AD,
∴AB⊥平面ACD.而AF⊂平面ACD,∴AB⊥AF.
在Rt△ABF中,AE⊥BF,∴=+.
在Rt△ACD中,AF⊥CD,=+.
∴=++.
【跟踪训练1】在等差数列{an}中,若a10=0,则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立.类比上述性质,相应地:
在等比数列{bn}中,若b9=1,则有等式__b1·b2·…·bn=b1·b2·…·b17-n(n<17,n∈N*)__成立.
解析在等差数列{an}中,由a10=0,得:
a1+a19=a2+a18=…=an+a20-n=an+1+a19-n=2a10=0,
∴S19=a1+a2+…+an+…+a19=0(n<19),
即a1+a2+…+an=-a19-a18-…-an+1,
又∵a1=-a19,a2=-a18,…,a19-n=-an+1,
∴a1+a2+…+an=-a19-a18-…-an+1=a1+a2+
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- 高考 数学 一轮 复习 第六 不等式 推理 证明 36 合情 演绎