勾股定理知识与题型总结及测试题含答案Word文档下载推荐.docx
- 文档编号:13550768
- 上传时间:2022-10-11
- 格式:DOCX
- 页数:16
- 大小:196.21KB
勾股定理知识与题型总结及测试题含答案Word文档下载推荐.docx
《勾股定理知识与题型总结及测试题含答案Word文档下载推荐.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《勾股定理知识与题型总结及测试题含答案Word文档下载推荐.docx(16页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
若,则△ABC是以∠C为90°
的直角三角形。
若,则△ABC不是直角三角形。
补充知识:
当时,则是锐角三角形;
当时,则是钝角三角形。
(4)通过总结归纳,记住一些常用的勾股数。
如:
3,4,5;
5,12,13;
6,8,10;
8,15,17;
9,40,41;
……以及这些数组的倍数组成的数组。
勾股数组的一般规律:
1丢番图发现的:
式子的正整数)
2毕达哥拉斯发现的:
(的整数)
3柏拉图发现的:
3、勾股定理与勾股定理逆定理的关系
(1)注意分清应用条件:
勾股定理是由直角得到三条边的关系,勾股定理逆定理则是由边的关系来判断一个角是否为直角。
(2)根据课标要求,对原命题、逆命题及命题之间的关系只要求根据例子了解即可,不必专门训练.
二、本章解题技能归纳
1、直角三角形的性质与判定小结
(1)直角三角形的性质:
角的关系:
直角三角形两锐角互余。
边的关系:
直角三角形斜边大于直角边。
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
边角关系:
直角三角形中,30°
的角所对的直角边等于斜边的一半。
双垂图:
双垂图中的线段关系。
(2)直角三角形的判定:
①有一个角是直角的三角形是直角三角形。
②有两个角互余的三角形是直角三角形。
③两边的平方和等于第三边(最长的边)的平方的三角形是直角三角形。
2、已知直角三角形的两边长,会求第三边长
设直角三角形的两直角边为a,b,斜边长为c,由勾股定理知道:
。
变形得:
,因此已知直角三角形的任意两边,利用勾股定理可求出第三条边。
3、当直角三角形中含有30°
与45°
角时,已知一边,会求其它的边
(1)含有30°
的直角三角形的三边的比为:
1:
(2)含有45°
(3)等边三角形的边长为,则高为,面积为。
三、阅读与思考——“希波克拉底月牙形”
(1)如左图:
∠C=90°
,图中有阴影的三个半圆
的面积S1,S2,S3有什么关系?
答:
(2)如图:
,△ABC的面积为20,在AB的同侧,分别以AB,BC,AC为直径作三个半圆,则阴影部分(即“希波克拉底月牙形”)的面积为
勾股定理知识技能和题型归纳
(二)——题型
一、基础练习(要求熟练掌握)
1、在ΔABC中,a,b,c为三边长.
(1)当∠A=90°
时,三边关系.
(2)当∠C=90°
(3)当时,=90°
.
2、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
,BC=a,AC=b,AB=c.
(1)已知a=5,b=12,则c=;
(2)已知b=6,c=10,则a=
(3)已知a=2,c=,则b=;
(4)已知a=15,b=20,则△ABC的周长=;
(5)已知a=2,c=2.5,则△ABC的面积=;
(6)已知a:
c=3:
5,a+c=32,则b=;
(7)已知c=10,a:
b=3:
4,则a=,b=,斜边上的高=。
3、已知△ABC是直角三角形,AC=3,BC=5,求AB的长。
4、在△ABC中,∠C=90°
,AB=20。
(1)若∠B=45°
,求BC、AC。
(2)若∠A=60°
5、求下列图中未知数x、y、z的值:
x=;
y=;
z=;
二、与其它章节知识的联系
6、在△ABC的三边,且,判断△ABC的形状。
7、若△ABC的三边满足条件,判断
△ABC的形状。
8、△ABC的三边,满足边的长是的解,求△ABC中最大角的度数。
9、用本章学过的知识判断直线与的位置关系,说明理由。
10、在B港有甲、乙两艘渔船,若甲船沿北偏东60°
方向以每小时8海里的速度前进,乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进,2小时后,甲船到M岛,乙船到P岛,两岛相距34海里,你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?
11、为美化环境,计划在某小区内用30平方米的草皮铺设一边长为10米的等腰三角形绿地,请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。
12、如图,铁路上A、B两站(视为直线上两点)相距25千米,C、D为两个村庄(视为两个点),DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,DA=15千米,CB=10千米,现要在铁路上建设一个土特产收购站E,使得C、D两村到E的的距离相等,则E应建在距A多少千米处?
13、在河L的同侧有两个仓库A、B相距1640米,其中A距河210米,B距河570米,现要在河岸上建一个货运码头,使得两仓库到码头的路程和最短,问:
这个最短路程是多少?
码头应建在何处?
三、典型数学思想、方法的训练
(一)方程思想进行计算
14、小明用一根长30厘米的绳子折成三段,围成一个三角形,他用尺子量了一下,其中一条线段的长度比较短线段长7厘米,比较长线段短1厘米,请你帮助小明判断一下,他围成的三角形是直角三角形吗?
15、已知△ABC中,∠C=90°
,D、E分别为BC、AC的中点,AD=5,BE=,求AB的长.
16、有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面1尺。
如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面。
这个水池的深度与这根芦苇的长度分别为多少?
17、如图所示.已知:
在正方形ABCD中,∠BAC的平分线交BC于E,
作EF⊥AC于F,作FG⊥AB于G.求的值.
(二)构造直角三角形
18、已知△ABC中,AB=8,AC=7,BC=6,求△ABC的面积。
19、已知△ABC中,∠B=30°
,∠C=45°
,AB-AC=2-,求BC的长。
20、已知:
如图,AB=AC=20,BC=32,
D为BC边上一点,∠DAC=90°
.求BD的长.
21、
(1)写出三种用“构造斜边长为的直角三角形的方法”作长为的线段的方案。
(2)能否通过“构造直角边长为的直角三角形的方法”来作长为的线段?
若能,写出三角形的三边;
若不能,说明理由。
(3)在
(1)中,作长为的线段,往往需要先作出其它长为无理数的线段才能求出长为的线段,对于正整数,能否通过构造两边均为有理数的直角三角形求出作长为的线段?
若能,请写出此时三角形三边之间的关系;
若不能,请说明理由。
(三)勾股定理与变换
22、已知矩形ABCD沿直线BD折叠,使点C落在同一平面内C处,BC与AD交于点E,AD=8,AB=4,求DE的长。
23、(2004年荆州中考)一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种证明方法。
如图,火柴盒的一个侧面ABCD倒下到的位置,连结,设,请利用四边形的面积证明勾股定理。
24、△ABC中,CD是AB边上的中线,AC=8,BC=6,CD=5,判断△ABC的形状。
(四)面积法:
25、设表示三角形的三条高,如果,那么这个三角形是什么三角形?
26、证明:
直角三角形的斜边与斜边上的高的和大于两直角边之和。
27、已知:
平面直角坐标系xOy内,点A(),B(),C(0,-3),
(1)判断的形状并说明理由;
(2)若点D的坐标为,求中CD边上的高h的值.
28.如图,已知直线与x轴、y轴分别
交于点A、B,以线段AB为直角边在第一象限内
作等腰RtΔABC,∠BAC=90O,且P(1,a)为坐标系中
的一个动点.
(1)求ΔABC的面积;
(2)证明不论a取任何实数,ΔBOP的面积是一个常数;
(3)要使得ΔABC和ΔABP的面积相等,求实数a的值.
(五)代数计算证明几何问题:
29、求证:
直角三角形中两直角边上的中线的平方和的4倍等于斜边平方的5倍.
30、如图△ABC中,∠C=90°
,M是CB的中点,MD⊥AB于D,
请说明三条线段AD、BD、AC总能构成一个直角三角形。
31、正方形ABCD的边长为4,E为AB中点,AF=,求证:
CE⊥EF.
32、
(1)已知:
如图,CD⊥AB,OA>OB,
求证:
①;
②.
(2)运用
(1)的结论可以证明下列命题:
已知:
如图,设M是△ABC内部任意一点,
MD⊥AB于G,ME⊥BC于K,MF⊥CA于H,
BD=BE,CE=CF,求证:
AD=AF;
(六)图形的割、补与拼图
33、已知:
如图,四边形ABCD中,AB=3,BC=4,
CD=5,AD=5,∠B=90°
,求四边形ABCD的面积。
第33题图
34、一块四边形的草地ABCD,其中∠A=60°
∠B=∠D=90°
AB=20m,CD=10m,求这块草地的面积.
第34题图
35、有十字形,它由五个全等的正方形组成,如图所示,你能把它切成三块,拼成一个长是宽的2倍的长方形吗?
(先计算,再拼图)
备用图:
36、现有一张长为6.5,宽为2的纸片,请你将它分割成6块,再合并成一个正方形,要求先画出分割线,再拼成正方形并证明你的方法的正确性。
(七)运动、开放与探究
37、在△中,设当∠C=90°
时,根据勾股定理有
;
若△不是直角三角形,请你类比勾股定理,试猜想
与的关系,并证明你的结论。
38、如图,M是Rt△ABC斜边AB的中点,
P、Q分别在AC、BC上,PM⊥MQ,
判断的数量关系并证明你的结论.
39、△ABC中,AB=AC=4,点P在BC边上运动,猜想的值是否随点P位置的变化而变化,并证明你的猜想.
40、已知:
矩形ABCD.(四个角是直角)
①P为矩形内一点(如图a),求证:
;
②探索P运动到AD边上(如图b)、矩形ABCD外(如图c)时,结论是否仍然成立.
41、探索勾股数的规律:
观察下列各组数:
(3,4,5)(5,12,13)(7,24,25)(9,40,41)……,可发现:
,请你写出第k个数组:
.
四、格点问题(中考出现的较热门的新题型)
42.(2007金华中考)如图,在由24个边长都为1的小正三角形的网格中,点是正六边形的一个顶点,以点为直角顶点作格点直角三角形(即顶点均在格点上的直角三角形),请你写出所有可能的直角三角形斜边的长.
备用图
43.在大小为4×
4的正方形方格中,三个顶点都在单位小正方形的顶点上的直角三角形共有多少个?
(全等的三角形只算一个)
勾股定理
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 勾股定理 知识 题型 总结 测试 答案
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)