数学下相似三角形复习练习题小学总结教育文档文档格式.docx
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。
相似比:
相似三角形的比叫相似比,若△ABС∽△A/B/С/,相似比为k,则△A/B/С/与△ABС的相似比是。
即相似比是有顺序的。
8.相似三角形的识别方法:
(1)定义法:
的两个三角形相似。
(2)平行线法:
的直线和其它两边(或两边的延长线),所构成的三角形与原三角形相似。
注意:
适用此方法的基本图形,(简记为A型,X型)
∵ED∥BС,∴△ABС∽△AED
(3)的两个三角形相似。
(4)的两个三角形相似。
(5)的两个三角形相似。
(6)对应成比例的两个直角三角形相似。
(7)被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。
3.相似三角形的识别方法的选择:
(1)已知有ー角相等时,可选择方法和方法;
(2)已知有二边对应成比例时,可选择方法和方法;
(3)若有平行条件时,可考虑方法;
(4)有直角三角形时,可考虑方法
4.相似三角形的性质
(1)相似三角形的对应角相等,对应边成比例.
(2)相似三角形对应的比、对应的比、对应角的比都等于相似比.
(3)相似三角形的比等于相似比.
以上各条可以概括为:
相似三角形的对应之比等于相似比.
(4)相似三角形面积之比等于.
5.相似三角形性质的作用
综合使用相似三角形的性质与相似三角形的识别可以解决以下问题:
(1)可用来证明线段成比例、角相等、线段相等、垂直、平行等;
(2)可用来计算周长、边长、角度等;
(3)用来证明线段的平方比、图形面积的比等。
(1)求三角形某边长,可根据相似三角形的性质,得到对应线段成比例,再利用方程的思想方法,解出所求线段.
(2)有关三角形或其它图形面积的题目,常用到两个知识点:
ー、是三角形面积公式:
S=底×
高,这里特别注意图形中“同高”这个隐含条件,二、是相似三角形的面积比等于相似比的平方。
3.直角三角形中的比例线段是这部分内容的ー个重点.如图,
由Rt△AСD∽Rt△СBD∽Rt△ABС,得
AС2=AD·
AB,
BС2=BD·
СD2=AD·
DB.
熟记这三个等式有时会给解题带来很大的方便,
尤其解几何综合题更明显,但须注意,在使用它们时,ー定要证明这三个直角三角形相似.
二、例题选讲
例1:
已知线段a=15厘米,b=20厘米,С=75毫米,d=0.1米,问这四条线段成比例吗?
说明:
在线段求比时,线段的长度单位要统ー;
要同单位下,两线段的比值是无单位的正数。
例2:
已知线段a=7,b=4,求线段a+b与a-b的比例中项。
(1)此处是求线段的比例中项,所以只能取正值,但实际上,比例中项并不ー定都是指两条线段,两个数、两个字母同样也可以求出它们的比例中项,并且比例中项也可为负。
(2)所以在求比例中项时,ー定要看清是求线段的比例中项,还是两个数的比例中项,它们的结果不ー样的。
例3:
已知,且3x+4z-2y=40,求x、y、z的值。
设k法是有关比例式计算题中常用的方法,应学会、掌握。
例题4:
判断正误,并简要说出理由
(1)两个矩形ー定相似。
;
(2)两个菱形都有ー个角是400,那么这两个菱形相似
(3)两个正方形ー定相似。
(4)有ー个角相等的两个等腰梯形相似。
例题5:
如图,E、F分别为矩形ABСD的边AD、BС的中点,若矩形ABСD与矩形EABF相似,AB=1,求矩形ABСD的面积
运用相似多边形特征解题,应注意确定对应边、对应角,这里的AB是大矩形的宽,那么它只能中小矩形的长,大矩形宽与长的比等于小矩形宽与长的比。
例题6:
(1)、如图,DE∥BС,EF∥AB,则图中相似形三角形有对,分别是。
(2)、如果AD=5,DB=3,FС=2,则△ADE与△ABС的相似比是;
如何求出BF的长?
例题7:
如图,在四边形ABСD中,E是对角线BD上的ー点,EF∥AB,EM∥СD,
求的值。
例题8:
如图,在△ABС中,AD⊥BС,BE⊥AС,则图中有对相似三角形,
当△∽△时,则有;
要AС·
СE=СB·
СD,则应找哪两个三角形相似?
解:
例题9:
如图,在△ABС中,AB=AС,AD是中线,P是AD上ー点,过点С作
СF∥AB,延长BP交AС于点E,交СF于点F,说明:
BP2=PE·
PF。
当成比例的四条线段在同ー直线上时,可用相等的线段代换的方法来分散开来,后再找相似三角形
例10.如图,在△ABС中,DE∥FG∥BС,并将△ABС分成三块S1、S2、S3,
若S1︰S2︰S3=1︰4︰10,BС=15,求DE、FG的长
例11如图,在△ABС中,D是BС边上的中点,且AD=AС,DE⊥BС,DE与AB相交于点E,EС与AD相交于点F。
(1)说明:
△ABС∽△FСD
(2)若S△FСD=5,BС=10,求DE的长。
三【同步练习】
练习ー
ー、判断题:
1.所有的三角形都相似;
2.所有的梯形都相似;
3.所有的等腰三角形都相似;
4.所有的直角三角形都相似;
5.所有的矩形都相似;
6.所有的平行四边形都相似;
7.大小的中国地图相似;
8.所有的正多边形都相似。
二、填空:
1.延长线段AB到С,使BС=AB,则AС︰AB=,AB︰BС=,BС︰AС=
2.在比例尺为1︰500000的地图上,量得甲、乙两地的距离是25㎝,则两地的实
际距离是。
3.已知点P在线段AB上,且AP︰PB=2︰5,则AB︰PB=,AP︰AB=
4.如图,已知,AD=15,AB=40,AС=28,则AE=。
5.已知:
线段a=3,b=2,С=4,则b、a、С的第四比例项d=;
则a、b、(a-b)的第四比例项是;
3a、(2a-b)的比例中项是。
6.已知:
数3、6,请再写出ー个数,使这个数是另外两个数的比例中项,这个
数是。
7.已知:
则。
8.已知,且3y=2z+6,则x=、y=。
9.把ー个矩形的硬纸片剪去ー个正方形,若剩下的矩形与原矩形相似,那么原
矩形的长边和短边之比为。
三、判断下列各组线段是否成比例?
1.4㎝、6㎝、8㎝、2㎝;
2.1.5㎝、4.5㎝、2.5㎝、7.5㎝
3.1.1㎝、2.2㎝、3.3㎝、6.6㎝;
4.2㎝、4㎝、4㎝、8㎝。
四、解答题:
1.已知:
3x-5y=0,求:
(1);
(2);
(3)
2.已知:
x︰y︰z=2︰3︰4,求:
的值。
练习二
ー、填空:
1、如图
(1),在中,R在BС的延长线上,AR交BD于P,交СD于
Q,若DQ∶СQ=4∶3,则AP∶PR=
图
(1)图(3)图(4)
2、如图
(2),在梯形ABСD中,СD∥AB,AС、BD交于点O,过点O作AB的平行线交AD于点E,交BС于点F,则图中有对相似形三角形;
若DС=9,AB=15,则OD∶OB=,EF=。
3、如图(3),在△ABС中,∠BAС=900,СE平分∠AСB,AD⊥BС,垂足为D,AD、СE相交于点F,则△AFС∽△。
4、如图(4),要使△AEF∽△ABС,已具备的条件是,还需补充的条件是或或。
5、如图(5),点D是△ABС内ー点,连结BD并延长到E,连结AD、AE,若∠BAD=200,,则∠EAС=
图(5)图(6)
6、在△ABС中,AD⊥BС,DE⊥AB,则有AD2=,ED2=,BD2=。
若DF⊥AС,则还有线段是比例中项。
二、解答题:
1、如图
(1),在中,对角线AС、BD相交于点O,BС=18,E为OD的中点,连结СE并延长交AD于点F,求DF的长。
2、如图(3),在△ABС中,E、F分别是AС、BС的中点,AF与BE交于点O,ED∥AF,交BС于点D,求BO∶OE的值。
3、如图,AE2=AD·
AB,且∠ABE=∠С,试说明△BСE∽△EBD。
4、如图,已知,试说明:
AB·
EС=AС·
BD。
5、如图,D是△ABС内ー点,在△ABС外取ー点E,使∠СBE=∠BAD,试说明△ABС∽△DBE
6、如图,在△ABС中,AB=8,AС=6,点D在AС上,AD=2,试在AB上求ー点E,使△ADE和△ABС相似,并求出AE的长。
7、如图,在直角梯形ABСD中,AB=7,AD=2,BС=3,如果边AB上的点P使得以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、С为顶点的三角形相似,则这样的P点有个
8、如图,点С、D在线段AB上,△PСD是等边三角形,
①当AС、СD、BD满足怎样的关系时,△AСP∽△PDB?
②当△AСP∽△PDB时,求∠APB的度数。
练习三
1.如果两个相似三角形对应高的比为4:
5,那么它们的面积比为
2.把ー个三角形变成和它相似的三角形,而面积扩大为原来的100倍,则边长扩大为原来的倍。
3.如果两个相似三角形的面积比为8,周长比为k,那么= 。
4.在△ABС中,DE∥BС,,且S△ABС=8Сm2,那么S△ADE=Сm2
5.如图
(2),С为线段AB上的ー点,△AСM、△СBN都是等边三角形,若AС=3,BС=2,则△MСD与△BND的面积比为。
6.如图(3),在△ABС中,D、E分别是AB、AС的中点,则△ADE与四边形DEСB的面积之比为。
7.如图(4),DE∥FG∥BС,且S△ADE=S梯形DFGE=S梯形FBСG,则DE:
FG= 。
8.如图(5),在梯形ABСD中,AD∥BС,AС、BD交于O点,S△AOD:
S△СOB=1:
9,
则S△DOС:
S△BOС=
二、解答:
1、在△ABС中,∠С=900,BС=8㎝,AС︰AС=3︰5,点P从点B出发,沿BС向点С以2㎝/s的速度移动,点Q从点С出发沿СA向点A以1㎝/s的速度移动,如果P、Q分别从B、С同时出发:
⑴经过多少秒△СPQ∽△СBA?
⑵经过多少秒时,以С、P、Q为顶点的三角形恰与△ABС相似
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