数列求和课时提升作业含答案解析.docx
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数列求和课时提升作业含答案解析
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课时提升作业(三十一)
数列求和
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分,共36分)
1.设数列{(-1)n}的前n项和为Sn,则对任意正整数n,Sn=( )
A.
B.
C.
D.
2.(2014·天门模拟)已知{an}是首项为1的等比数列,Sn是{an}的前n项和,且9S3=S6,则数列
的前5项和为( )
A.
或5B.
或5
C.
D.
3.已知定义在(0,1)上的函数f(x),对任意m,n∈(1,+∞)且m -f =f .记an=f n∈N*,则在数列{an}中,a1+a2+…+a8=( ) A.f B.f C.f D.f 4.(2014·西安模拟)若数列{an}为等比数列,且a1=1,q=2,则Tn= + +…+ 的结果可化为( ) A.1- B.1- C. D. 5.数列{an}的通项公式an=2[n-(-1)n],设此数列的前n项和为Sn,则S10-S21+S100的值是( ) A.9746B.4873C.9736D.9748 6.(能力挑战题)若数列{an}满足 - =d(n∈N*,d为常数),则称数列{an}为“调和数列”.已知正项数列 为“调和数列”,且b1+b2+…+b9=90,则b4·b6的最大值是( ) A.10B.100C.200D.400 二、填空题(每小题6分,共18分) 7.对正整数n,若曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列 的前n项和为. 8.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若a1=2,{an}的“差数列”的通项公式 为2n,则数列{an}的前n项和Sn=. 9.(2014·武汉 模拟)已知数列 { an}的各项均为正整数,Sn为其前n项和,对于n=1,2,3,…,有an+1= 其中k是使an+1为奇数的正整数,an为偶数. (1)当a3=5时,a1的最小值为________. (2)当a1=1时,S1+S2+…+S10=__ ______. 三、解答题(10~11题各15分,12题16分) 10.(2014·恩施模拟)已知数列{bn}中,b1+2b2+…+2n-1bn=2n2+n. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)求数列{bn}的 前n项和Sn. 11.(2013·湖南高考)设Sn为数列{an}的前n项和,已知a1≠0,2an-a1=S1·Sn,n∈N*. (1)求a1,a2,并求数列{an}的通项公式. (2)求数列{nan}的前n项和. 12.(能力挑战题)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1= Sn=n2an-n(n -1),n=1,2,… (1)证明: 数列 是等差数列,并求Sn. (2)设 bn= 求证: b1+b2+…+bn< . 答案解析 1.【解析】选D.因为数列{(-1)n}是首项与公比均为-1的等比数列, 所以Sn= = 选D. 2.【解析】选C.设等比数列的公比为q, 则当公比q=1时,由a1=1得,9S3=9×3=27, 而S6=6,两者不相等,故不合题意. 所以q≠1,又a1=1,9S3=S6, 所以9× = 解之得q=2, 所以 的前5项和为1+ + + + = = . 3.【解析】选B.an= f =f =f -f 所以a1+a2+…+a8=f -f =f =f .故选B. 4.【解析】选C.an=2n-1,设bn= = 则Tn=b1+b2+b3+…+bn = + +…+ = . 5.【解析】选A.当n为奇数时,an=2(n+1);当n为偶数时,an=2(n-1), 故有S10= ×5+ ×5=60+50=110, S21= ×11+ ×10=464, S100= ×50+ ×50=10100. 故S10-S21+S100=9746. 【方法技巧】数列求和的思路 (1)等差数列和等比数列的前n项和公式是求和的基础;一般数列的求和问题往往通 过变形整理,转化为这两类特殊数列的和的问题.例如一类特殊数列的求和通过倒序相加法或错位相减法变形后,就可以转化为这两类数列的求和问题. (2)观察数列的特点是变形的基础.给定的数列有其自身的特点和规律,根据数列的特点和规律选择合适的方法变形是解题 的突破口. 6.【解析】选B.因为正项数列 为“调和数列”, 所 以bn+1-bn=d(n∈N*,d为常数), 即数列{bn}为等差数列. 由b1+b2+…+b9=90得 =90, 即b1+b9=20, 所以b4+b6=b1+b9=20,又bn>0, 所以 b4·b6≤ =100, 当且仅当b4=b6时等号成立. 因此b4·b6的最大值是100. 7.【解析】 由题意,得y′=nxn-1-(n+1)xn, 故曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线的斜率为k=n×2n-1-(n+1)2n, 切点为(2,-2n), 所以切线方程为y+2n=k(x-2). 令x=0得an=(n+1)2n,即 =2n, 则数列 的前n项和为2+22+23+…+2n=2n+1-2. 答案: 2n+1-2 8.【解析】因为an+1-an=2n, 所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 =2n-1+2n-2+…+22+2+2 = +2 =2n-2+2=2n. 所以Sn= =2n+1-2. 答案: 2n+1-2 9 .【 解析】 (1)a2=3a1+5,a3= ⇒a1= 因为k是使an+1为奇数的正整数而a3为奇数,所以当k=2时a1取最小值为5. (2)由a1=1⇒a2=3a1+5=8⇒a3= = 显然要使a3为奇数则k=3,所以a3=1.于是该数列就是1,8,1,8,…为一摆动数列,所以S1+S2+…+S10=10a1+9a2+8a3+…+a10=(10+8+6+4+2)×1+(9+7+5+3+1)×8=230. 答案: (1)5 (2)230 10.【解析】 (1)当n≥2时, b1+2b2+…+2n-1bn=2n2+n ① b1+2b2+…+2n-2bn-1=2(n-1)2+n-1 ② ①-②得: 2n-1bn=4n-1, 所以bn= (n≥2), 当n=1时,b1=3,满足上式, 故bn= . (2)Sn=3+7· +…+(4n-1)· ③ Sn=3· +7· +…+(4n-5)· +(4n-1) ④ 两式相减,得 Sn=3+4 + +…+ -(4n-1) . 所以Sn=14- . 11.【思路点拨】 (1)本题是利用递推关系 an= 求数列的通项公式. (2)根据第 (1)问可知应利用错位相减法求数列前n项和. 【解析】 (1)令n=1,得2a1-a1= 因为a1≠0, 所以a1=1, 令n=2,得2a2-1=S2=1+a2,解得a2=2 .当n≥2时,由2an-1=Sn, 2an-1-1=Sn-1,两式相减,整理得an=2an-1,于是数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列,所以,an=2n-1. (2)由 (1)知nan=n2n-1,记其前n项和为Tn,于是 Tn=1+2×2+3×22+…+n×2n-1①, 2Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n②, ①- ②得-Tn=1+2+22+…+2n-1-n×2n=2n-1-n×2n, 从而Tn=1+(n-1)·2n. 【加固训练】设数列{an}的前n项 和为 Sn=n2,{bn}为等比数列,且a1=b1,b2(a2-a1)=b1. (1)求数列{an},{bn}的通项公式. (2)设cn=an·bn,求数列{cn}的前n项和Tn. 【解析】 (1)a1=S1=1, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1 =n2-(n-1)2 =2n-1,a1适合上式, 所以an=2n-1,n∈N*. 因为b1=a1=1,b2= = 又{bn}为等比数列, 所以其公比q= = 所以bn= n∈N*. (2)cn=an·bn= . 所以Tn=1+ + + +…+ ① 所以 Tn= + + + +…+ + . ② ①-②,得 Tn=1+1+ + +…+ - =3- 所以Tn=6- . 12.【解析】 (1)由S n=n2an-n(n-1)知, 当n≥2时,Sn=n2 (Sn-Sn-1)-n(n-1), 即(n2-1)Sn-n2Sn-1=n(n-1), 所以 Sn- Sn-1=1,对n≥2成立. 又 S1=1, 所以 是首项为1,公差为1的等差数列. 所以 Sn=1+(n-1)·1,所以Sn= . (2)bn= = = 所以b1+b2+…+bn = - + - +…+ - + - = < . 【加固训练】已知数列{an}满足a1=3,an+1-3an=3n(n∈N*),数列{bn}满足bn=3-nan. (1)求证: 数列{bn}是等差数列. (2)设Sn= + + +…+ 求满足不等式 < < 的所有正整数n的值. 【解析】 (1)由bn=3-n an得an=3nbn, 则an+1=3n+1bn+1. 代入an+1-3an=3n中,得3n+1bn+1-3n+1bn=3n, 即得bn+1-bn= . 所以数列{bn}是等差数列. (2)因为数列{bn}是首项为b1=3-1a1=1,公 差为 的等差数列, 则bn=1+ (n-1)= 则an=3nbn=(n+2)×3n-1, 从而有 =3n-1, 故Sn= + + +…+ =1+3+32+…+3n-1= = . 则 = = 由 < < 得 < < . 即3<3n<127,得1 故满足不等式 < < 的所有正整数n的值为2,3,4. 关闭Word文档返回原板块
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- 数列 求和 课时 提升 作业 答案 解析