弹塑性力学题库与答案Word格式文档下载.docx
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则距下端(原点)为z的一段杆件在自重作用下,其伸长量为:
显然该杆件的总的伸长量为(也即下端面的位移):
(WγAl)
2―9.己知物体内一点的应力张量为:
σij
应力单位为kg/cm2。
试确定外法线为ni{,,}(也即三个方向余弦都相等)的微分斜截面上的总应力、正应力σn及剪应力τn。
首先求出该斜截面上全应力在x、y、z三个方向的三个分量:
n’nxnynz
Pxn’
Pyn’
Pzn’
所以知,该斜截面上的全应力及正应力σn、剪应力τn均为零,也即:
Pnσnτn0
2―15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ,水的比重为γ1。
己求得应力解为:
σxax+by,σycx+dy-γy,τxy-dx-ay;
试根据直边及斜边上的边界条件,确定常数a、b、c、d。
首先列出OA、OB两边的应力边界条件:
OA边:
l1-1;
l20;
Txγ1y;
Ty0则σx-γ1y;
τxy0
代入:
σxax+by;
τxy-dx-ay并注意此时:
x0
得:
b-γ1;
a0;
OB边:
l1cosβ;
l2-sinβ,TxTy0
则:
………………………………(a)
将己知条件:
σx-γ1y;
τxy-dx;
σycx+dy-γy代入(a)式得:
化简(b)式得:
dγ1ctg2β;
化简(c)式得:
cγctgβ-2γ1ctg3β
2―17.己知一点处的应力张量为
试求该点的最大主应力及其主方向。
由题意知该点处于平面应力状态,且知:
σx12×
103σy10×
103τxy6×
103,且该点的主应力可由下式求得:
则显然:
σ1与x轴正向的夹角为:
(按材力公式计算)
显然2θ为第Ⅰ象限角:
2θarctg(+6)+80.5376°
θ+40.268840°
16’或(-139°
44’)
2―19.己知应力分量为:
σxσyσzτxy0,τzya,τzxb,试计算出主应力σ1、σ2、σ3并求出σ2的主方向。
由2―11题计算结果知该题的三个主应力分别为:
设σ2与三个坐标轴x、y、z的方向余弦为:
l21、l22、l23,于是将方向余弦和σ2值代入下式即可求出σ2的主方向来。
以及:
由
(1)
(2)得:
l230由(3)得:
将以上结果代入(4)式分别得:
同理
于是主应力σ2的一组方向余弦为:
(,,0);
σ3的一组方向余弦为(,,);
2―20.证明下列等式:
(1):
J2I2+;
(3):
证明
(1):
等式的右端为:
故左端右端
证明(3):
右端
2―28:
设一物体的各点发生如下的位移。
式中a0、a1………c1、c2均为常数,试证各点的应变分量为常数。
证明:
将己知位移分量函数式分别代入几何方程得:
;
2―29:
设己知下列位移,试求指定点的应变状态。
在(0,2)点处;
(2):
在(1,3,4)点处
解
(1):
在(0,2)点处,该点的应变分量为:
写成张量形式则为:
解
(2):
将己知位移分量函数式代入几何方程求出应变分量函数式,然后将己知点坐标(1,3,4)代入应变分量函数式。
求出设点的应变状态。
用张量形式表示则为:
2―32:
试说明下列应变状态是否可能(式中a、b、c均为常数)
1:
2:
3:
由应变张量εij知:
εxzεyzεzxεzyεz0而εx、εy、εxy及εyx又都是x、y坐标的函数,所以这是一个平面应变问题。
将εx、εy、εxy代入二维情况下,应变分量所应满足的变形协调条件知:
也即:
2c+02c知满足。
所以说,该应变状态是可能的。
将己知各应变分量代入空间问题所应满足的变形协调方程得:
………………………………
(1)
不满足,因此该应变状态是不可能的。
解(3):
将己知应变分量代入上
(1)式得:
不满足,因此该点的应变状态是不可能的。
第三章:
弹性变形及其本构方程
3-5.试依据物体三向受拉,体积不会缩小的体积应变规律,来证明泊松比V的上下限为0<V<;
当材料处于各向等值的均匀拉伸应力状态下时,其应力分量为:
σ11σ22σ33pσ12σ23σ310
如果我们定义材料的体积弹性模量为k,则显然:
k,e为体积应变。
将上述应力分量的值代入广义胡克定律:
得:
三式相加得:
将pke代入上式得:
……………………
(1)
由弹性应变能u0的正定性(也就是说在任何非零的应力值作用下,材料变形时,其弹性应变能总是正的。
)知k>0,E>0,G>0。
因:
我们知道体积变形e与形状变化部分,这两部分可看成是相互独立的,因此由uo的正定性可推知:
k>0,G>0。
而又知:
所以:
E>0。
我们将
(1)式变化为:
……………………………………
(2)
由
(2)式及k>0,G>0,E>0知:
1+V≥0,1-2V≥0。
解得:
-1≤V≤。
但是由于到目前为止,还没有发现有V<0的材料,而只发现有V值接近于其极限值的材料(例如:
橡胶、石腊)和V值几乎等于零的材料(例如:
软木)。
因此,一般认为泊松比V的上、下限值为和0,所以得:
0<V<或:
0≤V≤;
3-10.直径为D40mm的铝圆柱体,紧密地放入厚度为2mm的钢套中,圆柱受轴向压力P40KN。
若铝的弹性常数据E170G.V10.35,钢的弹性常数E210G。
试求筒内的周向应力。
设铝块受压
而
则周向应变
∵q2.8MN/m2
钢套
4-14.试证明在弹性范围内剪应力不产生体积应变,并由纯剪状态说明v0。
在外力作用下,物体将产生变形,也即将产生体积的改变和形状的改变。
前者称为体变,后者称为形变。
并且可将一点的应力张量σij和应变张量εij分解为,球应力张量、球应变张量和偏应力张量、偏应变张量。
而球应变张量只产生体变,偏应变张量只引起形变。
通过推导,我们在小变形的前提下,对于各向同性的线弹体建立了用球应力、球应变分量和偏应力分量,偏应变分量表示的广义胡克定律:
式中:
e为体积应变
由
(1)式可知,物体的体积应变是由平均正力σm确定,由eij中的三个正应力之和为令,以及
(2)式知,应变偏量只引起形变,而与体变无关。
这说明物体产生体变时,只能是平均正应力σm作用的结果,而与偏应力张量无关进一步说就是与剪应力无关。
物体的体积变形只能是并且完全是由球应力张量引起的。
由单位体积的应变比能公式:
也可说明物体的体变只能是由球应力分量引起的。
当某一单元体处于纯剪切应力状态时:
其弹性应变比能为:
由uo的正定性知:
E0,1+v0.得:
v-1。
由于到目前为止还没有v0的材料,所以,v必须大于零。
即得:
v0。
3-16.给定单向拉伸曲线如图所示,εs、E、E′均为已知,当知道B点的应变为ε时,试求该点的塑性应变。
由该材料的σ―ε曲线图可知,该种材料为线性强化弹塑性材料。
由于B点的应变已进入弹塑性阶段,故该点的应变应为:
εBεεe+εp
故:
εpε-εe
3-19.已知藻壁圆筒承受拉应力及扭矩的作用,若使用Mises条件,试求屈服时扭转应力应为多大?
并求出此时塑性应变增量的比值。
由于是藻壁圆筒,所可认圆筒上各点的应力状态是均匀分布的。
据题意圆筒内任意一点的应力状态为:
(采用柱坐标表示)
,,;
,;
于是据miess屈服条件知,当该藻壁圆筒在轴向拉力(固定不变)ρ及扭矩M(遂渐增大,直到材料产生屈服)的作用下,产生屈服时,有:
解出τ得:
τ就是当圆筒屈服时其横截面上的扭转应力。
任意一点的球应力分量σm为:
应力偏量为:
由增量理论知:
于是得:
所以此时的塑性应变增量的比值为:
:
0:
也即:
(-1):
2:
6;
3-20.一藻壁圆筒平均半径为r,壁厚为t,承受内压力p作用,且材料是不可压缩的,;
讨论下列三种情况:
管的两端是自由的;
管的两端是固定的;
(3):
管的两端是封闭的;
分别用mises和Tresca两种屈服条件讨论p多大时,管子开始屈服,如已知单向拉伸试验σr值。
由于是藻壁圆筒,若采用柱坐标时,σr≈0,据题意首先分析三种情况下,圆筒内任意一点的应力状态:
显然知,若采用Tresca条件讨论时,
(1)、
(2)、(3)三种情况所得结果相同,也即:
解出得:
若采用mises屈服条件讨论时,则
(2)(3)两种情况所得结论一样。
(2)、(3):
3-22.给出以下问题的最大剪应力条件与畸变能条件:
受内压作用的封闭藻壁圆管。
设内压q,平均半径为r,壁厚为t,材料为理想弹塑性。
受拉力p和旁矩作用的杆。
杆为矩形截面,面积b×
h,材料为理想弹塑性。
由于是藻壁圆管且1。
所以可以认为管壁上任意一点的应力状态为平面应力状态,即σr0,且应力均匀分布。
那么任意一点的三个主应力为:
若采用Tresca屈服条件,则有:
故得:
或:
若采用mises屈服条件,则有:
该杆内任意一点的应力状态为单向应力状态,(受力如图示)
且知,当杆件产生屈服时,首先在杆件顶面各点屈服,故知
若采用Tresca屈服条件,则有:
或:
一般以σs为准(拉伸讨验)
第五章平面问题直角坐标解答
5-2:
给出;
捡查是否可作为应力函数。
如以为应力函数,求出应力分量的表达式。
指出在图示矩形板边界上对应着什么样的边界力。
(坐标如图所示)
将代入式
满足。
故知可作为应力函数。
求出相应的应力分量为:
上述应力分量;
在图示矩形板的边界上对应着如图所示边界面力,该板处于纯剪切应力状态。
5-4:
试分析下列应力函数对一端固定的直杆可解出什么样的平面问题。
首先将函数式代入式知,满足。
故该函数可做为应力函数求得应力分量为:
显然上述应力分量在ad边界及bc边界上对应的面力分量均为零,而在ad边界上则切向面力分量呈对称于原点o的
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