最新人教版高中数学必修一知识点与重难点Word格式文档下载.docx
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整数集记作:
Z;
有理数集记作:
Q;
实数集记作:
R
4、集合的表示法
(1)列举法:
把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。
(2)描述法:
用集合所含元素的公共特征表示集合的方法称为描述法。
①语言描述法:
例:
{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法:
不等式x-3>
2的解集是{x∈R|x-3>
2}或{x|x-3>
2}
(3)图示法(Venn图)
【重点】集合的基本概念和表示方法
【难点】运用集合的三种常用表示方法正确表示一些简单的集合
1.1.2集合间的基本关系
1、“包含”关系——子集
一般地,对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作AB
2、“相等”关系
如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即:
A=B
3、真子集
如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)
4、空集
不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定:
空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集.
【重点】子集与空集的概念;
用Venn图表达集合间的关系
【难点】弄清元素与子集、属于与包含之间的区别
1.1.3集合的基本运算
1、交集的定义
一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作A∩B(读作“A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
2、并集的定义
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集。
记作:
A∪B(读作“A并B”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
3、交集与并集的性质
A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A,A∪A=A,A∪φ=A,A∪B=B∪A.
4、全集与补集
(1)全集
如果集合U含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。
通常用U来表示。
(2)补集
设U是一个集合,A是U的一个子集(即AU),由U中所有不属于A的元素组成的集合,叫做U中子集A的补集(或余集)。
CUA,即CSA={x|xU且xA}
(3)性质
CU(CUA)=A,(CUA)∩A=Φ,(CUA)∪A=U;
(CUA)∩(CUB)=CU(A∪B),(CUA)∪(CUB)=CU(A∩B).
【重点】集合的交集、并集、补集的概念
【难点】集合的交集、并集、补集的概念与应用
1.2函数及其表示
1.2.1函数的概念
1、函数的概念
设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:
A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:
y=f(x),x∈A.
其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;
与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
【注意】
(1)如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;
(2)函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.
【定义域补充】
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底数必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
(注意:
求出不等式组的解集即为函数的定义域.)
2、构成函数的三要素
定义域、对应关系和值域
(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)。
(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。
3、相同函数的判断方法
(1)定义域一致;
(2)表达式相同(两点必须同时具备)
【值域补充】
(1)函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.
(2)应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础。
4、区间的概念
(1)区间的分类:
开区间、闭区间、半开半闭区间;
(2)无穷区间;
(3)区间的数轴表示.
【重点】理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数
【难点】符号“y=f(x)”的含义,函数定义域和值域的区间表示
1.2.2函数的表示法
1、常用的函数表示法及各自的优点
(1)函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据:
作垂直于x轴的直线与曲线最多有一个交点。
(2)函数的表示法
解析法:
必须注明函数的定义域;
图象法:
描点法作图要注意:
确定函数的定义域;
化简函数的解析式;
观察函数的特征;
列表法:
选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.
便于算出函数值。
便于查出函数值。
便于量出函数值
2、分段函数
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。
分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.注意:
(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.
3、复合函数
如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x),(x∈A)称为f是g的复合函数.
4、函数图象知识归纳
(1)定义
在平面直角坐标系中,以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象.
C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上.即记为C={P(x,y)|y=f(x),x∈A}
图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行于Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成.
(2)画法
A、描点法
根据函数解析式和定义域,求出x,y的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x,y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来.
B、图象变换法
常用变换方法有三种,即平移变换、对称变换和伸缩变换
(Ⅰ)对称变换
①将y=f(x)在x轴下方的图象向上翻得到y=∣f(x)∣的图象如:
书上P21例5
②y=f(x)和y=f(-x)的图象关于y轴对称。
如
③y=f(x)和y=-f(x)的图象关于x轴对称。
(Ⅱ)平移变换
由f(x)得到f(xa)左加右减;
由f(x)得到f(x)a上加下减
(3)作用
A、直观的看出函数的性质;
B、利用数形结合的方法分析解题的思路;
C、提高解题的速度;
发现解题中的错误。
5、映射
定义:
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:
AB为从集合A到集合B的一个映射。
记作“f:
AB”
给定一个集合A到B的映射,如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应,那么,我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象
【说明】
函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应
(1)集合A、B及对应法则f是确定的;
(2)对应法则有“方向性”,即强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不同的;
(3)对于映射f:
A→B来说,则应满足:
(Ⅰ)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;
(Ⅱ)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;
(Ⅲ)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6、函数的解析式
(1)函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.
(2)求函数的解析式的主要方法有:
待定系数法、换元法、消参法等
A、如果已知函数解析式的构造时,可用待定系数法;
B、已知复合函数f[g(x)]的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围;
当已知表达式较简单时,也可用凑配法;
C、若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出f(x)
【重点】函数的三种表示法,分段函数的概念,映射的概念
【难点】根据不同的需要选择恰当的方法表示函数,分段函数的表示及其图象,映射的概念
1.3函数的基本性质
1.3.1函数单调性与最大(小)值
1、函数的单调性定义
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<
x2时,都有f(x1)<
f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数。
区间D称为y=f(x)的单调增区间;
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<
x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
(1)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;
(2)必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;
当x1<
x2时,总有f(x1)<
f(x2)
(或f(x1)>f(x2))。
2、图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
3、函数单调区间与单调性的判定方法
(A)定义法
①任取x1,x2∈D,且x1<
x2;
②作差f(x1)-f(x2);
③变形(通常是因式分解和配方);
④定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);
⑤下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性:
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下:
同增异减
函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
4、判断函数的单调性常用的结论
①函数与的单调性相反;
②当函数恒为正或恒
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