九年级数学上册 212 解一元二次方程教案 新版新人教版Word格式文档下载.docx
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同时出发,几秒后△PBQ的面积等于8cm2?
老师点评:
问题1:
根据完全平方公式可得:
(1)16 4;
(2)4 2;
(3)(
)2
.
问题2:
设x秒后△PBQ的面积等于8cm2
则PB=x,BQ=2x
依题意,得:
x·
2x=8
x2=8
根据平方根的意义,得x=±
2
即x1=2
x2=-2
可以验证,2
和-2
都是方程
x
·
2x=8的两根,但是移动时间不能是负值.
所以2
秒后△PBQ的面积等于8cm2.
二、合作与探究
上面我们已经讲了x2=8,根据平方根的意义,直接开平方得x=±
如果x换元为2t+1,即(2t+1)2=8,能否也用直接开平方的方法求解呢?
(学生分组讨论)
回答是肯定的,把2t+1变为上面的x,那么2t+1=±
即2t1+1=2
2t2+1=-2
方程的两根为t1=
-
t2=-
【例1】解方程:
x2+4x+4=1
分析:
很清楚,x2+4x+4是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(x+2)2=1.
解:
由已知,得:
(x+2)2=1
直接开平方,得:
x+2=±
1
即x1+2=1,x2+2=-1
所以,方程的两根x1=-1,x2=-3
【例2】市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m2,求每年人均住房面积增长率.
设每年人均住房面积增长率为x.一年后人均住房面积就应该是10+10x=10(1+x);
二年后人均住房面积就应该是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2
设每年人均住房面积增长率为x,
则:
10(1+x)2=14.4
(1+x)2=1.44
直接开平方,得1+x=±
1.2
即1+x1=1.2,1+x2=-1.2
所以,方程的两根是x1=0.2=20%,x2=-2.2
因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x2=-2.2应舍去.
所以,每年人均住房面积增长率应为20%.
(学生小结)老师引导提问:
解一元二次方程,它们的共同特点是什么?
共同特点:
把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程,即“降次转化思想”.
三、巩固练习
教材P6 练习.
四、能力展示
某公司一月份营业额为2万元,第一季度总营业额为6.62万元,求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少?
五、总结提升
本节课应掌握:
由应用直接开平方法解形如x2=p(p≥0),那么x=±
转化为应用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0),那么mx+n=±
达到降次转化之目的.
六、布置作业
教材P16 习题21.2 1、2.
第2课时 配方法
通过变形运用
开平方法降次解方程.
理解通过变形运用开平方法降次解方程,并能熟练应用它解决一些具体问题.
通过复习可直接化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程的解和不能直接化成上面两种形式的解题步骤.
讲清“直接降次有困难,如x2+6x-16
=0的一元二次方程的解题步骤”.
不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧.
(学生活动)请同学们解下列方程
(1)3x2-1=5
(2)4(x-1)2-9=0
(3)4x2+16x+16=9
上面的方程都能化成x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得
x=±
或mx+n=±
(p≥0).
如:
4x2+16x+16=(2x+4)2
列出下面问题的方程并回答:
(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢?
(2)能否直接用上面三个方程的解法呢?
问题:
如图,在宽为20m,长为32m的矩形地面上,修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路,余下的六个相同的部分作为耕地
要使得耕地的面积为500m2,道路的宽为多少?
设道路的宽为x,则可列方程:
(20-x)(32-2x)=500 整理,得:
x2-36x+70=0
(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是:
前三个左边是含有x的完全平方式而后一个不具有.
(2)不能.
既然不能直接降次解方程,那么,我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程
x2-36x+70=0.
x2-36x=-70,x2-36x+182=-70+324,(x-18)2=254,
x-18=±
x1-18=
或x2-18=-
x1≈34,x2≈2.
可以验证x1≈34,x2≈2都是原方程的根,但x≈34不合题意,所以道路的宽应为2.
【例2】解下列关于x的方程
2x2-4x-1=0
x2-2x-
=0 x2-2x=
x2-2x+12=
+1 (x-1)2=
x-1=±
即x1-1=
x2-1=-
x1=1+
x2=1-
可以验证:
都是方程的根.
像上面的解题方法,通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫配方法.
教材P9 练习1 2.
(1)、
(2).
如图,在Rt△ACB中,∠C=90°
AC=8m,BC=6m,点P、Q同时由A,B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动,它们的速度都是1m/s,几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半.
配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤.
教材P17 习题21.2 3.
21.2.2 公式法
第1课时 一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式,即Δ=b2-4ac.
1.熟练运用判别式判断一元二次方程根的情况;
2.会根据方程的根的情况确定方程中一个字母系数的取值范围.
1.运用判别式求出符合题意的字母的取值范围;
2.运用判别式判别一元二次方程根的情况.
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,我们知道Δ=b2-4ac.当Δ>
0时,方程有两个不等的实数根;
Δ=0时,方程有两个相等的实数根;
Δ<
0时,方程没有实数根,此结论反之也成立.
如果说方程有实数根,切记此时b2-4ac≥0,切勿丢掉等号.
二、合作探究
了解了上述判别规律,我们来进行以下探究:
探究一:
不解一元二次方程,判断根的情况
【例1】不解方程,判断x2-2x+3=0的根的情况.
Δ=b2-4ac=4-4×
1×
3=-8<
0,
∴原方程无实数根.
说明:
解此类题时,一般先要把方程化为一般形式求出Δ,然后对Δ进行计算,使Δ的符号明朗化,进而说明Δ的符号情况,得出结论.
探究二:
根据方程根的情况,确定待定系数的取值范围
【例2】已知一元二次方程kx2+(2k-1)x+k+2=0有两个不相等的实数根,求k的取值范围.
a=k,b=2k-1,c=k+2,
Δ=b2-4ac=(2k-1)2-4k(k+2)=-12k+1
∵方程有两个不相等的实数根,
∴b2-4ac>
0,即-12k+1>
0,k<
∴k<
且k≠0.
当二次项系数也含有待定的字母时,要注意二次项系数不能为0,还要注意题目中待定字母的取值范围.
探究三:
证明字母系数方程有无实数根
【例3】求证方程x2-(m+2)x+2m-1=0有两个不相等的实数根.
证明:
Δ=[-(m+2)]2-4(2m-1)=m2-4m+8=(m-2)2+4
无论m取何值都有(m-2)2+4>
0,即Δ>
0.
所以无论m取何值,方程有两个不相等的实数根.
此类题目要先把方程化成一般形式,再计算出Δ,如果不能直接判断Δ情况,就利有配方法把Δ配成含有完全平方的形式,根据完全平方的非负性,判断Δ的情况,从而证明出方程根的情况.
1.不解方程,判别方程
x2-4x+8=0的根的情况;
2.关于x的一元
二次方程mx2-(3m-1)x+
2m-1=0,其根的判别式为1,求m的值及该方程的根;
3.已知m为非负整数,且关于x的方程(m-2)x2-(2m-3)x+m+2=0有两个实数根,求m的值.
四、总结提升
一元二次方程根的判别式的定义及其运用,为后面学习用公式法解一元二次方程打好基础.
五、布置作业
教材P17习题21.2 4、12、13
第2课时 公式法
1.一元二次方程求根公式的推导过程;
2.公式法的概念;
3.利用公式法解一元二次方程.
教学目
标
1.知识与技能:
理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念,会熟练应用公式法解一元二次方程.
2.过程与方法:
复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程,引入ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式的推导公式,并应用公式法解一元二次方程.
求根公式的推导和公式法的应用.
一元二次方程求根公式法的推导.
(学生活动)用配方法解下列方程
(1)6x2-7x+1=0
(2)4x2-3x=52
(1)移项,得:
6x2-7x=-1;
二次项系数化为1,得:
x2-
x=-
;
配方,得:
x+(
)2=-
+(
)2;
(x-
)2=
x-
=±
x1=
+
=
=1;
x2=-
(2)略
总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结,老师点评).
(1)移项;
(2)化二次项系数为1;
(3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方;
(4)原方程变形为(x+m)2=n的形式;
(5)如果右边是非负数,就可以直接开平方求出方程的解,如果右边是负数,则一元二次方程无解.
如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根,请同学独立完成下面这个问题.
已知ax2+bx+c=0(a≠0)且b2-4ac≥0,
试推导它的两个根
x1=
x2=
因为前面系数是具体数字方程已做得很多,我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去.
移项,得:
ax2+bx=-c
二次项系数化为1,得x2+
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