届一轮复习文理合用第7章立体几何作业Word文档格式.docx
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①α∥β,m⊂α,n⊂β⇒m∥n;
②m∥n,m∥α⇒n∥α;
③m∥n,m⊥α⇒n⊥α;
④α∥β,m∥n,m⊥α⇒n⊥β.
其中正确命题的序号是( B )
A.①③ B.③④
C.①④ D.②③
[解析] ①α∥β,m⊂α,n⊂β,则两条直线可能异面,故不正确;
②m∥n,m∥α,有可能直线n在平面α内,故不正确;
③m∥n,m⊥α⇒n⊥α,根据线面垂直的判定定理得到结论正确;
④α∥β,m∥n,m⊥α,则n⊥α,又因为α∥β,故n⊥β.结论正确;
故正确的是③④.
3.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( C )
A.5π+18 B.6π+18
C.8π+6 D.10π+6
[解析] 该几何体的表面积为2×
×
4π×
12+2×
π×
3+×
2π×
1×
3=8π+6.
4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O,M,N分别是线段BD,DD1,D1C1的中点,则直线OM与AC,MN的位置关系是( A )
A.与AC,MN均垂直B.与AC垂直,与MN不垂直
C.与AC不垂直,与MN垂直D.与AC,MN均不垂直
[解析] 因为DD1⊥平面ABCD,所以AC⊥DD1,又因为AC⊥BD,DD1∩BD=D,所以AC⊥平面BDD1B1,因为OM⊂平面BDD1B1,所以OM⊥AC.设正方体的棱长为2,则OM==,MN==,ON==,所以OM2+MN2=ON2,所以OM⊥MN.故选A.
5.在各棱长都相等的直三棱柱ABC-A1B1C1中,点D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面BB1C1C所成角的正切值为( D )
A. B.
C.1 D.
[解析] 如图,取BC的中点E,连接DE,AE,依题意,易得AE⊥平面BB1C1C,故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角.设棱长为1,则AE=,DE=,tan∠ADE===.故选D.
6.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC中点,则下列叙述正确的是( C )
A.CC1与B1E是异面直线
B.AC⊥平面ABB1A1
C.AE,B1C1为异面直线且AE⊥B1C1
D.A1C1∥平面AB1E
[解析] 对于A,注意到直线CC1与B1E均在侧面BCC1B1内,因此CC1与B1E不是异面直线,选项A不正确;
对于B,由题意知,上底面ABC是一个正三角形,AC与AB不垂直,因此AC与平面ABB1A1不垂直,选项B不正确;
对于C,注意到直线AE,B1C1是异面直线,且AE⊥BC,BC与B1C1相互平行,因此有AE⊥B1C1,因此选项C正确;
对于D,注意到平面ABC与平面A1B1C1平行,且平面ABC∩平面AB1E=AE,平面A1B1C1∩平面AB1E=l(B1∈l),于是有AE与l平行,注意A1C1与直线l相交,因此A1C1与平面AB1E相交,选项D不正确.综上所述,选C.
7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为( B )
A.36π B.π
C.32π D.28π
[解析] 根据三视图,可知该几何体是一个四棱锥,其底面是一个边长为4的正方形,高是2.将该四棱锥还原成一个三棱柱,如图所示,则其底面是边长为4的正三角形,高是4,其中心到三棱柱的6个顶点的距离即为该四棱锥外接球的半径.∵三棱柱的底面是边长为4的正三角形,∴底面三角形的中心到三角形三个顶点的距离为×
2=,∴其外接球的半径R==,外接球的表面积S=4πR2=4π×
=,故选B.
8.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=2,则该三棱柱内切球O1的表面积与外接球O2的表面积的比值为( C )
C. D.
[解析] 由题意得BC=5,设外接球O2的半径为R,则R===.因为Rt△ABC的内切圆的半径为1,且直三棱柱ABC-A1B1C1的高为2,所以该直三棱柱的内切球O1的半径r=1,所以==.
9.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,下面结论错误的是( D )
A.BD∥平面CB1D1
B.异面直线AD与CB1所成的角为45°
C.AC1⊥平面CB1D1
D.AC1与平面ABCD所成的角为30°
[解析] 因为BD∥B1D1,所以BD∥平面CB1D1,A不符合题意;
因为AD∥BC,所以异面直线AD与CB1所成的角为∠BCB1=45°
,B不符合题意;
因为AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C,所以AC1⊥平面CB1D1,C不符合题意;
AC1与平面ABCD所成的角为∠CAC1≠30°
,故选D.
10.如图,在以角C为直角顶点的三角形ABC中,AC=8,BC=6,PA⊥平面ABC,F为PB上的点,在线段AB上有一点E,满足BE=λAE.若PB⊥平面CEF,则实数λ的值为( C )
[解析] ∵PB⊥平面CEF,∴PB⊥CE,又PA⊥平面ABC,CE⊂平面ABC,∴PA⊥CE,而PA∩PB=P,∴CE平面PAB,∴CE⊥AB,∴λ====.
11.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的体积为( A )
C.2 D.
[解析] 由三视图可知,该几何体为三棱锥,将其放在棱长为2的正方体中,如图中三棱锥A-BCD所示,故该几何体的体积V=×
2×
2=.
12.已知三棱锥D-ABC的底面ABC是直角三角形,AC⊥AB,AC=AB=4,DA⊥平面ABC,E是BD的中点.若此三棱锥的体积为,则异面直线AE与DC所成角的大小为( C )
A.45°
B.90°
C.60°
D.30°
[解析] ∵DA⊥平面ABC,S△ABC=AB·
AC=8,∴三棱锥的体积V=S△ABC·
DA=·
DA=,∴DA=4,∴BD==4,CD==4.设BC的中点为F,连接EF,AF,如图,则EF=CD=2,AF=BC=2,AE=BD=2,∴△AEF是正三角形,∴∠AEF=60°
.∵E是DB的中点,则EF∥DC,∴∠AEF是异面直线AE与DC所成的角,即异面直线AE与DC所成角的大小为60°
.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.圆锥的底面半径为3,其侧面展开图是一个圆心角为的扇形,则此圆锥的表面积为__36π___.
[解析] 如图.
因为OA=3,
所以底面圆周长为6π,
底面圆的面积为9π,
所以弧AB长为6π,
又因为∠BSA=,则有SA·
=6π,所以SA=9.
扇形ASB的面积为S=×
6π×
9=27π,
所以圆锥的表面积为9π+27π=36π.
14.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某四面体的三视图,则该四面体的体积为_____.
[解析] 依题意,在棱长为2的正方体中作出该四面体的直观图,记为三棱锥A-BCD,如图所示,易知S△BCD=×
2=1,所以V三棱锥A-BCD=S△BCD×
2=×
2=,即该四面体的体积为.
15.(文)如图所示,AB是⊙O的直径,PA⊥平面⊙O,C为圆周上一点,若AB=5cm,AC=2cm,则点B到平面PAC的距离为____cm___.
(理)如图所示,已知在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD.若在BC上只有一个点O满足PQ⊥QD,则a的值为__2___.
[解析] (文)联结BC.∵C为圆周上一点,AB为直径,
∴BC⊥AC.
又PA⊥平面⊙O,BC⊂平面⊙O,
∴PA⊥BC,又PA∩AC=A,
∴BC⊥平面PAC,C为垂足,即BC为点B到平面PAC的距离.
在Rt△ABC中,
BC===(cm).
(理)联结AQ,若QD⊥PQ,则DO⊥AQ(三垂线定理的逆定理).因为这样的点只有一个,那么点O必为BC与以AD为直径的圆的切点,故a=BC=2AB=2.当a>
2时,有两个点Q;
当0<
a<
2时,满足条件的点O不存在.
16.已知三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的球面上,AB为球O的直径,若该三棱锥的体积为,BC=3,BD=,∠CBD=90°
,则球O的体积为_____.
[解析] 设A到平面BCD的距离为h,∵三棱锥的体积为,BC=3,BD=,∠CBD=90°
,∴×
3×
h=,∴h=2,∴球心O到平面BCD的距离为1.设CD的中点为E,连接OE,则由球的截面性质可得OE⊥平面CBD,∵△BCD外接圆的直径CD=2,∴球O的半径OD=2,∴球O的体积为.
三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)(文)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD底面ABCD,AB∥DC,CD=2AB,AD⊥CD,E为棱PD的中点.
(1)求证:
CD⊥AE;
(2)试判断PB与平面AEC是否平行?
并说明理由.
(本小题满分10分)(理)如图,已知四棱锥S-ABCD,底面梯形ABCD中,BC∥AD,平面SAB⊥平面ABCD,△SAB是等边三角形,已知AC=2AB=4,BC=2AD=2DC=2.
平面SAB⊥平面SAC;
(2)求二面角B-SC-A的余弦值.
[解析] (文)
(1)证明:
因为PD⊥底面ABCD,CD⊂底面ABCD,
所以PD⊥CD.又AD⊥CD,AD∩PD=D,故CD⊥平面PAD.
又AE⊂平面PAD,所以CD⊥AE.
(2)PB与平面AEC不平行,理由如下:
假设PB∥平面AEC,如图,设BD∩AC=O,连接OE,则平面EAC∩平面PDB=OE.
又PB⊂平面PDB,所以PB∥OE.
在△PDB中,有=,
由E是PD中点可得,==1,
即OB=OD.
因为AB∥DC,所以==,这与OB=OD矛盾,所以假设错误,所以PB与平面AEC不平行.
(理)
(1)在△BCA中,由于AB=2,CA=4,BC=2,
∴AB2+AC2=BC2.故AB⊥AC.
又平面SAB⊥平面ABCD,平面SAB∩平面ABCD=AB,
AC⊂平面ABCD,∴AC⊥平面SAB,
又AC⊂平面SAC,故平面SAC⊥平面SAB.
(2)如图,建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),S(1,0,),C(0,4,0),=(1,-4,),=(-2,4,0),=(0,4,0),
设平面SBC的法向量n=(x1,y1,z1),
⇒,
令y1=1,则x1=2,z1=,
∴n=(2,1,).
设平面SCA的法向量m=(x2,y2,z2),
令x2=-,∴m=(-,0,1).
∴|cosn,m|==,
∴二面角B-SC-A的余弦值为.
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