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(13),
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(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
注:
1、从导数基本公式可得前15个积分公式,(16)-(24)式后几节证。
2、以上公式把换成仍成立,是以为自变量的函数。
3、复习三角函数公式:
,
。
由,此步为凑微分过程,所以第一类换元法也叫凑微分法。
此方法是非常重要的一种积分法,要运用自如,务必熟记基本积分表,并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。
小结:
1常用凑微分公式
第二节
定积分计算公式和性质
一、变上限函数
设函数在区间上连续,并且设x为上的任一点,于是,在区间上的定积分为
这里x既是积分上限,又是积分变量,由于定积分与积分变量无关,故可将此改为
如果上限x在区间上任意变动,则对于每一个取定的x值,定积分有一个确定值与之对应,所以定积分在上定义了一个以x为自变量的函数,我们把称为函数在区间上变上限函数
记为
图
5-10
从几何上看,也很显然。
因为X是上一个动点,从而以线段为底的曲边梯形的面积,必然随着底数端点的变化而变化,所以阴影部分的面积是端点x的函数(见图5-10)
定积分计算公式
利用定义计算定积分的值是十分麻烦的,有时甚至无法计算。
因此,必须寻求计算定积分的简便方法。
我们知道:
如果物体以速度作直线运动,那么在时间区间上所经过的路程s为
5-11
另一方面,如果物体经过的路程s是时间t的函数,那么物体从t=a到t=b所经过的路程应该是(见图5-11)
即
由导数的物理意义可知:
即是一个原函数,因此,为了求出定积分,应先求出被积函数的原函数,再求在区间上的增量即可。
如果抛开上面物理意义,便可得出计算定积分的一般方法:
设函数在闭区间上连续,是的一个原函数,即,则
这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。
为了使用方便,将公式写成
牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。
它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。
它揭示了定积分和不定积分的内在联系,提供了计算定积分有效而简便的方法,从而使定积分得到了广泛的应用。
例1
计算
因为是的一个原函数所以
例
2
求曲线
和直线x=0、x=
及y=0所围成图形面积A(5-12)
解
这个图形的面积为
5-12
二、定积分的性质
设、在相应区间上连续,利用前面学过的知识,可以得到定积分以下几个简单性质:
性质1
被积函数的常数因子可以提到定积分符号前面,即(A为常数)
性质2
函数的代数和的定积分等于它们的定积分的代数和,即
这个性质对有限个函数代数和也成立。
性质3
积分的上、下限对换则定积分变号,即
以上性质用定积分的定义及牛顿-莱布尼兹公式均可证明,此处证明从略。
性质4
如果将区间分成两个子区间及那么有
这个于区间分成有限个的情形也成立。
下面用定积分的几何意义,对性质4加以说明。
当a<
c<
b时,从图5-13a可知,由y=f与和x=ax=b及x轴围成的曲边梯形面积:
5-13a
5-13b
因为所以
即性质4成立。
b<
c时,即点c在外,由图5-13b可知,
显然,性质4也成立。
总之,不论c点在内还是外,性质4总是成立的。
例3
求
4
=
5
解
所以
6
于是,
例8
火车以v=72km/h的速度在平直的轨道上行驶,到某处需要减速停车。
设火车以加速度a=-5m/刹车。
问从开始刹车到停车,火车走了多少距离?
首先要算出从开始刹车到停车经过时间。
当
时火车速度
刹车后火车减速行驶。
其速度为当火车停住时,速度,故从
解得
于是在这段时间内,火车走过的距离为
即在刹车后,火车需走过40m才能停住。
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