学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修5讲义第二章 23 等差数列的前n项和 Word版含答案Word下载.docx

学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修5讲义第二章 23 等差数列的前n项和 Word版含答案Word下载.docx

《学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修5讲义第二章 23 等差数列的前n项和 Word版含答案Word下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修5讲义第二章 23 等差数列的前n项和 Word版含答案Word下载.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

（3）在等差数列{an}中，当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝an＋1（　　）

解析：

（1）正确．由前n项和的定义可知正确．

（2）错误．例如数列{an}中，Sn＝n2＋2.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－（n－1）2＝2n－1.

又∵a1＝S1＝3，

∴a1不满足an＝Sn－Sn－1＝2n－1，故命题错误．

（3）错误．当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝nd.

答案：

（1）√　

（2）×

　（3）×

2．等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则Sn等于（　　）

A．n　　　　　　　　　　　B．n（n＋1）

C．n（n－1）D.

选D　因为a1＝1，d＝1，所以Sn＝n＋×

1＝＝＝，故选D.

3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝，S4＝20，则S6等于（　　）

A．16B．24

C．36D．48

选D　设等差数列{an}的公差为d，

由已知得4a1＋d＝20，

即4×

＋d＝20，解得d＝3，

∴S6＝6×

＋×

3＝3＋45＝48.

4．在等差数列{an}中，S4＝2，S8＝6，则S12＝________.

由等差数列的性质，S4，S8－S4，S12－S8成等差数列，所以2（S8－S4）＝S4＋（S12－S8），S12＝3（S8－S4）＝12.

12

等差数列的前n项和的有关计算

[典例]　已知等差数列{an}．

（1）a1＝，a15＝－，Sn＝－5，求d和n；

（2）a1＝4，S8＝172，求a8和d.

[解]　

（1）∵a15＝＋（15－1）d＝－，∴d＝－.

又Sn＝na1＋d＝－5，

解得n＝15或n＝－4（舍）．

（2）由已知，得S8＝＝＝172，

解得a8＝39，

又∵a8＝4＋（8－1）d＝39，∴d＝5.

等差数列中的基本计算

（1）利用基本量求值：

等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．

（2）结合等差数列的性质解题：

等差数列的常用性质：

若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用．

[活学活用]

设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a8＝11，则S9等于（　　）

A．13　　　　　　　　　B．35

C．49D．63

选D　∵{an}为等差数列，∴a1＋a9＝a2＋a8，

∴S9＝＝＝63.

已知Sn求问题

[典例]　已知数列{an}的前n项和Sn＝－2n2＋n＋2.

（1）求{an}的通项公式；

（2）判断{an}是否为等差数列？

[解]　

（1）∵Sn＝－2n2＋n＋2，

∴当n≥2时，

Sn－1＝－2（n－1）2＋（n－1）＋2

＝－2n2＋5n－1，

∴an＝Sn－Sn－1

＝（－2n2＋n＋2）－（－2n2＋5n－1）

＝－4n＋3.

又a1＝S1＝1，不满足an＝－4n＋3，

∴数列{an}的通项公式是an＝

（2）由

（1）知，当n≥2时，

an＋1－an＝[－4（n＋1）＋3]－（－4n＋3）＝－4，

但a2－a1＝－5－1＝－6≠－4，

∴{an}不满足等差数列的定义，{an}不是等差数列．

（1）已知Sn求an，其方法是an＝Sn－Sn－1（n≥2），这里常常因为忽略条件“n≥2”而出错．

（2）在书写{an}的通项公式时，务必验证n＝1是否满足an（n≥2）的情形．如果不满足，则通项公式只能用an＝表示．

1．已知数列{an}的前n项和为Sn＝－n2，则（　　）

A．an＝2n＋1B．an＝－2n＋1

C．an＝－2n－1D．an＝2n－1

选B　当n＝1时，a1＝S1＝－1；

n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋（n－1）2＝－2n＋1，此时满足a1＝－1.综上可知an＝－2n＋1.

2．已知Sn是数列{an}的前n项和，根据条件求an.

（1）Sn＝2n2＋3n＋2；

（2）Sn＝3n－1.

解：

（1）当n＝1时，a1＝S1＝7，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（2n2＋3n＋2）－[2（n－1）2＋3（n－1）＋2]＝4n＋1，又a1＝7不适合上式，

所以an＝

（2）当n＝1时，a1＝S1＝2，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n－1）－（3n－1－1）＝2×

3n－1，显然a1适合上式，

所以an＝2×

3n－1（n∈N*）.

等差数列的前n项和性质

[典例]　

（1）等差数列前n项的和为30，前2n项的和为100，则它的前3n项的和为（　　）

A．130B．170

C．210D．260

（2）等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n等于________．

（3）已知{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝________.

[解析]　

（1）利用等差数列的性质：

Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列．

所以Sn＋（S3n－S2n）＝2（S2n－Sn），

即30＋（S3n－100）＝2（100－30），

解得S3n＝210.

（2）因为等差数列共有2n＋1项，所以S奇－S偶＝an＋1＝，即132－120＝，解得n＝10.

（3）由等差数列的性质，知

＝＝＝＝＝.

[答案]　

（1）C　

（2）10　（3）

等差数列的前n项和常用的性质

（1）等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k…组成公差为k2d的等差数列．

（2）数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn（a，b为常数）⇔数列为等差数列．

（3）若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，

①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝；

②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝.　

1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a11＋a12＋a13＋a14＝（　　）

A．18B．17

C．16D．15

选A　设{an}的公差为d，则a5＋a6＋a7＋a8＝S8－S4＝12，（a5＋a6＋a7＋a8）－S4＝16d，解得d＝，a11＋a12＋a13＋a14＝S4＋40d＝18.

2．等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列的前10项和为________．

因为an＝2n＋1，所以a1＝3，

所以Sn＝＝n2＋2n，

所以＝n＋2，

所以是公差为1，首项为3的等差数列，

所以前10项和为3×

10＋×

1＝75.

75

等差数列的前n项和最值问题

[典例]　在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求前n项和Sn的最大值．

[解]　由S17＝S9，得

25×

17＋d＝25×

9＋d，

解得d＝－2，

[法一　公式法]

Sn＝25n＋×

（－2）＝－（n－13）2＋169.

由二次函数性质得，当n＝13时，Sn有最大值169.

[法二　邻项变号法]

∵a1＝25＞0，由

得即12≤n≤13.

又n∈N*，∴当n＝13时，Sn有最大值169.

求等差数列的前n项和Sn的最值的解题策略

（1）将Sn＝na1＋d＝n2＋n配方，转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决．

（2）邻项变号法：

当a1>

0，d<

0时，满足的项数n使Sn取最大值．

当a1<

0，d>

0时，满足的项数n使Sn取最小值．

已知{an}为等差数列，若<

－1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n＝（　　）

A．11B．17

C．19D．21

选C　∵Sn有最大值，∴d<

0，则a10>

a11，又<

－1，∴a11<

0<

a10，a10＋a11<

0，S20＝10（a1＋a20）＝10（a10＋a11）<

0，S19＝19a10>

0，∴S19为最小正值．故选C.

层级一　学业水平达标

1．已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，则{an}的前n项和Sn等于（　　）

A．－n2＋　　　　　　B．－n2－

C.n2＋D.n2－

选A　∵an＝2－3n，∴a1＝2－3＝－1，∴Sn＝＝－n2＋.

2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a7>

0，a8<

0，则下列结论正确的是（　　）

A．S7<

S8B．S15<

S16

C．S13>

0D．S15>

选C　由等差数列的性质及求和公式得，S13＝＝13a7>

0，S15＝＝15a8<

0，故选C.

3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于（　　）

A．63B．45

C．36D．27

选B　∵a7＋a8＋a9＝S9－S6，而由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，所以S3＋（S9－S6）＝2（S6－S3），即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2S6－3S3＝2×

36－3×

9＝45.

4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn,7a5＋5a9＝0，且a9>

a5，则Sn取得最小值时n的值为（　　）

A．5B．6

C．7D．8

选B　由7a5＋5a9＝0，得＝－.

又a9>

a5，所以d>

0，a1<

0.

因为函数y＝x2＋x的图象的对称轴为x＝－＝＋＝，取最接近的整数6，故Sn取得最小值时n的值为6.

5．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于（　　）

A．1B．－1

C．2D.

选A　＝＝

＝＝×

＝1.

6．若等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，则该数列的公差为________．

数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝An2＋Bn－A（n－1）2－B（n－1）＝2An＋B－A，当n＝1时满足，所以d＝2A.

2A

7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sm＝－2，Sm＋1＝0，Sm＋2＝3，则m＝________.

因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以数列是等差数列，所以＋＝，即＋＝0，解得m＝4.

4

8．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．

设等差数列{an}的项数为2n＋1，

S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1

＝

＝（n＋