高中数学人教a版必修4讲义第一章 16 三角函数模型的简单应用 含答案Word下载.docx
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(1)小球在开始振动(t=0)时的位移是多少?
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少?
(3)经过多长时间小球往复振动一次?
[解] 列表如下,
t
-
2t+
π
2π
sin
1
-1
s
4
-4
描点、连线,图象如图所示.
(1)将t=0代入s=4sin,得s=4sin=2,
所以小球开始振动时的位移是2cm.
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4cm和-4cm.
(3)因为振动的周期是π,所以小球往复振动一次所用的时间是πs.
处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等,其共同的特点是具有周期性.
(2)明确物理概念的意义,此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念,因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.
[活学活用]
交流电的电压E(单位:
V)与时间t(单位:
s)的关系可用E=220sin来表示,求:
(1)开始时电压;
(2)电压值重复出现一次的时间间隔;
(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间.
解:
(1)当t=0时,E=110(V),
即开始时的电压为110V.
(2)T==(s),即时间间隔为0.02s.
(3)电压的最大值为220V,
当100πt+=,即t=s时第一次取得最大值.
三角函数在实际生活中的应用
[典例] 如图,游乐场中的摩天轮匀速旋转,每转一圈需要12分钟,其中心O距离地面40.5米,半径40米.如果你从最低处登上摩天轮,那么你与地面的距离将随时间的变化而变化,以你登上摩天轮的时刻开始计时.请解答下列问题:
(1)求出你与地面的距离y与时间t的函数关系式;
(2)当你第四次距离地面60.5米时,用了多少时间?
(3)当你登上摩天轮2分钟后,你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮,问你的朋友登上摩天轮多少时间后,你和你的朋友与地面的距离之差最大,并求出最大值.
[解]
(1)由已知可设y=40.5-40cosωt(t≥0),由已知周期为12分钟,可知ω=,即ω=.
所以y=40.5-40cost(t≥0).
(2)令y=40.5-40cost=60.5,得cost=-,
所以t=π或t=π,解得t=4或t=8,故第四次距离地面60.5米时,用时为12+8=20(分钟).
(3)与地面的距离之差最大,此时你必须在你的朋友的正上方,或你的朋友在你的正上方,由周期性知,再过2分钟后,你恰在你的朋友的正上方,再过半个周期时,恰相反,故过(6k+2)(k∈Z)分钟后距离之差最大,最大值为40米.
解三角函数应用问题的基本步骤
[活学活用]
已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24,单位小时)的函数,记作:
y=f(t),下表是某日各时的浪高数据:
t(时)
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.5
1.0
0.5
0.99
经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b.
(1)根据以上数据,求函数y=Acosωt+b的最小正周期T、振幅A及函数表达式;
(2)依据规定,当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据
(1)的结论,判断一天内的上午8:
00时至晚上20:
00时之间,有多少时间可供冲浪者进行运动?
(1)由表中数据,知周期T=12.
∴ω===.
由t=0,y=1.5,得A+b=1.5,①
由t=3,y=1.0,得b=1.0,②
∴A=0.5,b=1,∴振幅为,
∴y=cost+1.
(2)由题知,当y>1时才可对冲浪者开放,
∴cost+1>1,∴cost>0.
∴2kπ-<t<2kπ+.
即12k-3<t<12k+3,③
∵0≤t≤24,故可令③中k分别为0,1,2,
得0≤t<3或9<t<15或21<t≤24.
∴在规定时间上午8:
00至晚上20:
00之间,有6个小时时间可供冲浪者运动:
上午9:
00至下午3:
00.
层级一 学业水平达标
1.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,经过周期后,乙的位置将移至( )
A.x轴上 B.最低点
C.最高点D.不确定
解析:
选C 相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期,故乙移至最高点.
2.在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球,它们做上下自由振动.已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定:
s1=5sin,s2=5cos.
则在时间t=时,s1与s2的大小关系是( )
A.s1>s2B.s1<s2
C.s1=s2D.不能确定
选C 当t=时,s1=-5,s2=-5,∴s1=s2.选C.
3.如图所示,一个单摆以OA为始边,OB为终边的角θ(-π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ=sin,则当t=0时,角θ的大小及单摆频率是( )
A.,B.2,
C.,πD.2,π
选A 当t=0时,θ=sin=,由函数解析式易知单摆周期为=π,故单摆频率为,故选A.
4.(陕西高考)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:
m)的最大值为( )
A.5B.6
C.8D.10
选C 根据图象得函数的最小值为2,有-3+k=2,k=5,最大值为3+k=8.
5.稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点,国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响,温州市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测:
发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格,单位:
元)与第x季度之间近似满足:
y=500sin(ωx+φ)+9500(ω>0),已知第一、二季度平均单价如下表所示:
x
2
y
10000
9500
?
则此楼盘在第三季度的平均单价大约是( )
A.10000元B.9500元
C.9000元D.8500元
选C 因为y=500sin(ωx+φ)+9500(ω>0),所以当x=1时,500sin(ω+φ)+9500=10000;
当x=2时,500sin(2ω+φ)+9500=9500,所以ω可取,φ可取π,即y=500sin+9500.当x=3时,y=9000.
6.如图所示的是某简谐运动的图象,则这个简谐运动需要________s往复一次.
由图象知周期T=0.8-0=0.8,则这个简谐运动需要0.8s往复一次.
0.8
7.如图,电流强度I(单位:
安)随时间t(单位:
秒)变化的函数I=Asin(A>
0,ω≠0)的图象,则当t=秒时,电流强度是________安.
由图象可知,A=10,周期T=2×
=,所以ω==100π,所以I=10sin.
当t=秒时,I=10sin=5(安).
5
8.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+Acos(x=1,2,3,…,12)来表示.已知6月份的月平均气温最高,为28℃,12月份的月平均气温最低,为18℃,则10月份的平均气温为________℃.
依题意知,
则a==23,A==5,
则y=23+5cos,
当x=10时,y=23+5cos=20.5(℃).
20.5
9.如图所示,某地夏天从8~14时的用电量变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b.
(1)求这一天的最大用电量和最小用电量.
(2)写出这段曲线的函数解析式.
(1)最大用电量为50万kW·
h,最小用电量为30万kW·
h.
(2)观察图象可知从8~14时的图象是y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象,
所以A=×
(50-30)=10,
b=×
(50+30)=40.
因为×
=14-8,所以ω=.
所以y=10sin+40.
将x=8,y=30代入上式,解得φ=.
所以所求解析式为y=10sin+40,x∈[8,14].
10.某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900,其总量在此两值之间依正弦型曲线变化.
(1)求出种群数量y关于时间t的函数解析式;
(2)画出种群数量y关于时间t变化的草图.(其中t以年初以来经过的月份数为计量单位)
(1)设表示该曲线的函数为y=Asin(ωt+a)+b(A>0,ω>0,|a|<π).由已知平均数为800,最高数与最低数差为200,数量变化周期为12个月,故振幅A==100,ω==,b=800.
又∵7月1日种群数量达到最高,
∴×
6+a=+2kπ(k∈Z).
又∵|a|<π,∴a=-.
故种群数量y关于时间t的函数解析式为y=800+100sin(t-3).
(2)种群数量关于时间变化的草图如图.
层级二 应试能力达标
1.如图所示的是一个半径为3米的水轮,水轮的圆心O距离水面2米,已知水轮每分钟旋转4圈,水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间t(秒)满足关系式y=Asin(ωt+φ)+2,则( )
A.ω=,A=3 B.ω=,A=3
C.ω=,A=5D.ω=,A=5
选B 由题意知A=3,ω==π.
2.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数,五一节某商场的人流量满足函数F(t)=50+4sin(t≥0),则在下列哪个时间段内人流量是增加的?
( )
A.[0,5]B.[5,10]
C.[10,15]D.[15,20]
选C 由2kπ-≤≤2kπ+,k∈Z,知函数F(t)的增区间为[4kπ-π,4kπ+π],k∈Z.当k=1时,t∈[3π,5π],而[10,15]⊆[3π,5π].
3.动点A(x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周,已知时间t=0时,点A的坐标是,则当0≤t≤12时,动点A的纵坐标y关于t(单位:
秒)的
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- 高中数学人教a版必修4讲义第一章 16 三角函数模型的简单应用 含答案 高中 学人 必修 讲义 第一章 三角函数 模型 简单 应用 答案