2 第2讲 参数方程wordWord下载.docx

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在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。

（1）曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．

与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。

金代元好问《示侄孙伯安》诗云：

“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。

”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。

清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。

可见，“教师”一说是比较晚的事了。

如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。

辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。

（2）如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．

2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程

观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。

随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。

我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。

看得清才能说得正确。

在观察过程中指导。

我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：

乌云像大海的波浪。

有的孩子说“乌云跑得飞快。

”我加以肯定说“这是乌云滚滚。

”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。

”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：

“这就是雷声隆隆。

”一会儿下起了大雨，我问：

“雨下得怎样?

”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。

雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：

“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。

”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。

我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。

如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀―样，给大树开刀治病。

通过联想，幼儿能够生动形象地描述观察对象。

名称

普通方程

参数方程

直线

y－y0＝k（x－x0）

（t为参数）

圆

（x－x0）2＋（y－y0）2

＝R2

（θ为参数且0≤θ<

2π）

椭圆

＋＝1（a>

b>

0）

（t为参数且0≤t<

抛物线

y2＝2px（p>

[提醒]　

（1）参数方程化普通方程常用的消参技巧：

代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：

cos2θ＋sin2θ＝1，1＋tan2θ＝.

（2）利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题，常转化三角函数最值问题．

（3）将参数方程化为普通方程，在消参数的过程中，要注意x，y的取值范围，保持等价转化．

（4）确定曲线的参数方程时，一定要根据实际问题的要求确定参数的取值范围，必要时通过限制参数的范围去掉多余的解．

在平面直角坐标系xOy中，若直线l：

（t为参数）过椭圆C：

（φ为参数）的右顶点，求常数a的值．

解：

直线l的普通方程为x－y－a＝0，

椭圆C的普通方程为＋＝1，

所以椭圆C的右顶点坐标为（3，0），若直线l过点（3，0），

则3－a＝0，

所以a＝3.

已知两曲线参数方程分别为（0≤θ≤π）和（t∈R），求它们的交点坐标．

根据题意，两曲线分别是椭圆＋y2＝1的上半部分和开口向右的抛物线y2＝x，联立易得它们的交点坐标为.

如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x2＋y2－x＝0的参数方程．

圆的半径为，记圆心为C，连接CP，则∠PCx＝2θ，故xP＝＋cos2θ＝cos2θ，

yP＝sin2θ＝sinθcosθ（θ为参数）．

所以圆的参数方程为（θ为参数）．

以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，求直线l被圆C截得的弦长．

化为直角坐标方程，利用圆的几何性质求解．直线l的普通方程是x－y－4＝0，圆C的直角坐标方程是x2＋y2－4x＝0，标准方程为（x－2）2＋y2＝4.圆心（2，0）到直线的距离为＝，

所以直线l被圆C截得的弦长为2＝2＝2.

参数方程与普通方程的互化

[典例引领]

已知曲线C1：

（t为参数），曲线C2：

（θ为参数）．化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线．

【解】　曲线C1：

（x＋4）2＋（y－3）2＝1，曲线C2：

＋＝1，

曲线C1是以（－4，3）为圆心，1为半径的圆；

曲线C2是中心为坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．

将参数方程化为普通方程的方法

（1）将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：

代入消参法、加减消参法、平方消参法等．对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2θ＋cos2θ＝1等．

（2）将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．　

将下列参数方程化为普通方程．

（1）　

（2）

（1）两式相除，得k＝，

将其代入得x＝，

化简得所求的普通方程是4x2＋y2－6y＝0（y≠6）．

（2）由（sinθ＋cosθ）2＝1＋sin2θ＝2－（1－sin2θ），x＝1－sin2θ∈[0，2]，得y2＝2－x.

即所求的普通方程为y2＝2－x，x∈[0，2]．

参数方程的应用

（2019·

高考全国卷Ⅰ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．

（1）若a＝－1，求C与l的交点坐标；

（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a.

【解】

（1）曲线C的普通方程为＋y2＝1.

当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.

由

解得，或

从而C与l的交点坐标为（3，0），.

（2）直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点（3cosθ，sinθ）到l的距离为d＝.

当a≥－4时，d的最大值为.

由题设得＝，

所以a＝8；

当a<

－4时，d的最大值为，

所以a＝－16.

综上，a＝8或a＝－16.

（1）解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等．

（2）根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：

过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2.

①弦长l＝|t1－t2|；

②弦M1M2的中点⇒t1＋t2＝0；

③|M0M1||M0M2|＝|t1t2|.　

　（2019·

广东惠州模拟）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：

ρsin2θ＝2acosθ（a>

0），过点P（－2，－4）的直线l的参数方程为（t为参数），l与C分别交于点M，N.

（1）写出C的直角坐标方程和l的普通方程；

（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．

（1）曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax（a>

0）；

直线l的普通方程为x－y－2＝0.

（2）将直线l的参数方程代入C的直角坐标方程，可得t2－2（4＋a）t＋8（4＋a）＝0.（*）

由题意知Δ＝8a（4＋a）>

0，

又a>

0，所以4＋a>

0.

设点M，N对应的参数分别为t1，t2，则t1，t2恰为方程（*）的根．

易知|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1－t2|，

由题设得（t1－t2）2＝|t1t2|，

即（t1＋t2）2－4t1t2＝|t1t2|.

又由（*）得t1＋t2＝2（4＋a），t1t2＝8（4＋a）>

则有（4＋a）2－5（4＋a）＝0，

解得a＝1或a＝－4.

因为a>

0，所以a＝1.

极坐标方程与参数方程的综合问题

贵州省适应性考试）曲线C1的参数方程为（α为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝sinθ.

（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；

（2）过原点且倾斜角为α（<

α≤）的射线l与曲线C1，C2分别相交于A，B两点（A，B异于原点），求|OA|·

|OB|的取值范围．

【解】

（1）曲线C1的普通方程为（x－2）2＋y2＝4，

即x2＋y2－4x＝0，

故曲线C1的极坐标方程为ρ2＝4ρcosθ，即ρ＝4cosθ.

由曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝sinθ，两边同乘以ρ，得ρ2cos2θ＝ρsinθ，

故曲线C2的直角坐标方程为x2＝y.

（2）法一：

射线l的极坐标方程为θ＝α，<

α≤，

把射线l的极坐标方程代入曲线C1的极坐标方程得|OA|＝ρ＝4cosα，

把射线l的极坐标方程代入曲线C2的极坐标方程得|OB|＝ρ＝，

所以|OA|·

|OB|＝4cosα·

＝4tanα，

因为<

|OB|的取值范围是.

法二：

射线l的参数方程为（t为参数，<

α≤）．

把射线l的参数方程代入曲线C1的普通方程得t2－4tcosα＝0.

解得t1＝0，t2＝4cosα.故|OA|＝|t2|＝4cosα.

同理可得|OB|＝，

＝4tan