陕西省西安八十三中学年高二下学期期中数学Word文件下载.docx
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A.假设n=k(k∈N*),证明n=k+1命题成立
B.假设n=k(k为正奇数),证明n=k+1命题成立
C.假设n=2k+1(k∈N*),证明n=k+1命题成立
D.假设n=k(k为正奇数),证明n=k+2命题成立
7.观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cosx)′=﹣sinx,由归纳推理可得:
若定义在R上的函数f(x)满足f(﹣x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(﹣x)=( )
A.﹣g(x)B.f(x)C.﹣f(x)D.g(x)
8.函数f(x)=3x﹣4x3(x∈[0,1])的最大值是( )
A.1B.C.0D.﹣1
9.曲线y=ln(2x﹣1)上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离是( )
A.B.2C.3D.0
10.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数为f′(x),f′(0)>0,对于任意实数x都有f(x)≥0,则的最小值为( )
A.3B.C.2D.
二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分.请将答案写在答题卡相应位置)
11.若三角形的内切圆半径为r,三边的长分别为a,b,c,则三角形的面积S=r(a+b+c),根据类比思想,若四面体的内切球半径为R,四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4,则此四面体的体积V= .
12.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=﹣2处取得极值,并且它的图象与直线y=﹣3x+3在点(1,0)处相切,则函数f(x)的表达式为 .
13.下列是关于复数的类比推理:
①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则;
②由实数绝对值的性质|x|2=x2类比得到复数z的性质|z|2=z2;
③已知a,b∈R,若a﹣b>0,则a>b.类比得已知z1,z2∈C,若z1﹣z2>0,则z1>z2;
④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.
其中推理结论正确的是 .
14.= .
15.在如下数表中,已知每行、每列中的数都成等差数列,那么,位于下表中的第n行第n+1列的数是 .
第1列
第2列
第3列
…
第1行
1
2
3
第2行
4
6
第3行
9
三、解答题(本大题共4小题,每小题10分,共40分.请将答案写在答题卡相应位置)
16.已知复数z=m(m﹣1)+(m2+2m﹣3)i;
当实数m取什么值时,复数z是:
(1)实数
(2)虚数
(3)纯虚数
(4)零.
17.已知函数f(x)=x3﹣ax2﹣3x.
(1)若f(x)在[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围.
(2)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)的单调区间及极值.
18.已知a,b,c是互不相等的实数,求证:
由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.
19.已知函数f(x)满足f(x)=f′
(1)ex﹣1﹣f(0)x+x2;
(1)求f(x)的解析式及单调区间;
(2)若,求(a+1)b的最大值.
参考答案与试题解析
【考点】A4:
复数的代数表示法及其几何意义.
【分析】本题考查复数代数表示的几何意义,由几何意义找出复数z=﹣2+i对应的点的坐标,即可选出正确答案
【解答】解:
由复数的几何意义知复数z=﹣2+i对应的复平面中的点的坐标是(﹣2,1),是第二象限中的点
故选B
【考点】F1:
归纳推理.
【分析】由题意,图中数字所处的位置呈周期性变化,可以观察出位置变化以4为周期,可选定1为开始位置,由周期性即可计算出2016所处的位置,即可选出正确选项
选定1作为起始点,由图看出,位置变化规律是以4为周期,
由于2016=4×
504,可知第2016个数和4的位置相同,所以从2016到2018,箭头方向依次是↓→
故选:
A
【考点】6D:
利用导数研究函数的极值.
【分析】题目中条件:
“函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值”告诉我们其导数有两个不等的实根,利用二次方程根的判别式可解决.
由于f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1,
有f′(x)=3x2+2ax+(a+6).
若f(x)有极大值和极小值,
则△=4a2﹣12(a+6)>0,
从而有a>6或a<﹣3,
故选C.
【考点】6G:
定积分在求面积中的应用.
【分析】先根据题意画出区域,然后依据图形利用定积分表示出曲边梯形的面积,最后用定积分的定义求出所求即可.
先根据题意画出图形,
曲线y=x2,直线x=1,x=2及x轴所围成的曲边梯形的面积为:
S=∫12(x2)dx
而∫12(x2)dx=()|12=﹣=
∴曲边梯形的面积是
【考点】6A:
函数的单调性与导数的关系.
【分析】通过观察函数y=xf′(x)的图象即可判断f′(x)的符号以及对应的x的所在区间,从而判断出函数f(x)的单调性及单调区间,所以观察选项中的图象,找出符合条件的即可.
由图象看出,﹣1<x<0,和x>1时xf′(x)>0;
x≤﹣1,和0≤x≤1时xf′(x)≤0;
∴﹣1<x≤1时,f′(x)≤0;
x>1,或x≤﹣1时,f′(x)≥0;
∴f(x)在(﹣1,1]上单调递减,在(﹣∞,﹣1],(1,+∞)上单调递增;
∴f(x)的大致图象应是B.
故选B.
【考点】RG:
数学归纳法.
【分析】根据数学归纳法证明数学命题的步骤,在第二步,假设n=k时,命题成立,在此基础上推证n=k+2时,命题也成立.
由于相邻的两个奇数相差2,根据数学归纳法证明数学命题的步骤,在第二步时,假设n=k(k为正奇数)时,
xn+yn能被x+y整除,证明n=k+2时,xn+yn也能被x+y整除,
故选D.
【分析】由已知中(x2)'
=2x,(x4)'
=4x3,(cosx)'
=﹣sinx,…分析其规律,我们可以归纳推断出,偶函数的导函数为奇函数,再结合函数奇偶性的性质,即可得到答案.
由(x2)'
=2x中,原函数为偶函数,导函数为奇函数;
(x4)'
=4x3中,原函数为偶函数,导函数为奇函数;
(cosx)'
=﹣sinx中,原函数为偶函数,导函数为奇函数;
我们可以推断,偶函数的导函数为奇函数.
若定义在R上的函数f(x)满足f(﹣x)=f(x),
则函数f(x)为偶函数,
又∵g(x)为f(x)的导函数,则g(x)奇函数
故g(﹣x)+g(x)=0,即g(﹣x)=﹣g(x),
故选A.
【考点】6E:
利用导数求闭区间上函数的最值.
【分析】先求导数,根据函数的单调性研究出函数的极值点,连续函数f(x)在区间(0,1)内只有一个极值,那么极大值就是最大值,从而求出所求.
f'
(x)=3﹣12x2=3(1﹣2x)(1+2x)
令f'
(x)=0,解得:
x=或(舍去)
当x∈(0,)时,f'
(x)>0,当x∈(,1)时,f'
(x)<0,
∴当x=时f(x)(x∈[0,1])的最大值是f()=1
【考点】6H:
利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】设与曲线y=ln(2x﹣1)相切且与直线2x﹣y+3=0平行的直线方程为:
2x﹣y+m=0,设切点为(x0,y0),利用导数的几何意义可求出切点坐标,再利用点到直线的距离公式即可得出.
y=ln(2x﹣1)的导函数为y′=,
设与曲线y=ln(2x﹣1)相切且与直线2x﹣y+3=0平行的直线方程为:
2x﹣y+m=0,
设切点为(x0,y0)
∴=2,解得x0=1,
∴y0=ln(2x0﹣1)=ln1=0,
∴切点为(1,0)
∴切点(1,0)到直线2x﹣y+3=0的距离为=.
即曲线y=ln(2x﹣1)上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离是.
A.
【考点】63:
导数的运算.
【分析】先求导,由f′(0)>0可得b>0,因为对于任意实数x都有f(x)≥0,所以结合二次函数的图象可得a>0且b2﹣4ac≤0,又因为,利用
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