平面向量四心问题最全.docx
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平面向量四心问题最全
近年来,对于三角形的“四心”问题的考察时有发生,尤其是和平面向量相结合来考
察很普遍,难度上偏向中等,只要对于这方面的知识准备充分,就能应付自如.下面就平面
向量和三角形的“四心”问题的类型题做一阐述:
一、重心问题
三角形“重心”是三角形三条中线的交点,所以“重
心”就在中线上.
例 1已知 O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上
不共线的三个点,动点 P 满足:
,则 P 的轨迹一定通过△ABC
的(
)
A外心B内心C重心D垂心
解析:
如图 1,以 AB,AC 为邻边构造平行四边形 ABCD,E 为对角线的交点,根据向量
平行四边形法则,因为,
所以,上式可化为, E 在直线 AP 上,因为 AE 为的中线,所以选 C.
点评:
本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及
三角形重心性质等相关知识巧妙结合.
二、垂心问题
三角形“垂心”是三角形三条高的交点,所以“垂心”就在高线上.
例 2P 是△ABC 所在平面上一点,若
的().
,则 P 是△ABC
A.外心B.内心C.重
心D.垂心
解析:
由.
即.
则,
所以 P 为的垂心. 故选 D.
点评:
本题考查平面向量有关运算,及“数量积为零,则两向量所在直线垂直”、三
角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零,则两
向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合.
三、内心问题
三角形“内心”是三角形三条内角平分线的交点,所以“内心”就在内角平分线线上.
例 3已知 P 是△ABC 所在平面内的一动点,且点 P 满足
,则动点 P 一定过△ABC 的〔〕.
A、重心B、垂心C、外
心D、内心
解析:
如图 2 所示,因为
是向量 的单位向量设 与 方向上的单位向量
分别为
知 AP 平分
, 又
,那么在
,则原式可化为
中,AP 平分 ,则知选 B.
,由菱形的基本性质
点评:
这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”,首先是什么?
想想一个非零向
量除以它的模不就是单位向量?
此题所用的都必须是简单的基本知识,如向量的加减法、
向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等,若十分熟悉,又能迅速地将它们迁
移到一起,这道题就迎刃而解了.
四、外心问题
三角形“外心”是三角形三条边的垂直平分线的交点,所以“外心”就在垂直平分线
线上.
例 4 已知 O 是△ABC 内的一点,若,则 O 是△ABC 的〔〕.
A.重心B.垂心C.外心D.
内心
解析:
,由向量模的
定义知到的三顶点距离相等.故是的外心,选 C.
点评:
本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合
三角形的“四心”与平面向量
向量本身是一个几何概念,具有代数形式和几何形式两种表示方法,易于数形结合,而
且向量问题在进行数形结合时具有新形式、新特点,因此可称为高中数学的一个交汇点。
三
角形的“四心”(外心、内心、重心、垂心)是与三角形有关的一些特殊点,各自有一些特
殊的性质。
在高考中,往往将“向量作为载体”对三角形的“四心”进行考查。
这就需要我
们在熟悉向量的代数运算的基础上读懂向量的几何意义。
与三角形的“四心”有关的一些常见的重要的向量关系式有:
① 设 λ ∈ (0,+∞ ),则向量 λ ( AB
AB
+ AC
AC
) 必平分∠BAC,该向量必通过△ABC 的内心;
ABAC
AB
AC
③ 设 λ ∈ (0,+∞ ),则向量 λ (
AB
AB cos B
+ AC
AC cos C
) 必垂直于边 ,该向量必通过 ABC
的垂心
④ △ABC 中 AB + AC 一定过 BC 的中点,通过△ABC 的重心
222
⑥ 点 O 是△ABC 的重心 ⇔ OA + OB + OC = 0
⑦ 点 O 是△ABC 的垂心 ⇔OA ⋅ OB = OB ⋅ OC = OC ⋅ OA
⑧ 点 O 是△ABC 的内心 ⇔ a ⋅ OA + b ⋅ OB + c ⋅ OC = 0 (其中 a、b、c 为△ABC 三边)
⑨ △ABC 的外心 O 、重心 G 、垂心 H 共线,即 OG ∥ OH
⑩ 设 O 为△ABC 所在平面内任意一点,G 为△ABC 的重心,,I 为△ABC 的内心,
aOA + bOB + cOC
(OA + OB + OC )OI =
3a + b + c
33a+b+ca+b+c
)
例 1:
(2003 年全国高考题) O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三点,动
点 P 满足 OP = OA + λ ( AB
AB
+ AC
AC
λ
) , ∈ (0,+∞ ),则动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( )
(A)外心(B)内心
(C)重心(D)垂心
A F
E C
事实上如图设 AE = AB
AF = AC
都是单位向量
T
AB
AC
B
易知四边形 AETF 是菱形故选答案 B
例 2 :
( 2005 年北京市东城区高三模拟题)O 为△ ABC 所在平面内一点,如果
OA ⋅ OB = OB ⋅ OC = OC ⋅ OA ,则 O 必为△ABC 的()
(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心
事 实 上 OA ⋅ OB = OB ⋅ OC ⇒ (OA - OC) ⋅ OB = 0 ⇒ CA ⋅ OB = 0 ⇒ OB ⊥ CA
故选答案 D
例 3:
已知 O 为三角形 ABC 所在平面内一点,且满足
222222
(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心
事实上由条件可推出 OA ⋅ OB = OB ⋅ OC = OC ⋅ OA故选答案 D
例 4:
设 O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三点,
动点 P 满足 OP = OA + λ (
AB
AB cos B
+ AC
AC cos C
) , λ ∈ (0,+∞ ),则动点 P 的轨迹一定通
过△ABC 的()
(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心
事实上 λ(AB
AB cos B
+ AC
AC cos C
) ∙ BC = λ ⋅ (- BC + BC ) = 0 故选答案 D
例5 、 已 知 向 量 OP , OP , OP 满 足 条 件 O P+
1231
O P
2
O= ,
3
| OP |=| OP |=| OP |= 1 ,求证:
△PP P 是正三角形.
1231 2 3
分析对于本题中的条件 | OP |=| OP |=| OP |= 1 ,容易想到,点 O 是 △PP P 的
1231 2 3
外心,而另一个条件 OP + OP + OP = 0 表明,点 O 是 △PP P 的重心.
1231 2 3
故本题可描述为,若存在一个点既是三角形的重心也是外心,则该三角形一
定是正三角形.在 1951 年高考中有一道考题,原题是:
若一三角形的重心与外
接圆圆心重合,则此三角形为何种三角形?
与本题实质是相同的.
显然,本题中的条件 | OP |=| OP |=| OP |= 1 可改为 | OP |=| OP |=| OP | .
123123
高考原题
例 6、O 是平面上一 定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满
足
AC
| A B || AC |
+ ,
).
A.外心B.内心C.重心D.垂心
ACABAC
| AB || AC || AB || AC |
,显然
AE, AF 都是单位向量,以二者为邻边构造平行四边形,则结果为菱形,故 AP 为
∠ABC 的平分线,选 B .
例 7 、 ∆ABC 的 外 接 圆 的 圆 心 为 O , 两 条 边 上 的 高 的 交 点 为 H ,
OH = m(OA + OB + OC) ,则实数 m =.
分析:
本题除了利用特殊三角形求解外,纯粹利用向量知识推导则比较复杂,
更加重要的一点是缺乏几何直观.解法如下,由已知,有向量等式 AH BC = 0 ,
将其中的向量分解,向已知等式形式靠拢,有(OH - OA) (OC - OB) = 0 ,将已知
代
入
, 有 [m(OA + OB + OC) - OA] (OC - OB) = 0 , 即
m(OC2 - OB2 ) + (m -1)OA BC = 0 ,由 O 是外心,得 (m -1)OA BC = 0 ,由于 ∆ABC
是任意三角形,则 OA BC 不恒为0,故只有 m = 1恒成立.
或者,过点 O 作 OM ⊥ BC 与 M ,则 M 是 BC 的中点,有 OM = 1 (OB + OC ) ;
2
H是 垂 心 , 则 AH ⊥ BC , 故 AH 与 OM 共 线 , 设 AH = kOM , 则
k
2
kkk
)
222
根据已知式子 OH = m(OA + OB + OC) 中的 OA + OB + OC 部分,很容易想到三
角形的重心坐标公式,设三角形的重心为 G ,O 是平面内
任一点,均有 OG = OA + OB + OC
3
,由题意,题目显然叙
A
述的是一个一般的结论,先作图使问题直观化,如图1,
由图上观察,很容易猜想到 HG = 2GO ,至少有两个产生
O
T
猜想的诱因,其一是, BF , OT 均与三角形的边 AC 垂直,
则 BF // OT ;其二,点 G 是三角形的中线 BT 的三等分
G
F
H
B
E
D C
图1
点 . 此 时 , 会 先 猜 想 △BHG ∽△ T OG, 但 现 在 缺 少 一 个 关 键 的 条 件 , 即
BH = 2 OT ,这样由两个三角形的两边长对应成比例,同时,夹角对应相等可得
相似.当然,在考试时,只需大胆使用,也可利用平面几何知识进行证明.
本题结论是关于三角形的欧拉定理,即设 O、G、H 分别是△ABC 的外心、重
G H
心和垂心,则 O、 、 三点共线,且 OG∶GH=1∶2,利用向量表示就是 OH = 3OG .
例 8、点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点,满足 OA OB = OB OC = OC OA ,
则点 O 是 ∆ABC 的().
A.三个内角的角平分线的交点
交点
C.三条中线的交点
分析移项后不难得
B.三条边的垂直平分线的
D.三条高的交点
出 ,
A
OB CA = OC AB = OA CB = 0 ,点 O 是 ∆ABC 的垂心,
选 D .
3推广应用题
B
P
图2 C
例 9在 △ABC 内求一点 P ,使
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- 平面 向量 问题