中学考试中地费马点详解加练习Word文件下载.docx

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费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔·

托里拆利（气压计的发明者）的信中提出的。

托里拆利最早解决了这个问题，而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题，并系统地进行了推广，

实用文档因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点，相关的问-斯坦纳问题。

题也被称作费马-托里拆利这一问题的解决极大推动了联合数学的发展，在近代数学史上具有里程碑式的意义。

到三角形三个顶点“费马点”是指位于三角形内且距离之和最短的点。

的话，从这个三角形的费ABC若给定一个三角形△的距离之和比从CB、到三角形的三个顶点马点PA、其它点算起的都要小。

这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。

条距离连31203个内角均小于°

，那么1.若三角形线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形°

。

三边的张角相等，均为120所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。

°

，则此钝角的顶1202.若三角形有一内角大于等于点就是距离和最小的点。

实用文档

在1的条件下画图找费马点

如图以任意两边为边向两边做等边三角形ABD和等年三角形ACE，则CD,BE交点P即为所求

2若在≥120°

的钝角三角形中，其顶点即是。

另外，当刚好120°

且三角形BCD为等边三角形时，有个结论：

AD=AB+AC

我们拓展一道几何题，第二问对很多学生或者老师还是很酥爽的。

A石景山2011房山一摸2009

7分）25．（本小题满分BABC

已知：

等边三角形BPC=120为等边△ABC外一点，且∠°

．如图1，PCP并证明你的猜想；

AP试猜想线段BP、PC、之间的数量关系,图1

内一点，且∠APD=120°

．ABC2

（2）如图，P为等边△A

BD

求证：

PA+PD+PC＞PB

DC

2

图

我们回到正题：

费马点

25.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴x）xOy,2（0DB的正半轴上，，为△的中线，过、两点的抛物BOD?

ODB?

30?

OEEB3与轴相交于、两点（在线的左侧）.2cxy?

ax?

?

xFFAA6

（1）求抛物线的解析式；

（2）等边△的顶点、在线段上，求及的长；

NOMNAMAEMAE（3）点为△内的一个动点，设，请直接写出mPO?

PA?

ABOPBmP的最小值,以及取得最小值时，线段的长.

mAP

2013房山一摸24．

（1）如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且B、C、D三点共线，联结AD、BE相交于点P，求证：

BE=AD．

（2）如图2，在△BCD中，∠BCD＜120°

，分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF，联结AD、BE和CF交于点P，下列结论中正确的是（只填序号即可）

①AD=BE=CF；

②∠BEC=∠ADC；

③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°

；

（3）如图2，在

（2）的条件下，求证：

PB+PC+PD=BE．

29.阅读下面材料:

ABCBAC是一个可，在△（其中∠小伟遇到这样一个问题：

如图1ABACBCBC△PBC，=4，以的下方作等边以变化的角）中，为边在=2，AAPA的最大值。

求A'

CB

PP图21图

小伟是这样思考的：

利用变换和等边三角形将边的位置重新组

'

ABABP°

得到△为旋转中心将△60逆时针旋转合．他的方法是以点'

CAAAABC上时,当点,此题可解（如图落在,连接2）．

AP的最大值是请你回答：

．

（1）

（2）参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：

ABCABPABC内部一点，请写出△为△．边=4,如图3，等腰RtAPBPCP的最小值长的解题思路求++.

APBPCP的最小值问题，可仿照题目给出的做法+.+提示:

要解决ABPB点逆时针旋转60，得到.把⊿绕'

BPA?

①请画出旋转后的图形

APBPCP的最小值的解题思路（结果可以不化简）.

+②请写出求+A

PCB3图一月昌平2016

实用文档OCOAOABCOB.是等边△，已知，点内的任一点，连接，28.

CAOBBOCBOC按=150°

，∠绕点=120°

，将△

（1）如图1，已知∠ADC.60°

得△顺时针方向旋转DAO的度数是①∠；

OCOAOB，②用等式表示线段之间的数量关系，并证明；

，βαBOCAOB.

，∠==

（2）设∠OA+OB+OCαβ中画，有最小值？

请在图满足什么关系时，①当2出符合条件的图形，并说明理由；

OA+OB+OCABC.的最小值1②若等边△，直接写出的边长为AADOBCBC21图图2017年一月昌平

ABCACBPABC内一点．°

，点1．如图，在△中，∠为△=9029将△沿射线方向平移，得到△，DAEBCPPBPCCA，

（1）连接，点，，的对应点PBC分别为点，，，连接CEDEA．

①依题意，请在图中补全图形；

2CE的长，求，=6⊥如果，=3ABCEBPBP．②NB

B

B

MPPPACCA2图CA1图3图

实用文档，3

（2）如图PA+PB+PCPCPAPB，求连接，，的最小值．AMNABPA，顺时针旋转60小慧的作法是：

以点°

得到△为旋转中心，将△CNPCPPMMNCNPA+PB+PC落在++的值转化为，当点的值，连接那么就将上时，此题可解．MNPMPBPCCPPA+++=．请你参考小慧的思路，在图3中证明+PCPAACBCPB=时，=4++并直接写出当的最小值．延伸一下2017年一月ABCBACαPABCABAC内一点，且=，∠海淀28．在△中，是△=，点?

PCPAPBPB，，试探究满足的等量关系．．连接，?

PCAPAC?

2AP'

APPBCBC2

图图1

αABPA逆时针旋转60绕点°

得到1）当=60°

时将△，连（?

，ACP△接，如图1所示．由≌可以证得是等边三角形，?

△ABPPPAPP△ACP△APC的大小为度，进而得到可得∠再由?

PAC?

PCAPAPBPC满足的等量关系，，是直角三角形，这样可以得到?

CPP△为；

αPAPB，，=120°

时，请参考（12

（2）如图，当）中的方法，探究PC满足的等量关系，并给出证明；

PAPBPC满足的等量关系为，．）（3，

2016年顺义一摸

实用文档BACABC=6028．已知：

在△°

．中，∠PAABCAPCABACP，=3==150，点°

，在△内，且∠，若

（1）如图1BACPCAPC处，得到△顺时针旋转，使点=4，把△旋转到点绕着点DPADB，连接；

①依题意补全图1PB②直接写出的长；

PCPBABCPAABACP，求=42，若=3=，点，在△=5外，且，

（2）如图APC的度数；

∠PBPAACABPABC=5，点，∠在△=内，且）如图（33，若=2，3APCPC的长．°

，请直接写出=120P

A

APBCBC

A

PCB

26、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°

得到BN，连接EN、AM、CM．

（1）求证：

△AMB≌△ENB；

（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；

②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；

（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长．

在矩形ABCD中，点P在矩形内，点Q在BC上，AD=5,AB=3,

求AP+DP+PQ的最小值