高考数学三轮复习考前回扣学案考前回扣10 概率与统计文档格式.docx
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③平均数:
样本数据的算术平均数,
即
=
(x1+x2+…xn);
④方差与标准差
方差:
s2=
[(x1-
)2+(x2-
)2+…+(xn-
)2].
标准差:
s=
(4)八组公式
①离散型随机变量的分布列的两个性质
(ⅰ)pi≥0(i=1,2,…,n);
(ⅱ)p1+p2+…+pn=1.
②期望公式
E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn.
③期望的性质
(ⅰ)E(aX+b)=aE(X)+b;
(ⅱ)若X~B(n,p),则E(X)=np;
(ⅲ)若X服从两点分布,则E(X)=p.
④方差公式
D(X)=[x1-E(X)]2·
p1+[x2-E(X)]2·
p2+…+[xn-E(X)]2·
pn,标准差为
⑤方差的性质
(ⅰ)D(aX+b)=a2D(X);
(ⅱ)若X~B(n,p),则D(X)=np(1-p);
(ⅲ)若X服从两点分布,则D(X)=p(1-p).
⑥独立事件同时发生的概率计算公式
P(AB)=P(A)P(B).
⑦独立重复试验的概率计算公式
Pn(k)=C
pk(1-p)n-k.
⑧条件概率公式
P(B|A)=
2.活用定理与结论
(1)直方图的三个结论
①小长方形的面积=组距×
=频率;
②各小长方形的面积之和等于1;
③小长方形的高=
,所有小长方形高的和为
(2)线性回归方程
x+
一定过样本点的中心(
,
).
(3)利用随机变量K2=
来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验.如果K2的观测值k越大,说明“两个分类变量有关系”的可能性越大.
(4)如果随机变量X服从正态分布,则记为X~N(μ,σ2).满足正态分布的三个基本概率的值是:
①P(μ-σ<
X≤μ+σ)=0.6826;
②P(μ-2σ<
X≤μ+2σ)=0.9544;
③P(μ-3σ<
X≤μ+3σ)=0.9974.
1.应用互斥事件的概率加法公式,一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥,然后求出各事件分别发生的概率,再求和.
2.正确区别互斥事件与对立事件的关系:
对立事件是互斥事件,是互斥中的特殊情况,但互斥事件不一定是对立事件,“互斥”是“对立”的必要不充分条件.
3.混淆频率分布条形图和频率分布直方图,误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率,导致样本数据的频率求错.
4.要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别
(1)在P(A|B)中,事件A,B发生有时间上的差异,B先A后;
在P(AB)中,事件A,B同时发生.
(2)样本空间不同,在P(A|B)中,事件B成为样本空间;
在P(AB)中,样本空间仍为Ω,因而有P(A|B)≥P(AB).
5.易忘判定随机变量是否服从二项分布,盲目使用二项分布的期望和方差公式计算致误.
1.某学校有男学生400名,女学生600名.为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取男学生40名,女学生60名进行调查,则这种抽样方法是( )
A.抽签法B.随机数法
C.系统抽样法D.分层抽样法
答案 D
解析 总体由男生和女生组成,比例为400∶600=2∶3,所抽取的比例也是2∶3,故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,采用的抽样方法是分层抽样法,故选D.
2.200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示,则时速的众数,中位数的估计值为( )
A.62,62.5B.65,62
C.65,63.5D.65,65
解析 选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数;
求出从左边开始小矩形的面积和为0.5对应的横坐标即为中位数.最高的矩形为第三个矩形,所以时速的众数为65;
前两个矩形的面积为(0.01+0.02)×
10=0.3,由于0.5-0.3=0.2,则
×
10=5,所以中位数为60+5=65.故选D.
3.同时投掷两枚硬币一次,那么互斥而不对立的两个事件是( )
A.“至少有1个正面朝上”,“都是反面朝上”
B.“至少有1个正面朝上”,“至少有1个反面朝上”
C.“恰有1个正面朝上”,“恰有2个正面朝上”
D.“至少有1个反面朝上”,“都是反面朝上”
答案 C
解析 同时投掷两枚硬币一次,在A中,“至少有1个正面朝上”和“都是反面朝上”不能同时发生,且“至少有1个正面朝上”不发生时,“都是反面朝上”一定发生,故A中两个事件是对立事件;
在B中,当两枚硬币恰好一枚正面朝上,一枚反面朝上时,“至少有1个正面朝上”,“至少有1个反面朝上”能同时发生,故B中两个事件不是互斥事件;
在C中,“恰有1个正面朝上”,“恰有2个正面朝上”不能同时发生,且其中一个不发生时,另一个有可能发生也有可能不发生,故C中的两个事件是互斥而不对立的两个事件;
在D中,当两枚硬币同时反面朝上时,“至少有1个反面朝上”,“都是反面朝上”能同时发生,故D中两个事件不是互斥事件.故选C.
4.采用系统抽样方法从学号为1到50的50名学生中选取5名参加测试,,则所选5名学生的学号可能是( )
A.1,2,3,4,5B.5,26,27,38,49
C.2,4,6,8,10D.5,15,25,35,45
解析 采用系统抽样的方法时,即将总体分成均衡的若干部分,分段的间隔要求相等,间隔一般为总体的个数除以样本容量,据此即可得到答案.采用系统抽样间隔为
=10,只有D答案中的编号间隔为10.故选D.
5.道路交通法规定:
行人和车辆路过十字路口时必须按照交通信号指示通行,绿灯行,红灯停,遇到黄灯时,如已超过停车线须继续行进,某十字路口的交通信号灯设置时间是:
绿灯48秒,红灯47秒,黄灯5秒,小张是个特别守法的人,只有遇到绿灯才通过,则他路过该路口不等待的概率为( )
A.0.95B.0.05
C.0.47D.0.48
解析 由题意得小张路过该路口不等待的概率为
=0.48.
6.A是圆上固定的一定点,在圆上其他位置任取一点B,连接A,B两点,它是一条弦,它的长度大于等于半径长度的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 在圆上其他位置任取一点B,设圆的半径为R,则B点位置所有情况对应的弧长为圆的周长2πR,其中满足条件AB的长度大于等于半径长度的对应的弧长为
·
2πR,则弦AB的长度大于等于半径长度的概率P=
.故选A.
7.有5张卡片,上面分别写有数字1,2,3,4,5.从这5张卡片中随机抽取2张,那么取出的2张卡片上的数字之积为偶数的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析 从5张卡片中随机抽2张的结果有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10种,2张卡片上的数字之积为偶数有7种,故所求概率P=
8.在如图所示的电路图中,开关a,b,c闭合与断开的概率都是
,且是相互独立的,则灯亮的概率是( )
答案 B
解析 设开关a,b,c闭合的事件分别为A,B,C,则灯亮事件D=ABC∪AB
∪A
C,且A,B,C相互独立,ABC,AB
,A
C互斥,所以P(D)=P(ABC∪AB
C)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(
)+P(A)P(
)P(C)=
+
,故选B.
9.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表
收入x(万元)
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y(万元)
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得线性回归方程
,其中
=0.76,
-
.据此估计,该社区一户年收入为15万元的家庭的年支出为( )
A.11.4万元B.11.8万元
C.12.0万元D.12.2万元
解析 由题意知,
=10,
=8,
∴
=8-0.76×
10=0.4,
∴当x=15时,
=0.76×
15+0.4=11.8(万元).
10.设X~N(1,σ2),其正态分布密度曲线(随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),则P(μ-σ<
ξ≤μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<
ξ≤μ+2σ)=95.44%)如图所示,且P(X≥3)=0.0228,那么向正方形OABC中随机投掷10000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值为( )
A.6038B.6587
C.7028D.7539
解析 由题意知,P(0<
X≤1)=
0.6826=0.3413,则落入阴影部分的点的个数的估计值为10000×
(1-0.3413)=6587.故选B.
11.如图,在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为________.
答案
解析 由题意知,所给图中两阴影部分面积相等,
由ex=e,得x=1,故阴影部分面积为
S=2ʃ
(e-ex)dx=2(ex-ex)|
=2[e-e-(0-1)]=2.
又该正方形面积为e2,故由几何概型的概率公式可得所求概率为
12.样本容量为1000的频率分布直方图如图所示,则样本数据落在[6,14)内的频数为________.
答案 680
解析 根据给定的频率分布直方图可知,4×
(0.02+0.08+x+0.03+0.03)=1⇒x=0.09,则在[6,14)之间的频率为4×
(0.08+0.09)=0.68,所以在[6,14)之间的频数为1000×
0.68=680.
13.已知x,y的取值如表所示.
x
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
从散点图分析,y与x线性相关,且
=0.95x+
,则
=________.
答案 2.6
解析 根据表中数据得
=2,
=4.5,又由线性回归方程知,其斜率为0.95,∴截距
=4.5-0.95×
2=2.6.
14.某商场在儿童节举行回馈顾客活动,凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动,具体规则如下:
每人最多可射击3次,一旦击中,则可获奖且不再继续射击,否则一直射击到3次为止.设甲每次击中的概率为p(p≠0),射击次数为η,若η的期望E(η)>
,则p的取值范围是________.
解析 由已知得P(η=1)=p,P(η=2)=(1-p)p,
P(η=3)=(1-p)2,则E(η)=p+2(1-p)p+3(1-p)2=p2-3p+3>
,解得p>
或p<
又p∈(0,1),所以p
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