《数列的概念与简单表示法》导学案Word下载.docx
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别
数列中的项是有序的,两组相同的数字,按照不同的顺序排列得到不同的数列
集合中的元素是无序的
如数列1,3,4与1,4,3是不同的数列,而集合{1,3,4}与{1,4,3}是相等集合
数列中的项可以重复出现
集合中的元素满足互异性,不能重复出现
如数列1,1,1,…每项都是1,而集合则不可以
2.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与项数n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式叫做数列的__通项公式__.
①数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,3,…,n}为定义域的函数表达式,即an=f(n).
②已知数列的通项公式,依次用1,2,3,…去替代公式中的n,就可以求出这个数列的各项;
同时利用通项公式也可以判断某数是不是某数列中的项,是第几项.
③同函数的关系式一样,并不是所有的数列都有通项公式.如精确到1,0.1,0.01,…的不足近似值排成数列就不能用通项公式表示.
3.数列的分类:
(1)按项数分类:
项数有限的数列叫做有穷数列,项数无限的数列叫做无穷数列.
(2)按数列的每一项随序号的变化情况进行分类:
从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列.即an+1>
an(n=1,2,3…).
从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列.即an+1<
各项相等的数列叫做常数列.
从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列.
Y
1.下列说法正确的是( C )
A.数列1,2,3,5,7可表示为{1,2,3,5,7}
B.数列1,0,-1,-2与数列-2,-1,0,1是相同的数列
C.数列{}的第k项是1+
D.数列0,2,4,6,8,…可记为{2n}
[解析] {1,2,3,5,7}是一个集合,所以A错;
由于数列的项是有顺序的,所以B错;
数列{}的第k项是=1+,C正确;
而D中数列应表示为{2(n-1)}.
2.已知数列1,,,,…,,…,则3是它的( B )
A.第22项 B.第23项
C.第24项 D.第28项
[解析] ∵3=,∴令2n-1=45,得n=23.
3.(2018-2019学年度吉林汪清六中高二月考)在数列2,9,23,44,72,…中,第6项是( B )
A.82 B.107
C.100 D.83
[解析] 设这个数列为{an},∵9-2=7,23-9=14,44-23=21,72-44=28,
∴a6-72=35,∴a6=107,故选B.
4.数列1,3,6,10,x,21,…中,x的值是__15__.
[解析] ∵3-1=2,6-3=3,10-6=4,
∴,∴x=15.
5.已知数列{an}的通项公式是an=,其中n∈N*.
(1)写出a10,an+1;
(2)79是不是这个数列中的项?
如果是,是第几项?
如果不是,请说明理由.
[解析]
(1)将n=10代入an,得a10==.
将n+1代入an,得
an+1==.
(2)不妨设79是这个数列中的第n项,则
an==79,即n2+n-1=239.
解得n=15或n=-16(舍去负值),
∴79是数列{an}中的第15项.
H
命题方向1 ⇨数列的概念及分类
例题1下列四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是( C )
A.1,,,,…
B.sin,sin,sin,…
C.-1,-,-,-,…
D.1,,,…,
[解析] D是有穷数列,A是递减数列,B是摆动数列,故选C.
『规律总结』 解答数列概念题要紧扣相关定义,观察数列的项数特征,确定是有穷数列还是无穷数列,观察项的特点、变化规律确定增减性、周期性,也可以借助函数的单调性判断数列的增减.
〔跟踪练习1〕
已知下列数列:
(1)2000,2004,2008,2012;
(2)0,,,…,,…;
(3)1,,,…,,…;
(4)1,-,,…,,…;
(5)1,0,-1,…,sin,….
其中,有穷数列是
(1),无穷数列是__
(2)(3)(4)(5)__,递增数列是__
(1)
(2)__,递减数列是__(3)__,摆动数列是__(4)(5)__,周期数列是__(5)__(将合适的序号填在横线上).
[解析]
(1)是有穷递增数列;
(2)是无穷递增数列(因为=1-);
(3)是无穷递减数列;
(4)是摆动数列,也是无穷数列;
(5)是摆动数列,是无穷数列,也是周期数列,最小正周期为4.
命题方向2 ⇨已知数列的前几项,写出数列的一个通项公式
例题2写出下列数列的一个通项公式,使它的前四项为下列各数.
(1)1,2,3,4,…;
(2)11,102,1003,10004,…;
(3)9,99,999,9999,…;
(4),2,,8,.
[分析] 通过适当变形(如裂项)观察项的变化规律求解.
(1)把每一项分成整数和分数两部分;
(2)把每项分别可写成10+1,100+2等;
(3)可把每项写成10-1,100-1等;
(4)把2和8都改写成以2为分母的分数.
[解析]
(1)这个数列各项的整数部分分别为1,2,3,4,…,恰好是序号n;
分数部分分别为,,,,…,与序号n的关系是,
所以这个数列的一个通项公式是an=n+=.
(2)这个数列可以改写为10+1,100+2,1000+3,10000+4,…,所以这个数列的一个通项公式是an=10n+n.
(3)这个数列可以改写为10-1,100-1,1000-1,10000-1,…,所以这个数列的一个通项公式是an=10n-1.
(4)将每一项都统一写成分母为2的分数,即,,,,,…,所以它的一个通项公式是an=.
『规律总结』 根据数列的前几项求其通项公式,一般通项公式不唯一,我们常常取其形式上较简便的一个即可.解答时,主要靠观察、分析、比较、归纳、联想、转化等方法.观察时特别注意:
①各项的符号特征;
②分式的分子、分母特征;
③相邻项的变化规律(绝对值的增减).处理方法常用的有:
①化异为同(统一分子、或分母的结构形式);
②拆项;
③用(-1)n等表示符号规律;
④与特殊数列(自然数、偶数、奇数、自然数的平方,2n等)的联系.
〔跟踪练习2〕
(1)数列,,,1,,,…的一个通项公式为__an=__;
(2)数列1,2,3,8,5,6,7,…的一个通项公式为__an=n__;
(3)数列1,-,,-,,…的一个通项公式为__an=(-)n-1__.
[解析]
(1)先把各项都写成分数形式,注意到4=2×
2,可以把分母不是4的项改写成分母为4的情形,即,,,,,,…,∴an=.
(2)先将数列中的部分项作调整,使之都含有根号和系数1,2,3,4,5,6,7,…,
∴an=n.
(3)奇数项为正,偶数项为负,可由(-1)n-1来实现,分子全为1,分母依次为20,21,22,23,…,
∴an=,
即an=(-)n-1.
命题方向3 ⇨数列通项公式的应用
例题3已知数列{an}的通项公式为an=3n2-28n.
(1)写出数列的第4项和第6项;
(2)-49和68是该数列的项吗?
若是,是第几项?
若不是,请说明理由.
[解析]
(1)∵an=3n2-28n,
∴a4=3×
42-28×
4=-64,
a6=3×
62-28×
6=-60.
(2)令3n2-28n=-49,即3n2-28n+49=0,
∴n=7或n=(舍).
∴-49是该数列的第7项,即a7=-49.
令3n2-28n=68,即3n2-28n-68=0,
∴n=-2或n=.
∵-2∉N*,∉N*,
∴68不是该数列的项.
『规律总结』 判断某数是否为数列中的项的方法及步骤
①将所给项代入通项公式中;
②解关于n的方程;
③若n为正整数,说明某数是该数列的项;
若n不是正整数,则不是该数列的项.
〔跟踪练习3〕
已知数列的通项公式为an=,试问和是不是它的项?
[解析] 令=,则n2+3n-40=0,解得n=5或n=-8,注意到n∈N*,
故将n=-8舍去,
所以是该数列的第5项.
令=,则4n2+12n-27=0,
解得n=或n=-,
注意到n∈N*,所以不是此数列中的项.
Y混淆数列概念的有序性致错
例题4写出由集合{x|x∈N*,且x≤4}中的所有元素构成的数列(要求首项为1,且集合中的元素只出现一次).
[错解] 集合中的元素用列举法表示为{1,2,3,4},所以所求数列为1,2,3,4.
[辨析] 错解中混淆了数列概念的有序性.
[正解] 集合可表示为{1,2,3,4}.由集合中的元素组成的数列要求首项为1,且集合中的元素只出现一次,故所求数列有6个,分别是1,2,3,4;
1,3,2,4;
1,2,4,3;
1,3,4,2;
1,4,2,3;
1,4,3,2.
X 求数列的最大(小)项的方法
求数列{an}的最大项和最小项,一种方法是利用函数的最值法;
另一种是不等式法,求最小项可由来确定n,求最大项可由来确定n.若数列是单调的,也可由单调性来确定最大或最小项,若数列的项是正负交替出现的,求最大(或小)项,应在其正(或负)项中找.
例题5
(1)已知数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4.
①数列{an}中有多少项是负数?
②当n为何值时,an有最小值?
并求出最小值.
(2)已知数列{an}的通项公式an=(n+1)()n(n∈N*),试问数列{an}有没有最大项?
若有,求出最大项;
若没有,说明理由.
[解析]
(1)①由n2-5n+4<
0得(n-1)(n-4)<
0,解得1<
n<
4.
∵n∈N*,∴n=2,3.
∴数列中有两项是负数.
②∵an=n2-5n+4=(n-)2-,可知对称轴方程为n=2.5.
又∵n∈N*,故n=2或3时,an有最小值,且a2=a3,其最小值为22-5×
2+4=-2.
(2)假设数列{an}中存在最大项.
∵an+1-an=(n+2)()n+1-(n+1)·
()n=()n·
,
当n<
9时,an+1-an>
0,即an+1>
an;
当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;
当n>
9时,an+1-an<
0,即an+1<
an,
故a1<
a2<
a3<
…<
a9=a10>
a11>
a12>
…,
所以数列中有最大项,最大项为
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