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广东七校联考
(二))《九章算术》商功章有题:
一圆柱形谷仓,高1丈3尺3
寸,容纳米2000斛,(注:
1丈=10尺,1尺=10寸,1斛≈1.62立方尺,圆周率取3),则圆柱底面圆周长约为( )
A.1丈3尺B.5丈4尺
C.9丈2尺D.48丈6尺
[解析] 由题意,圆柱形谷仓的高h=10+3+
=
(尺),体积V≈2000×
1.62=3240(立方尺).设圆柱的底面半径为R尺,由体积公式得πR2×
≈3240,得3R2×
≈3240,解得R2≈81,故R≈9,所以底面圆周长C=2πR≈2×
3×
9=54(尺),即5丈4尺,故选B.
[答案] B
3.(2017·
山东莱芜模拟)某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是3,则正视图中的x的值是( )
A.2B.
D.3
[解析] 根据三视图判断几何体为四棱锥,其直观图如图所示.
V=
2x=3⇒x=3.故选D.
4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体中,最大侧面的面积为( )
A.
B.
[解析] 由三视图知,该几何体的直观图如图所示.平面AED⊥平面BCDE,四棱锥A-BCDE的高为1.四边形BCDE是边长为1的正方形,则S△AED=
1×
,S△ABC=S△ABE=
,S△ACD=
,故选C.
[答案] C
5.(2017·
石家庄质检)某几何体的三视图如图所示(在网格线中,每个小正方形的边长为1),则该几何体的体积为( )
A.2B.3C.4D.6
[解析] 由三视图知,该几何体为四棱锥,其底面面积S=
(1+2)×
2=3,高为2,所以该几何体的体积V=
2=2,故选A.
[答案] A
6.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图,且该几何体的体积为
,则该几何体的俯视图可以是( )
[解析] 由题意可得该几何体可能为四棱锥,如图所示,其高为2,其底面为正方形,面积为2×
2=4,因为该几何体的体积为
4×
2=
,满足条件,所以俯视图可以为一个直角三角形.选D.
7.(2017·
西安模拟)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( )
B.16π
C.9πD.
[解析] 易知球心在正四棱锥的高上,设球的半径为R,则(4-R)2+(
)2=R2,解得R=
,所以球的表面积为4π×
π,故选A.
8.(2017·
福州二模)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
A.16+2
B.16+
C.12+2
D.12+
[解析] 由三视图可画出几何体的直观图为多面体ABCDEF,放在长方体中如图所示,则几何体的表面由四个全等且直角边长分别为2,3的直角三角形,两个边长分别为
,
,2
的等腰三角形及一个边长为2的正方形构成,故几何体的表面积为4×
2×
3+
+4=16+2
.
9.(2017·
四川泸州四诊)某几何体的正视图和侧视图如图
(1)所示,它的俯视图的直观图是△A′B′C′,如图所示,其中O′A′=O′B′=2,O′C′=
,则该几何体的表面积为( )
A.36+12
B.24+8
C.24+12
D.36+8
[解析] 由题图
(2)可知该几何体的俯视图是一个底面边长为4,高为2
的等腰三角形,即该三角形为等边三角形.在如图所示的长方体中,长、宽、高分别为4,2
,6,由三视图还原几何体,该几何体即为图中的三棱锥P-ABC,且△ABC为等边三角形,S△PAB=S△PBC=
6=12,S△ABC=
2
=4
,△PAC是腰长为
,底边长为4的等腰三角形,S△PAC=8
,故该几何体的表面积为2×
12+4
+8
=24+12
.故选C.
10.空间四边形ABCD的四个顶点都在同一球面上,E,F分别是AB,CD的中点,且EF⊥AB,EF⊥CD.若AB=8,CD=EF=4,则该球的半径等于( )
[解析] 如图,连接BF,AF,DE,CE,因为AE=BE,EF⊥AB,所以AF=BF.同理可得EC=ED.又空间四边形ABCD的四个顶点都在同一球面上,所以球心O必在EF上,连接OA,OC.设该球的半径为R,OE=x,则R2=AE2+OE2=16+x2①
R2=CF2+OF2=4+(4-x)2②
由①②解得R=
11.(2017·
广州五校联考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
+1B.
C.
+1D.
+1
[解析] 由三视图可知该几何体是一个圆柱和半个圆锥的组合体,故其表面积为
π+1+2π×
2+
π=
+1,选C.
12.(2017·
湖北八校二次联考)一个三棱锥三视图如图所示,则该三棱锥的外接球的表面积为( )
A.25πB.
C.116πD.29π
[解析] 由三视图可得该三棱锥是如图的ABCD,顶点是一个棱长分别为3,2,4的长方体的顶点,所以其外接球的直径2R=
,所以该球的表面积为4πR2=29π,故选D.
二、填空题
13.(2017·
沈阳质检)三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积为V1,P-ABC的体积为V2,则
的值为________.
[解析] 如图,设S△ABD=S1,S△PAB=S2,E到平面ABD的距离为h1,C到平面PAB的距离为h2,则S2=2S1,h2=2h1,V1=
S1h1,V2=
S2h2,所以
[答案]
14.(2017·
西安质检)多面体的三视图如图所示,则该多面体的体积为________cm3.
[解析] 由三视图可知该几何体是一个三棱锥,如图所示,
在三棱锥D-ABC中,底面ABC是等腰三角形,设底边AB的中点为E,则底边AB及底边上的高CE均为4,侧棱AD⊥平面ABC,且AD=4,所以三棱锥D-ABC的体积V=
S△ABC·
AD=
4=
(cm3).
15.(2017·
合肥模拟)在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=2,AB=2,AC=1,∠BAC=60°
,则该三棱锥的外接球的表面积为________.
[解析] 因为AB=2,AC=1,∠BAC=60°
,利用余弦定理得BC=
,所以AC2+BC2=AB2,所以AC⊥BC.又因为PA⊥平面ABC,所以三棱锥P-ABC是长为1,宽为
,高为2的长方体的一部分(如图所示),所以三棱锥P-ABC外接球的半径为
,所以其外接球的表面积为4π×
(
)2=8π.
[答案] 8π
16.(2017·
厦门一模)如图所示的是一个几何体的三视图,则该几何体的表面积为________.
[解析] 该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分,长方体的长、宽、高分别为4,1,2,挖去半圆柱的底面半径为1,高为1,所以表面积为S=S长方体表-S半圆柱底-S圆柱轴截面+S半圆柱侧=2×
1+2×
2+2×
2-π×
12-2×
1+
2π×
1=26.
[答案] 26
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