高等教育概率论四种收敛性Word文档格式.docx

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-\rdF（x）

【证明】设X的分布函数为F（x），则有:

1r00ir

<

—-fxdF（x）』J・8

引理的特殊情况：

P（|X|>

£

）<

纟甲

取一2,并以X・E（X）代替X得车贝晓夫不等式*

【定理】

（车贝晓夫不等式）设随机变量X有2阶中心矩，E[X-E（X）]则对任意£

p（|x-e（x）|>

^）<

^2

【证明】设X的分布函数为尸（兀），则有：

DX=f（x-E（X））2JF（x）>

f（x-E（X））2dF（x）

\x-E（X）\^

>

J£

2dF（x）

=e2P{\X-E（X）\>

e}

从而尸（|X-E（X）\>

e）<

代耳<

=^>

P（\X一E（X）\<

^）>

1-2^

88

P（\X-E（X）\<

s）>

l-^^

8

由车贝晓夫不等式可以看出，若b?

越小，贝!

I事件［\X-E（X）\<

］的概率越大，即随机变量X集中在期望附近的可能性越大.

特别地，若D（X）=O,则对任意£

0,恒<

P{|X-EX|>

g}|0-因此P{XHE¥

}=0,即P{X=EX}=1,所以方差为0的随机鑼是常数菱

P{\X-E（X）\>

当方差已知时，车贝晓夫不等式给出了/X与它的期望的偏差不小于8的概率的估计式・如取£

=3b

P{IX-E（X）I>

3<

r}<

—"

.111

9（7屋

可见，对任给的分布，只要期望和方差亍存蠹则r.vX取值偏离超过3a的概率小于0.1117

二

车贝晓夫不等式的用途:

车贝晓夫不等式只利用随机变量的数学期望及方差就可对的

概率分布进行估计。

从车贝晓夫不等式还可以看出，对于给定的£

0,当方差越小

时，事件｛IX・E（X）I2£

｝发生的概率也越小，即X的取值越集中在

E（X）附近.这进一步说明方差确实是一个描述随机变量与其期

P{\X-E{X}\>

S}<

^^-

戶{IX-E（X）I%1-空孚

望值离散程度的一个量.

当D（X）已知时，车贝晓夫不等式给出了X与的偏差水于£

的概率的估计值.

例1：

设电站供电网有10000盏电灯,夜晚每盏灯开灯的概率均为0.7,假定灯的开、关是相互独立的，使用车贝晓夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在6800到7200盏之间的概率。

解令X表示在夜晚同时开着的灯数目，

则X服从210000,p=0.7的二项分布，这时

由车贝晓夫不等式可得:

P{6800<

X<

7200}

=P{\X-70001<

200}>

1-

2100

2002

a0.95.

E（X）=np=7000,D（X）=npq=2100.例2：

已知正常男性成人血液中,每一毫升白细胞数平均是7300,标准差是700.利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率.

解：

设每毫升白细胞数为X依题意，E（X）=7300Q（X）=7002

所求为P（5200<

X<

9400）

P（5200<

9400）

=P（-2100<

X-E（X）<

2100）

=P{\X-E（X）\<

2100}

由车贝晓夫不等式

P{\X-E（X）\<

2100}>

1--D（X）

一（2100）2

即估计每毫升白细胞数在5200〜9400之间的概率军

小于8/9・B

例3：

在每次试验中，事件A发生的概率为0・75,利

用车贝晓夫不等式求：

〃需要多么大时，才能使得在

〃次独立重复试验中，事件4出现的频率在0・74~0・76之

间的概率至少为0・90?

设X为兀次试验中，事件A出现的次数,

则X~B（%0・75）

所求为满足

E（X）=0.75n,D（X）=0.75X0.25n=0.1875n

P（0.74<

—<

0.76）>

0.90

n

的最小的兀・

解得

让冒8750

即〃取18750时，可以使得在兀次独立重复试验中，

•二-

事件A出现的频率在0.74-0.76之间的概率至少为0丽.

—■■■

二、分布函数弱收敛

定义仁对于分布函数列{F”（x）},如果存在一个非降函数

F（兀）使

limFn（x）=F（x）

在F（x）的每一个连续点都成立，则称F”（兀）弱收敛于F（x）

记为恥

三、依分布收敛

定义2:

设随机变量打（"

1,2,…）和随机变量Y的分布函数分别为耳⑴⑺=1,2,.・・）和卩（兀）,若在的所有连续点x上都有

则称随机变量序列｛匕｝依分布收敛于随机变量丫,

简记为丫”—

依分布收敛表示：

当〃充分大时，Yn的分布函数

FnM收敛于丫的分布函数尸（兀），它是概率论中较弱的一种收敛性.

五、♦阶收敛

定义4：

设对随机变量打及丫有ER」'

oo,Eyr<

其和＞0为常数，如果

iimEiy„-yr=o

MTOO

则称｛打打阶收敛于丫，并记为Y„-^Y

特别的有1-阶收敛又称为平均收敛,

2-阶收敛又称为均方收敛。

均方收敛一定平均收敛

定义5：

设有随机变量序列｛Y”（劲｝和随机变量

Y（劲，若

p{o：

limyn（d>

）=y（c?

）}=i

tis

或简记为

P{limYn=Y}=l

n—>

QD

则称随机变量序列｛乙｝以概率1（或几乎处处）收敛于随机变量丫，简记为：

打亠—Y

下面定理揭示了四种收敛之间的关系O

定理4.2设随机变量序列｛FJ和随机变量

⑴若打亠-Y,贝！

|Yn-^Y;

（2）若Yn^-^Y,贝!

J匕一^丫；

几乎处处收敛=>

依概率收敛=>

依分布收敛

r一阶收敛=>

几乎处处收敛和n阶收敛之间不存在推导关系

⑶若打一^丫,贝!

I・

p（|y/z-y|>

EYn-Y

⑵若打二,则Y”——Y;

【证明】由马尔可夫引理有，对任意$>

0,有

又因为打—^人则由定义有:

limEiy-yr=o

rwn—>

oo

所以

limP{l爲一Ylg}=0

co

即：

y―Y

/i

例题11-2-1（2001,数一）

1、设变量X的方差为2,根据切比雪夫不等式估计

P（|X-E（X）|>

2）<

解；

在车贝晓夫不等式中，令£

=2,由已知D（X）=2

所以P（|X-E（X）|>

D（X）

证明:

已知X,（心1,2,…加相互独立，且方差有限

证明limP

"

Too

\

1H1,Z

謨「誤Eg

丿

=1

、一r，一心亠=_—1吕一

n—

E（Z）=E（X）=E（—工X,）=—E（工X,）二—工E（XJ

—\n\n［巾

o（z）=D（X）=n（-£

xz）=飞。

（工XJ=飞工。

（&

）Mi=ift/=xna

由车贝晓夫不等式，

，代Az=x=—•，即：

、11z,

〃苗

ni=lnZ=1

P（\Z-E（Z）\<

因为D（XJVK,所以上式：

i=i

（1w1w

p\—厂—XJV£

{ni=ini=i

121

limP———QE（XJ<

lima-

〃T8

W—>

Q0

A）=1

ns

又由概率性质P<

1

limP

1H1w

=1