高中涉及到的各种常见不等式的解法Word格式文档下载.docx
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有两相异
实根x1,x2
(x1<
x2)
有两相等
实根x1=x2
=-
没有实数根
ax2+bx+c>
0)的解集
{x|x>
x2
或x<
x1}
{x|x≠x1}
R
ax2+bx+c<
{x|x1<
x
<
x2}
∅
四、一元二次不等式的图像解法步骤:
①将二次项系数化为“+”:
y=>
0(或<
0)(a>
0)
②计算判别式,
③若,则求出不等式对应方程的根;
④据图象,写出解集.
五、例题讲练
类型一、求不含参数的二次不等式的解集:
1.不等式2x2-x-3>
0的解集为( )
A.B.
C.D.
答案 B
解析 2x2-x-3>
0⇒(x+1)(2x-3)>
0,解得x>
-1.∴不等式2x2-x-3>
0的解集为,故选B.
2.不等式4x2+4x+1≤0的解集为( )
A.∅B.R
答案 D
解析 因为4x2+4x+1=(2x+1)2,所以4x2+4x+1≤0的解集为.
3.不等式2x2-3|x|-35>
答案 {x|x<
-5或x>
5}
解析 2x2-3|x|-35>
0⇔2|x|2-3|x|-35>
0⇔
(|x|-5)(2|x|+7)>
0⇔|x|>
5或|x|<
-(舍去)⇔x>
5或x<
-5.
4.对点训练
(1)2x2+7x+3>
0;
(2)-x2+8x-3>
(3)x2-4x-5≤0;
(4)-4x2+18x-≥0;
(5)-x2+3x-5>
(6)-2x2+3x-2<
0.
(7)x2-3x+1≤0;
(8)3x2+5x-2>
(9)-9x2+6x-1<
(10)x2-4x+5>
(11)2x2+x+1<
0.(12)
(13).(14).
(15)(16)
(17)(18)
(19)(20)
类型二、求含参数的二次不等式的解集:
1.若0<
m<
1,则不等式(x-m)<
解析 当0<
1时,m<
,故不等式(x-m)<
2.设实数a∈(1,2),关于x的一元二次不等式x2-(a2+3a+2)x+3a(a2+2)<
A.(3a,a2+2)B.(a2+2,3a)
C.(3,4)D.(3,6)
解析 由x2-(a2+3a+2)x+3a(a2+2)<
0,得(x-3a)(x-a2-2)<
0,∵a∈(1,2),∴3a>
a2+2,∴关于x的一元二次不等式x2-(a2+3a+2)x+3a(a2+2)<
0的解集为(a2+2,3a).故选B.
3.ax2-(a+1)x+1<
解 原不等式化为(ax-1)(x-1)<
①当a=0时,解不等式,得x>
1;
②当0<
a<
1时,解不等式,得1<
;
③当a>
1时,解不等式,得<
④当a=1时,不等式无解;
⑤当a<
0时,不等式化为(x-1)>
0,
解不等式,得x<
或x>
1.
综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x>
1};
当0<
1时,不等式的解集为;
当a>
1时,不等式的解集为<
当a<
0时,不等式的解集为;
当a=1时,不等式的解集为∅.
4.x2-(a2+a)x+a3>
解 原不等式化为(x-a)(x-a2)>
①当a2-a>
0,即a>
1或a<
0时,
解不等式,得x>
a2或x<
a.
②当a2-a<
0,即0<
1时,
a2或x>
a;
③当a2-a=0,即a=0或a=1时,
解不等式,得x≠a.
综上①②③得,当a>
0时,不等式的解集为
a};
1时,不等式的解集为{x|x<
当a=0或a=1时,不等式的解集为{x|x≠a}.
5.对点训练
(1).已知a>
1,则不等式x2-(a+1)x+a<
A.(a,+∞)B.(-∞,1)
C.(1,a)D.(-∞,1)∪(a,+∞)
(2).解关于x的不等式:
2x2+ax+2>
(3).解关于x的不等式:
x2-ax-2a2<
(4).解关于x的不等式:
(x-2)(ax-2)>
(5).解关于x的不等式:
ax2-2≥2x-ax(a∈R).
题型三分式不等式的解法
等价解。
一、>
0或
二、<
三、≥0
四、≤0
1.不等式<
0的解集是( )
A.B.{x|3<
4}
答案 C
解析 不等式<
0等价于(x-4)>
0,所以不等式的解集是.
2.解不等式:
≥-1;
解 将原不等式移项通分得≥0,
等价于
所以原不等式的解集为.
3.不等式≤0的解集为( )
A.B.
C.∪[1,+∞)D.∪[1,+∞)
4.不等式≥3的解集为_______.
5.不等式≥0的解集为_______.
6.不等式>
1的解集为_______.
7.不等式≤x-1的解集是( )
A.(-∞,-1)∪(1,3]B.[-1,1)∪[3,+∞)
C.[1,3)D.(-∞,1]∪(3,+∞)
1.已知关于x的不等式>
0的解集是(-∞,-1)∪,则a的值为( )
A.-1B.
C.1D.2
解析 由题意可得a≠0且不等式等价于a(x+1)>
0,由解集的特点可得a>
0且=,故a=2.故选D.
2.若关于x的不等式>
0的解集为(-∞,-1)∪(4,+∞),则实数a=____.
3.若关于x的不等式ax-b>
0的解集为(1,+∞),则关于x的不等式>
A.(-1,2)B.(-∞,-1)∪(2,+∞)
C.(1,2)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
题型四高次不等式的解法(数轴标根法)
知识点:
数轴标根法步骤
①化标准形式:
将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>
0(<
0)形式,并将各因式x的系数化“+”;
(为了统一方便)
②找跟排根:
并在数轴上表示出来;
③穿根:
由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点(注意:
奇穿偶穿而不过);
④找解集:
若不等式(x的系数化“+”后)是“>
0”,则找“线”在x轴上方的区间;
若不等式是“<
0”,则找“线”在x轴下方的区间.
例题讲练
(x-1)(x+2)(x-3)>
0
x(x-3)(2-x)(x+1)>
0.
(x-2)2(x-3)3(x+1)<
0.
(x-3)(x+1)(x2+4x+4)0.
>
0
题型五指数不等式的解法
指数不等式的解法。
0<
1时,af(x)>
ag(x)f(x)<
g(x),af(x)<
ag(x)f(x)>
g(x)
a>
1.方程3x-1=的解是________.
2.若2a+1<
3-2a,则实数a的取值范围是( )
A.(1,+∞)B.C.(-∞,1)D.
3. 设0<
1,解关于x的不等式a2x2-3x+2>
a2x2+2x-3.
4.(a2-a+2)-x-1<
(a2-a+2)2x+5的解集为( )
A.(-∞,-4)B.(-4,+∞)
C.(-∞,-2)D.(-2,+∞)
解析 ∵a2-a+2>
1,∴-x-1<
2x+5,
∴x>
-2,选D.
5.
6.
7.
题型六对数不等式的解法
对数不等式的解法。
0<
1时,logaf(x)>
logag(x)f(x)<
g(x),logaf(x)<
logag(x)f(x)>
g(x)
1时,logaf(x)>
1.
2.已知log0.7(2x)<
log0.7(x-1),求x的取值范围.
3.
4.
5.已知loga>
1,求a的取值范围.
6.若loga<
1(a>
0且a≠1),则实数a的取值范围是( )
A.B.
C.∪(1,+∞)D.∪(1,+∞)
解析 因为loga<
1,所以loga<
logaa.若a>
1,则上式显然成立;
若0<
1,则应满足>
0.所以a的取值范围是∪(1,+∞).故选D.
7.已知loga<
1,那么a的取值范围是( )
A.∪(1,+∞)B.C.D.(1,+∞)
8.
9.已知loga(2a+1)<
loga(3a),求a的取值范围.
10.当,求不等式:
(a<
1)
题型七幂函数有关的不等式
1.若f(x)=x-x,则满足f(x)<
0的x的取值范围是________.
2.设函数f(x)=已知f(a)>
1,则实数a的取值范围是( )
A.(-2,1)B.(-∞,-2)∪(1,+∞)
C.(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,+∞)
题型八正、余弦不等式的解法
三角不等式的解法。
利用三角函数的图像或三角函数线解三角不等式。
1.利用单位圆中的三角函数线,分别确定角的取值范围:
(1).sinα≤
(2).cosα>
(3).sinθ≥;
(4).
(5).-≤cosθ<
.(6).y=
(7).y=(8).y=lg(2sinx+1)+
2.函数y=+的定义域是( )
A.(2kπ,(2k+1)π),k∈ZB.,k∈Z
C.,k∈ZD.[2kπ,(2k+1)π],k∈Z
3.若sinθ≥0,则θ的取值范围是________.
4.在[-π,π]上,满足sinx≤的x的取值范围是________.
5.若0≤sinθ<
,则θ的取值范围是________.
6.求下列函数的定义域:
(1)y=;
(2)y=lg(3-4sin2x).(3)y=
题型九正切不等式的解法
利用三角函数的图像
1.利用正切函数的图像,分别确定角的取值范围:
tanα≥-1tanx>0
2.若tan≤1,则x的取值范围是__________.
3.设0≤α<
2π,若sinα>
cosα,则
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- 高中 涉及到 各种 常见 不等式 解法