高考学案复 数Word格式.docx
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(4)共轭复数:
a+bi与c+di共轭⇔a=c,b=-d(a,b,c,d∈R).
(5)模:
向量的模叫做复数z=a+bi的模,记作|a+bi|或|z|,即|z|=|a+bi|=(a,b∈R).
2.复数的几何意义
复数z=a+bi与复平面内的点Z(a,b)及平面向量=(a,b)(a,b∈R)是一一对应关系.
3.复数的运算
(1)运算法则:
设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R.
(2)几何意义:
复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义,即=+,=-.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×
”)
(1)方程x2+x+1=0没有解.( ×
)
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)中,虚部为bi.( ×
(3)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小.( ×
(4)原点是实轴与虚轴的交点.( √ )
(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模.( √ )
题组二 教材改编
2.[P106B组T1]设复数z满足=i,则|z|等于( )
A.1B.C.D.2
答案 A
解析 1+z=i(1-z),z(1+i)=i-1,
z===i,
∴|z|=|i|=1.
3.[P112A组T2]在复平面内,向量对应的复数是2+i,向量对应的复数是-1-3i,则向量对应的复数是( )
A.1-2iB.-1+2i
C.3+4iD.-3-4i
答案 D
解析 =+=-1-3i+(-2-i)=-3-4i.
4.[P116A组T2]若复数z=(x2-1)+(x-1)i为纯虚数,则实数x的值为( )
A.-1B.0C.1D.-1或1
解析 ∵z为纯虚数,∴∴x=-1.
题组三 易错自纠
5.设a,b∈R且b≠0,若复数(a+bi)3是实数,则( )
A.b2=3a2B.a2=3b2
C.b2=9a2D.a2=9b2
解析 (a+bi)3=a3+3a2bi+3ab2i2+(bi)3
=a3-3ab2+(3a2b-b3)i.
∵(a+bi)3是实数,∴3a2b-b3=0,
∴3a2=b2.
6.设i是虚数单位,若z=cosθ+isinθ,且其对应的点位于复平面内的第二象限,则θ位于( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
答案 B
解析 ∵z=cosθ+isinθ对应的点的坐标为(cosθ,sinθ),且点(cosθ,sinθ)位于第二象限,∴
∴θ为第二象限角,故选B.
7.i2011+i2012+i2013+i2014+i2015+i2016+i2017=________.
答案 1
解析 原式=i3+i4+i1+i2+i3+i4+i=1.
题型一 复数的概念
1.(优质试题·
全国Ⅰ)设有下列四个命题:
p1:
若复数z满足∈R,则z∈R;
p2:
若复数z满足z2∈R,则z∈R;
p3:
若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=2;
p4:
若复数z∈R,则∈R.
其中的真命题为( )
A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4
解析 设z=a+bi(a,b∈R),z1=a1+b1i(a1,b1∈R),
z2=a2+b2i(a2,b2∈R).
对于p1,若∈R,即=∈R,则b=0,
故z=a+bi=a∈R,所以p1为真命题;
对于p2,若z2∈R,即(a+bi)2=a2+2abi-b2∈R,则ab=0.当a=0,b≠0时,z=a+bi=bi∉R,所以p2为假命题;
对于p3,若z1z2∈R,即(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i∈R,则a1b2+a2b1=0.而z1=2,即a1+b1i=a2-b2i⇔a1=a2,b1=-b2.因为a1b2+a2b1=0⇏a1=a2,b1=-b2,所以p3为假命题;
对于p4,若z∈R,即a+bi∈R,则b=0,
故=a-bi=a∈R,所以p4为真命题.故选B.
2.(优质试题·
武邑中学期末)设i是虚数单位,复数是纯虚数,则实数a等于( )
A.2B.C.-D.-2
解析 ∵==是纯虚数,∴2a-1=0且a+2≠0,∴a=,故选B.
3.(优质试题·
河南六市联考)如果复数(其中i为虚数单位,b为实数)的实部和虚部互为相反数,则b=______.
答案 -
解析 由==,
得2-2b=b+4,得b=-.
4.已知复数z满足z2=-4,若z的虚部大于0,则z=___________________________.
答案 2i
解析 设z=a+bi(a,b∈R,b>
0),
则z2=a2-b2+2abi=-4,
因此a=0,-b2=-4,b=±
2,
又b>
0,∴b=2,∴z=2i.
思维升华解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.
(2)解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部.
题型二 复数的运算
命题点1 复数的乘法运算
典例
(1)(优质试题·
长春质检)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2等于( )
A.-5B.5C.-4+iD.-4-i
解析 ∵z1=2+i在复平面内的对应点的坐标为(2,1),
又z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,
则z2的对应点的坐标为(-2,1),
即z2=-2+i,
∴z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5.
(2)若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a等于( )
A.-1B.0C.1D.2
解析 因为a为实数,且(2+ai)(a-2i)=4a+(a2-4)i=-4i,得4a=0且a2-4=-4,解得a=0,故选B.
(3)(优质试题·
江苏)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是________.
答案
解析 方法一 ∵z=(1+i)(1+2i)=1+2i+i-2
=-1+3i,
∴|z|==.
方法二 |z|=|1+i||1+2i|=×
=.
命题点2 复数的除法运算
全国Ⅱ)等于( )
A.1+2iB.1-2i
C.2+iD.2-i
解析 ===2-i.
(2)(优质试题·
全国Ⅲ)若z=1+2i,则等于( )
A.1B.-1C.iD.-i
答案 C
解析 z=1+2i,z=5,=i.
(3)+=________.
答案 -1
解析 +=+
=+=-1.
命题点3 复数的综合运算
全国Ⅲ)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|等于( )
A.B.C.D.2
解析 方法一 由(1+i)z=2i,得z==1+i,
∴|z|=.故选C.
方法二 ∵2i=(1+i)2,
∴由(1+i)z=2i=(1+i)2,得z=1+i,
∴|z|=.
故选C.
山东)若复数z满足2z+=3-2i,其中i为虚数单位,则z等于( )
C.-1+2iD.-1-2i
解析 设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,∴2(a+bi)+(a-bi)=3-2i,整理得3a+bi=3-2i,
∴解得∴z=1-2i,故选B.
全国Ⅲ)若z=4+3i,则等于( )
A.1B.-1
C.+iD.-i
解析 z=4+3i,|z|=5,=-i.
思维升华复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略
(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可.
(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式.
(3)复数的运算与复数概念的综合题.先利用复数的运算法则化简,一般化为a+bi(a,b∈R)的形式,再结合相关定义解答.
(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简,一般化为a+bi(a,b∈R)的形式,再结合复数的几何意义解答.
(5)复数的综合运算.分别运用复数的乘法、除法法则进行运算,要注意运算顺序,要先算乘除,后算加减,有括号要先算括号里面的.
跟踪训练
(1)等于( )
A.1+iB.1-i
C.-1+iD.-1-i
解析 方法一 =
=
==
=-1-i.故选D.
方法二 =2(1+i)=i2(1+i)=-(1+i).
(2)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z等于( )
解析 由=1+i,知z==-=-1-i,故选D.
(3)+2017=________.
答案 +i
解析 +2017
=+1008
=i+i1008·
(1+i)
=+i.
题型三 复数的几何意义
北京)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,1)B.(-∞,-1)
C.(1,+∞)D.(-1,+∞)
解析 ∵(1-i)(a+i)=a+i-ai-i2=a+1+(1-a)i,
又∵复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,
∴解得a<
-1.故选B.
(2)△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1,z2,z3,若复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则z对应的点为△ABC的( )
A.内心B.垂心C.重心D.外心
解析 由几何意义知,复数z对应的点到△ABC三个顶点的距离都相等,z对应的点是△ABC的外心.
(3)如图所示,平行四边形OABC,顶点O,A,C分别表示0,3+2i,-2+4i,试求:
①,所表示的复数;
②对角线所表示的复数;
③B点对应的复数.
解 ①∵=-,
∴所表示的复数为-3-2i.
∵=,
②∵=-,∴所表示的复数为
(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
③
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