浙江专用高考数学总复习 第九章 平面解析几何 第9讲 圆锥曲线的综合问题课时作业Word下载.docx
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解析 依题意,当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时,其方程为y-0=tan45°
(x-1),即y=x-1,代入椭圆方程+y2=1并整理得3x2-4x=0,解得x=0或x=,所以两个交点坐标分别为(0,-1),,∴·
=-,同理,直线l经过椭圆的左焦点时,也可得·
=-.
4.抛物线y=x2到直线x-y-2=0的最短距离为( )
A.B.C.2D.
解析 设抛物线上一点的坐标为(x,y),则d===,
∴x=时,dmin=.
5.已知A,B,P是双曲线-=1(a>0,b>0)上不同的三点,且A,B连线经过坐标原点,若直线PA,PB的斜率乘积kPA·
kPB=,则该双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
解析 设A(x1,y1),P(x2,y2)根据对称性,得B点坐标为
(-x1,-y1),因为A,P在双曲线上,
所以两式相减,得kPAkPB==,
所以e2==,故e=.
答案 D
二、填空题
6.已知椭圆C:
+=1(a>b>0),F(,0)为其右焦点,过F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C的方程为________.
解析 由题意得解得∴椭圆C的方程为+=1.
答案 +=1
7.已知抛物线y=ax2(a>0)的焦点到准线的距离为2,则直线y=x+1截抛物线所得的弦长等于________.
解析 由题设知p==2,∴a=.
抛物线方程为y=x2,焦点为F(0,1),准线为y=-1.
联立消去x,
整理得y2-6y+1=0,∴y1+y2=6,∵直线过焦点F,
∴所得弦|AB|=|AF|+|BF|=y1+1+y2+1=8.
答案 8
8.(2017·
金华月考)过椭圆+=1内一点P(3,1),且被这点平分的弦所在直线的方程是________;
此弦的长为________.
解析 设直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,
由于A,B两点均在椭圆上,故+=1,+=1,
两式相减得+=0.
又∵P是A,B的中点,∴x1+x2=6,y1+y2=2,
∴kAB==-.
∴直线AB的方程为y-1=-(x-3).
即3x+4y-13=0.由消去y整理得13x2-78x+105=0,x1+x2=6,x1x2=,|AB|=|x1-x2|==·
=.
答案 3x+4y-13=0
三、解答题
9.设F1,F2分别是椭圆E:
+=1(a>b>0)的左、右焦点,过F1且斜率为1的直线l与E相交于A,B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列.
(1)求E的离心率;
(2)设点P(0,-1)满足|PA|=|PB|,求E的方程.
解
(1)由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a,
又2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|=a,
l的方程为y=x+c,其中c=.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点的坐标满足方程组消去y,化简得(a2+b2)x2+2a2cx+a2(c2-b2)=0,则x1+x2=,x1x2=.
因为直线AB的斜率为1,所以|AB|=|x2-x1|=,即a=,故a2=2b2,
所以E的离心率e===.
(2)设AB的中点为N(x0,y0),由
(1)知
x0===-,y0=x0+c=.
由|PA|=|PB|,得kPN=-1,即=-1,
得c=3,从而a=3,b=3.故椭圆E的方程为+=1.
10.
已知椭圆C:
+=1(a>
b>
0)的一个顶点为A(2,0),离心率为.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)当△AMN的面积为时,求k的值.
解
(1)由题意得
解得b=,所以椭圆C的方程为+=1.
(2)由得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.
设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),
x1+x2=,x1x2=,
所以|MN|=
=
又因为点A(2,0)到直线y=k(x-1)的距离d=,
所以△AMN的面积为S=|MN|·
d=,由=,解得k=±
1.
能力提升题组
30分钟)
11.已知椭圆+=1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,若|BF2|+|AF2|的最大值为5,则b的值是( )
A.1B.C.D.
解析 由椭圆的方程,可知长半轴长为a=2,由椭圆的定义,可知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8,
所以|AB|=8-(|AF2|+|BF2|)≥3.
由椭圆的性质,可知过椭圆焦点的弦中,通径最短,即=3,可求得b2=3,即b=.
12.抛物线C1:
y=x2(p>0)的焦点与双曲线C2:
-y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=( )
解析
∵双曲线C2:
-y2=1,
∴右焦点为F(2,0),渐近线方程为y=±
x.
抛物线C1:
y=x2(p>0),焦点为F′.设M(x0,y0),则y0=x.
∵kMF′=kFF′,∴=.①
又∵y′=x,∴y′|x=x0=x0=.②
由①②得p=.
13.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.如果直线AF的斜率为-,那么|PF|=________.
解析 直线AF的方程为y=-(x-2),联立得y=4,所以P(6,4).
由抛物线的性质可知|PF|=6+2=8.
14.(2015·
全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中,曲线C:
y=与直线l:
y=kx+a(a>
0)交于M,N两点,
(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;
(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?
说明理由.
解
(1)由题设可得M(2,a),N(-2,a),
或M(-2,a),N(2,a).
又y′=,故y=在x=2处的导数值为,C在点(2,a)处的切线方程为y-a=(x-2),
即x-y-a=0.
y=在x=-2处的导数值为-,C在点(-2,a)处的切线方程为y-a=-(x+2),即x+y+a=0.
故所求切线方程为x-y-a=0和x+y+a=0.
(2)存在符合题意的点,证明如下:
设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.
将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0.
故x1+x2=4k,x1x2=-4a.从而k1+k2=+
==.
当b=-a时,有k1+k2=0,
则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,
故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-a)符合题意.
15.已知抛物线C:
y2=2px(p>
0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.
(1)求C的方程;
(2)过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求l的方程.
解
(1)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=.
所以|PQ|=,|QF|=+x0=+.
由题设得+=×
,解得p=-2(舍去)或p=2.
所以C的方程为y2=4x.
(2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m≠0).代入y2=4x得y2-4my-4=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.
故AB的中点为D(2m2+1,2m),
|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).
又l′的斜率为-m,所以l′的方程为x=-y+2m2+3.
将上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.
设M(x3,y3),N(x4,y4),则y3+y4=-,
y3y4=-4(2m2+3).
故MN的中点为E,
|MN|=|y3-y4|=.
由于MN垂直平分AB,故A,M,B,N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,
从而|AB|2+|DE|2=|MN|2,
即4(m2+1)2++
化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.
所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.
第2课时 定点、定值、范围、最值问题
考点一 定点问题
【例1】(2017·
枣庄模拟)已知椭圆+=1(a>0,b>0)过点(0,1),其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线l与x轴正半轴和y轴分别交于Q,P,与椭圆分别交于点M,N,各点均不重合且满足=λ1,=λ2.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若λ1+λ2=-3,试证明:
直线l过定点并求此定点.
解
(1)设椭圆的焦距为2c,由题意知b=1,且(2a)2+(2b)2=2(2c)2,又a2=b2+c2,所以a2=3.
所以椭圆的方程为+y2=1.
(2)由题意设P(0,m),Q(x0,0),M(x1,y1),N(x2,y2),
设l方程为x=t(y-m),
由=λ1知(x1,y1-m)=λ1(x0-x1,-y1),
∴y1-m=-y1λ1,由题意y1≠0,∴λ1=-1.
同理由=λ2知λ2=-1.
∵λ1+λ2=-3,∴y1y2+m(y1+y2)=0,①
联立得(t2+3)y2-2mt2y+t2m2-3=0,
∴由题意知Δ=4m2t4-4(t2+3)(t2m2-3)>0,②
且有y1+y2=,y1y2=,③
将③代入①得t2m2-3+2m2t2=0,
∴(mt)2=1.
由题意mt<0,∴mt=-1,满足②,
得l方程为x=ty+1,过定点(1,0),即Q为定点.
规律方法 圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法:
引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.
(2)特殊到一般法,根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.
【训练1】(2017·
杭州七校联考)已知椭圆C:
+=1(a>b>0)的两焦点在x轴上,且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点S的动直线l交椭圆C于A,B两点,试问:
在坐标平面上是否存在一个定点Q,使得以线段AB为直径的圆恒过点Q?
若存在,求出点Q的坐标;
若不存在,请说明理由.
解
(1)∵椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,∴b=c.又斜边长为2,即2c=2,故c=b=1,a=,椭圆方程为+y2=1.
(2)当l与x轴平行时,以线段AB为直径的圆的方程为x2+=;
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