专题04 如何由数列前n项和Sn求数列通项an解析版Word格式文档下载.docx
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,
两式作差可得:
,即,,
结合可得:
则数列是首项为,公比为的等比数列,
据此有:
,.
本题选择A选项.
4.(2020·
海南省高三)已知数列的前项和为,且,则等于()
A.B.0C.2D.4
【解析】因为,
所以当时,,
两式相减得,令,得.故选:
C.
5.(2020·
河南省高三期末)已知数列满足,则()
【解析】.
当时,;
当时,由,
可得,
两式相减,可得,故,
因为也适合上式,所以.
依题意,,
故.
故选:
二、填空题
6.(2020·
山西省高三期末)已知数列的前项和为,若,则______.
【答案】
【解析】
当时,满足通项公式,故答案为
7.(2020·
黑龙江省高考模拟)已知数列的前项和满足,.数列的前项和为,则满足的最小的值为______.
【答案】7
【解析】根据题意,数列{an}满足Sn=3an﹣2,①
当n≥2时,有Sn﹣1=3an﹣1﹣2,②,
①﹣②可得:
an=3an﹣3an﹣1,变形可得2an=3an﹣1,
当n=1时,有S1=a1=3a1﹣2,解可得a1=1,
则数列{an}是以a1=1为首项,公比为的等比数列,则an=()n﹣1,
数列{nan}的前n项和为Tn,则Tn=1+23×
()2+……+n×
()n﹣1,③
则有Tn2×
()2+3×
()3+……+n×
()n,④
③﹣④可得:
Tn=1+()+()2+……×
()n﹣1﹣n×
()n=﹣2
(1)﹣n×
()n,
变形可得:
Tn=4+(2n﹣4)×
若Tn>100,即4+(2n﹣4)×
()n>100,
分析可得:
n≥7,故满足Tn>100的最小的n值为7.
8.(2020·
湖南省长郡中学高三月考)已知数列的前项和为,则______.
【解析】当时,由,得,
∴,即,
∴,
又,
∴当时,.
又,不满足上式,
所以所求通项公式为.
故答案为.
9.(2020·
广东省高三月考)设数列的前项和为.若,,,则______;
______.
【答案】1121
【解析】由,解得,,
当时,由已知可得:
,①
,②
①-②得,∴,又,
∴是以为首项,以为公比的等比数列.
∴.故答案为:
3,121
10.(2020·
江苏省海安高级中学高三)设Sn为数列{an}的前n项和,若Sn=nan﹣3n(n﹣1)(n∈N*),且a2=11,则S20的值为_____.
【答案】1240
【解析】由S2=a1+a2=2a2﹣3×
2(2﹣1),a2=11,可得a1=5.
当n≥2时,由Sn=nan﹣3n(n﹣1)=n(Sn﹣Sn﹣1)﹣3n(n﹣1),
可得(n﹣1)Sn﹣nSn﹣1=3n(n﹣1),
∴,∴数列是首项,公差为3的等差数列,
∴5+3×
19=62,∴S20=1240.故答案为:
1240.
11.(2020·
河南省南阳中学高三月考)已知数列的前项和为,点在函数的图像上,则数列的通项公式为.
,当n=1,,满足,.
12.(2020·
全国高三专题练习)已知数列的前项和为,且满足,_______________.
【解析】当时有得,当时,①,又②,②-①得整理得;
于是得,得,得,…,,;
故答案为:
.
三、解答题
13.(2020·
山西省高三期末)已知数列的前项和为,满足.
(Ⅰ)证明:
是等比数列;
(Ⅱ)求的值.
(I)见解析;
(II)
(I)由①
当时,可得
当时,则②
则①-②:
则
又
所以数列是以2为首项,2为公比的等比数列
(II)由(I)可知:
所以
记
14.(2020·
安徽省六安一中高三月考)已知数列前项和为.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
(1)
(2)
(1)由题知=,
即,即,
,,
数列是首项为3,公比为3的等比数列,
,;
(2)由
(1)知,,
设,①
②
①-②得,,
.
15.(2020·
山东省高三月考)已知数列的前项和为,且,数列满足,.
(I)求数列的通项公式;
(Ⅱ)记数列的前项和为,证明:
(Ⅰ);
(Ⅱ)见解析
(I)由,当时,,两式相减得,
所以数列是公比为2的等比数列,而,得,
的通项公式为.
(Ⅱ)由,得,
即,
所以.
16.(2020·
福建省高三期末)记为数列的前n项和.已知,.
(1)求的通项公式;
(2)设,求数列的前n项和.
(1)当时,,所以或(不合,舍去).
因为①,所以当时,②,
由①-②得,
又,所以.
因此是首项为4,公差为3的等差数列.
(2)由
(1)得,
17.(2020·
海南省高三)已知是数列的前项和,且.
(2)设,求数列的前项和.
(1);
(2)
(1)因为,所以.
相减得,所以,
所以.又,解得,
所以是以为首项,为公比的等比数列,所以,
即的通项公式为.
(2)由
(1)可得.
18.(2020·
北京市十一学校高三月考)若对任意的正整数,总存在正整数,使得数列的前项和,则称是“回归数列”.
(1)①前项和为的数列是否是“回归数列”?
并请说明理由;
②通项公式为的数列是否是“回归数列”?
(2)设是等差数列,首项,公差,若是“回归数列”,求的值;
(3)是否对任意的等差数列,总存在两个“回归数列”和,使得成立,请给出你的结论,并说明理由.
(1)①是;
②是;
(2);
(3)见解析.
(1)①当时,,
当时,,当时,,,所以数列是“回归数列”;
②因为,所以前n项和,根据题意,
因为一定是偶数,所以存在,使得,
所以数列{}是“回归数列”;
(2)设是等差数列为,由题意可知:
对任意的正整数,总存在正整数,使得数列的前项和,即,取,得,解得,公差,所以,又;
(3)设等差数列=,
总存在两个回归数列,显然和是等差数列,使得,
证明如下:
数列{}前n项和,
时,为正整数,当时,,
所以存在正整数,使得,所以{}是“回归数列”,
数列{}前n项和,存在正整数,使得,所以{}是“回归数列”,所以结论成立.
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