向量法求空间角高二数学立体几何Word格式.docx
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(2)求平面和平面的夹角.
5.如图,在直三棱柱中,平面侧面且.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)若直线AC与平面所成的角为,求锐二面角的大小.
6.如图,四边形是正方形,平面,,,,,分别为,,的中点.
平面;
(2)求平面与平面所成锐二面角的大小.
参考答案
1.
(1)详见解析;
(2)
【解析】
试题分析:
(1)根据题中所给图形的特征,不难想到建立空间直角坐标,由已知,,,两两垂直,可以为原点,、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.表示出图中各点的坐标:
设,则,,,,则可表示出,,,根据数量积为零与垂直的充要条件进行证明,由,,故,,即可证明;
(2)首先求出两个平面的法向量,其中由于平面,所以可取平面的一个法向量为;
设平面的一个法向量为,则,,故即取,则,故,转化为两个法向量的夹角,设与的夹角为,则.即可求出平面与平面所成的锐二面角的大小.
试题解析:
(1)由已知,,,两两垂直,可以为原点,、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
设,则,,,,
故,,,
因为,,故,,
即,,又
所以,平面.
(2)因为平面,所以可取平面的一个法向量
为,
点的坐标为,则,,
设平面的一个法向量为,则,,
故即取,则,
故.
设与的夹角为,则.
所以,平面与平面所成的锐二面角的大小为
考点:
1.空间向量的应用;
2.二面角的计算;
3.直线与平面的位置关系
2.
(1);
(2);
(3)F是AD的4等分点,靠近A点的位置.
(1)取AD中点M,连接MO,PM,由正四棱锥的性质知∠PMO为所求二面角P-AD-O的平面角,∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角∴tan∠PAO=,设AB=a,则AO=a,PO=a,MO=,tan∠PMO=,∠PMO=60°
;
(2)依题意连结AE,OE,则OE∥PD,故∠OEA为异面直线PD与AE所成的角,由正四棱锥的性质易证OA⊥平面POB,故为直角三角形,OE=PD==a∴tan∠AEO==;
(3)延长MO交BC于N,取PN中点G,连BG,EG,MG,易得BC⊥平面PMN,故平面PMN⊥平面PBC,而△PMN为正三角形,易证MG⊥平面PBC,取MA的中点F,连EF,则四边形MFEG为平行四边形,从而MG//FE,EF⊥平面PBC,F是AD的4等分点,靠近A点的位置.
(1)取AD中点M,连接MO,PM,依条件可知AD⊥MO,AD⊥PO,则∠PMO为所求二面角P-AD-O的平面角(2分)
∵PO⊥面ABCD,
∴∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角.
∴tan∠PAO=
设AB=a,AO=a,
∴PO=AO·
tan∠POA=a,
tan∠PMO==.
∴∠PMO=60°
.(4分)
(2)连接AE,OE,∵OE∥PD,
∴∠OEA为异面直线PD与AE所成的角.(6分)
∵AO⊥BD,AO⊥PO,∴AO⊥平面PBD.
又OE平面PBD,∴AO⊥OE.
∵OE=PD==a,
∴tan∠AEO==.(8分)
(3)延长MO交BC于N,取PN中点G,连BG,EG,MG.
∵BC⊥MN,BC⊥PN,∴BC⊥平面PMN
∴平面PMN⊥平面PBC.(10分)
又PM=PN,∠PMN=60°
,∴△PMN为正三角形.
∴MG⊥PN.又平面PMN∩平面PBC=PN,∴MG⊥平面PBC.(12分)
F是AD的4等分点,靠近A点的位置(13分)
立体几何的综合问题
3.
(1)见解析;
(2)见解析;
(3).
(1)取CE中点P,连接FP、BP,根据中位线定理可知FP||DE,且且FP=,而AB||DE,且AB=则ABPF为平行四边形,则AF||BP,AF平面BCE,BP⊂平面BCE,满足线面平行的判定定理,从而证得结论;
(2)根据AB平面ACD,DE||AB,则DE平面ACD,又AF⊂平面ACD,根据线面垂直的性质可知,满足线面垂直的判定定理,证得AF平面CDE,又BP||AF,则BP平面CDE,BP平面BCE,根据面面垂直的判定定理可证得结论;
(3)由
(2),以F为坐标原点,FA,FD,FP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系F﹣xyz.设AC=2,根据线面垂直求出平面BCE的法向量n,而m=(0,0,1)为平面ACD的法向量,设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为α,根据可求出所求.
(1)解:
取CE中点P,连结FP、BP,∵F为CD的中点,∴FP||DE,且FP=又AB||DE,且AB=∴AB||FP,且AB=FP,∴ABPF为平行四边形,∴AF||BP又∵平面BCE,BP平面BCE,∴AF||平面BCE
(2)∵△ACD为正三角形,∴.∵AB平面ACD,DE||AB,∴DE平面ACD,又AF平面ACD,∴DEAF.又AFCD,CD∩DE=D,∴AF平面CDE又BP||AF,∴BP平面CDE.又∵BP平面BCE,∴平面BCE⊥平面CDE(3)法一、由
(2),以F为坐标原点,FA,FD,FP所在的直线分别为x,y,z轴(如图),
建立空间直角坐标系F—xyz.设AC=2,则C(0,—1,0),
设为平面BCE的法向量,,令n=1,则显然,为平面ACD的法向量.设面BCE与面ACD所成锐二面角为则.即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为法二、延长EB、DA,设EB、DA交于一点O,连结CO.则面面.由AB是的中位线,则.在中,.,又.面而CE面ECD,在中,即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为.
与二面角有关的立体几何综合题;
直线与平面平行的判定;
平面与平面垂直的判定.
4.证明见解析
:
(1)利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系,准确写出相关点的坐标,从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.
(2)证明线面平行,需证线线平行,只需要证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;
(3)把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;
(4)空间向量将空间位置关系转化为向量运算,应用的核心是要充分认识形体特征,建立恰当的坐标系,实施几何问题代数化.同时注意两点:
一是正确写出点、向量的坐标,准确运算;
二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.
(1)如图,以为原点,以为方向向量
建立空间直角坐标系
则.
.
设平面的法向量为
即令
则.
又平面平面
(2)底面是正方形,又平面
又,平面
向量是平面的一个法向量,又由
(1)知平面的法向量.
二面角的平面角为.
(1)证明直线与平面平行;
(2)利用空间向量解决二面角问题.
5.(Ⅰ)详见解析;
(Ⅱ).
(Ⅰ)取的中点D,连接AD,由已知条件推导出AD⊥平面,从而,由线面垂直得.由此能证明.(Ⅱ)方法一:
连接CD,由已知条件得即为直线与平面所成的角,即为二面角的一个平面角,由此能求出二面角的大小.解法二(向量法):
由
(1)知且,所以以点为原点,以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,设,则,,,,,,,,求出平面的一个法向量,设直线与平面所成的角为,则得,解得,即,求出平面的一个法向量为,设锐二面角的大小为,则,且,即可求出锐二面角的大小.
解
(1)证明:
如图,
取的中点,连接,因,则
由平面侧面,且平面侧面,
得,又平面,所以.
因为三棱柱是直三棱柱,则,所以.
又,从而侧面,又侧面,故.-------6分
解法一:
连接,由
(1)可知,则是在内的射影
∴即为直线与所成的角,则在等腰直角中,,且点是中点,∴,且,
∴
过点A作于点,连,由
(1)知,则,且
∴即为二面角的一个平面角且直角中:
,又,∴,
且二面角为锐二面角∴,即二面角的大小为----12分
解法二(向量法):
由
(1)知且,所以以点为原点,以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,如图所示,且设,则,,,,,,,
设平面的一个法向量,由,得:
令,得,则
设直线与所成的角为,则
得,解得,即
又设平面的一个法向量为,同理可得,设锐二面角的大小为,则
,且,得
∴锐二面角的大小为.
1.用空间向量求平面间的夹角;
2.空间中直线与直线之间的位置关系.
6.
(1)证明见解析;
(1)利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系,准确写出相关点的坐标,从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.
(2)证明证线线垂直,只需要证明直线的方向向量垂直;
(1)证明:
分别为,的中点,
.
又平面,平面,
平面.
(2)解:
平面,,平面
平面,.
四边形是正方形,.
以为原点,分别以直线为轴,轴,轴
建立如图所示的空间直角坐标系,设
,,,,,,
.
,,分别为,,的中点,
,,,,
(解法一)设为平面的一个法向量,则,
即,令,得.
设为平面的一个法向量,则,
所以==.
所以平面与平面所成锐二面角的大小为(或)
(解法二),,
是平面一个法向量.
,,
是平面平面一个法向量.
平面与平面所成锐二面角的大小为(或).
(解法三)延长到使得连
,,
四边形是平行四边形,
四边形是正方形,
,分别为,的中点,
平面,平面,平面.
平面平面平面
故平面与平面所成锐二面角与二面角相等.
平面平面
平面是二面角的平面角.
1、直线与平面平行的判定;
2、平面与平面所成的角.
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