高考数学文科专题第15练 立体几何中档大题规范练Word格式.docx
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∴AB⊥平面DBC.
∵DC⊂平面DBC,
∴AB⊥DC.
又BD⊥CD,AB∩DB=B,AB,DB⊂平面ABD,
∴DC⊥平面ABD.
又AD⊂平面ABD,
∴AD⊥DC.
2.(2018·
江苏)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1⊥B1C1.
求证:
(1)AB∥平面A1B1C;
(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.
证明
(1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB∥A1B1.
因为AB⊄平面A1B1C,
A1B1⊂平面A1B1C,
所以AB∥平面A1B1C.
(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,
四边形ABB1A1为平行四边形.
又因为AA1=AB,所以四边形ABB1A1为菱形,
因此AB1⊥A1B.
又因为AB1⊥B1C1,BC∥B1C1,
所以AB1⊥BC.
又因为A1B∩BC=B,A1B,BC⊂平面A1BC,
所以AB1⊥平面A1BC.
因为AB1⊂平面ABB1A1,
所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.
3.(2018·
全国Ⅱ)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.
(1)证明:
PO⊥平面ABC;
(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.
(1)证明因为PA=PC=AC=4,O为AC的中点,
所以OP⊥AC,且OP=2.
如图,连接OB.
因为AB=BC=AC,
所以△ABC为等腰直角三角形,
所以OB⊥AC,OB=AC=2.
由OP2+OB2=PB2知PO⊥OB.
因为OP⊥OB,OP⊥AC,OB∩AC=O,
OB,AC⊂平面ABC,
所以PO⊥平面ABC.
(2)解作CH⊥OM,垂足为H,
又由
(1)可得OP⊥CH,
因为OM∩OP=O,OM,OP⊂平面POM,
所以CH⊥平面POM.
故CH的长为点C到平面POM的距离.
由题意可知OC=AC=2,CM=BC=,
∠ACB=45°
,
所以在△OMC中,
由余弦定理可得,OM=,
CH==.
所以点C到平面POM的距离为.
考点二几何体的表面积、体积
方法技巧
(1)空间几何体的表面积是各个面的面积之和,求解时可利用相应的面积公式计算.
(2)几何体体积的常用解法
①直接法;
②割补法;
③等积转换法.
4.(2018·
全国Ⅰ)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°
.以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA.
平面ACD⊥平面ABC;
(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=DA,求三棱锥Q-ABP的体积.
(1)证明由已知可得,∠BAC=90°
即BA⊥AC.
又BA⊥AD,AC∩AD=A,AD,AC⊂平面ACD,
所以AB⊥平面ACD.
又AB⊂平面ABC,
所以平面ACD⊥平面ABC.
(2)解由已知可得,
DC=CM=AB=3,
DA=3.
又BP=DQ=DA,
所以BP=2.
如图,过点Q作QE⊥AC,垂足为E,
则QE∥DC且QE=DC.
由
(1)知平面ACD⊥平面ABC,
又平面ACD∩平面ABC=AC,CD⊥AC,CD⊂平面ACD,
所以DC⊥平面ABC,
所以QE⊥平面ABC,QE=1.
因此,三棱锥Q-ABP的体积
VQ-ABP=×
S△ABP×
QE=×
×
3×
2sin45°
1=1.
5.如图,在棱长均为4的三棱柱ABC-A1B1C1中,D,D1分别是BC和B1C1的中点.
A1D1∥平面AB1D;
(2)若平面ABC⊥平面BCC1B1,∠B1BC=60°
,求三棱锥B1-ABC的体积.
(1)证明连接DD1,在三棱柱ABC-A1B1C1中,
∵D,D1分别是BC和B1C1的中点,
∴B1D1∥BD,且B1D1=BD,
∴四边形B1BDD1为平行四边形,
∴BB1∥DD1,且BB1=DD1.
又∵AA1∥BB1,AA1=BB1,
∴AA1∥DD1,AA1=DD1,
∴四边形AA1D1D为平行四边形,
∴A1D1∥AD.
又∵A1D1⊄平面AB1D,AD⊂平面AB1D,
∴A1D1∥平面AB1D.
(2)解在△ABC中,边长均为4,则AB=AC,D为BC的中点,∴AD⊥BC.
∵平面ABC⊥平面B1C1CB,平面ABC∩平面B1C1CB=BC,AD⊂平面ABC,
∴AD⊥平面B1C1CB,即AD是三棱锥A-B1BC的高.
在△ABC中,由AB=AC=BC=4,得AD=2,
在△B1BC中,B1B=BC=4,∠B1BC=60°
∴△B1BC的面积为4.
∴三棱锥B1-ABC的体积即为三棱锥A-B1BC的体积V=×
4×
2=8.
6.(2018·
龙岩质检)已知空间几何体ABCDE中,△BCD与△CDE均为边长为2的等边三角形,△ABC为腰长为3的等腰三角形,平面CDE⊥平面BCD,平面ABC⊥平面BCD.
(1)试在平面BCD内作一条直线,使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行,并给出详细证明;
(2)求三棱锥E-ABC的体积.
解
(1)如图所示,取DC的中点N,取BD的中点M,连接MN,则MN即为所求直线.
证明如下:
取BC的中点H,连接AH,
∵△ABC是腰长为3的等腰三角形,H为BC的中点,
∴AH⊥BC,
又平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,AH⊂平面ABC,
∴AH⊥平面BCD,
同理,可证EN⊥平面BCD,∴EN∥AH,
∵EN⊄平面ABC,AH⊂平面ABC,
∴EN∥平面ABC.
又M,N分别为BD,DC的中点,∴MN∥BC,
∵MN⊄平面ABC,BC⊂平面ABC,
∴MN∥平面ABC.
又MN∩EN=N,MN⊂平面EMN,EN⊂平面EMN,
∴平面EMN∥平面ABC,
又EF⊂平面EMN,∴EF∥平面ABC.
(2)连接DH,取CH的中点G,连接NG,则NG∥DH,NG=DH,
由
(1)可知EN∥平面ABC,
所以点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等.
又△BCD是边长为2的等边三角形,∴DH⊥BC,DH=,
又平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,DH⊂平面BCD,
∴DH⊥平面ABC,∴NG⊥平面ABC,NG=,
又AC=AB=3,BC=2,
∴S△ABC=·
BC·
AH=2.
∴VE-ABC=VN-ABC=·
S△ABC·
NG=.
考点三立体几何的综合问题
方法技巧
(1)和折叠有关的平行、垂直问题,关键是弄清折叠前后变与不变的关系,找出隐含的平行、垂直关系.
(2)立体几何中的探索性问题,可利用推理证明得出结论或利用特例得出结论,再针对一般情形给出证明.
7.(2018·
全国Ⅲ)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.
平面AMD⊥平面BMC;
(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC∥平面PBD?
说明理由.
(1)证明由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.
因为BC⊥CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,
又DM⊂平面CMD,
故BC⊥DM.
因为M为上异于C,D的点,且DC为直径,
所以DM⊥CM.
又BC∩CM=C,BC,CM⊂平面BMC,
所以DM⊥平面BMC.
又DM⊂平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.
(2)解当P为AM的中点时,MC∥平面PBD.
连接AC,BD,交于点O.因为ABCD为矩形,
所以O为AC中点.
连接OP,因为P为AM中点,
所以MC∥OP.
又MC⊄平面PBD,OP⊂平面PBD,
所以MC∥平面PBD.
8.如图,已知正方形ABCD的边长为2,AC与BD交于点O,将正方形ABCD沿对角线BD折起,得到三棱锥A-BCD.
平面AOC⊥平面BCD;
(2)若三棱锥A-BCD的体积为,且∠AOC是钝角,求AC的长.
(1)证明∵四边形ABCD是正方形,
∴BD⊥AO,BD⊥CO.
折起后仍有BD⊥AO,BD⊥CO,AO∩CO=O,AO,CO⊂平面AOC,
∴BD⊥平面AOC.
∵BD⊂平面BCD,∴平面AOC⊥平面BCD.
(2)解由
(1)知BD⊥平面AOC,
∴VA-BCD=S△AOC·
BD,
∴×
OA·
OC·
sin∠AOC·
BD=,
即×
sin∠AOC×
2=,
∴sin∠AOC=.
又∵∠AOC是钝角,
∴∠AOC=120°
.
在△AOC中,由余弦定理,得
AC2=OA2+OC2-2·
cos∠AOC
=()2+()2-2×
cos120°
=6,
∴AC=.
9.如图所示,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,∠BAC=60°
(1)求三棱锥P-ABC的体积;
(2)证明:
在线段PC上存在点M,使得AC⊥BM,并求的值.
解
(1)∵AB=1,AC=2,∠BAC=60°
AB·
AC·
sin60°
=.
由PA⊥平面ABC可知,PA是三棱锥P-ABC的高,且PA=1,
∴三棱锥P-ABC的体积V=·
PA=.
(2)在平面ABC内,过点B作BN⊥AC,垂足为N,在平面PAC内,过点N作MN∥PA交PC于点M,连接BM.
∵PA⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,
∴PA⊥AC,∴MN⊥AC.
又∵BN⊥AC,BN∩MN=N,BN,MN⊂平面BMN,
∴AC⊥平面MBN.
又∵BM⊂平面MBN,
∴AC⊥BM.
在Rt△BAN中,AN=AB·
cos∠BAC=,
从而NC=AC-AN=,
由MN∥PA,得==.
综上所述,在线段PC上存在点M,使得AC⊥BM且=.
模板答题规范练
模板体验
典例(12分)如图,在四棱锥P—ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°
直线BC∥平面PAD;
(2)若△PCD的面积为2,求四棱锥P—ABCD的体积.
审题路线图
(1)―→―→
(2)―→―→
规范解答·
评分标准
(1)证明在平面ABCD内,因为∠BAD=∠ABC=90°
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