求函数值域十法Word下载.docx
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求函数的值域。
例2:
例3:
解:
∵,∴,
∴函数的值域为。
(2)、配方法:
配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。
形如的函数的值域问题,均可使用配方法。
例1:
求函数()的值域。
,
∵,∴,∴
∴,∴
∴函数()的值域为。
(3).最值法:
对于闭区间上的连续函数,利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。
例1求函数y=3-2x-x2的值域。
由3-2x-x2≥0,解出定义域为[-3,1]。
函数y在[-3,1]内是连续的,在定义域内由3-2x-x2的最大值为4,最小值为0。
∴函数的值域是[0,2]
例2:
求函数,的值域。
例3:
(4)、反函数法:
利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系,通过求反函数的定义域,得到原函数的值域。
由解得,
(5)、分离常数法:
分子、分母是一次函数得有理函数,可用分离常数法,此类问题一般也可以利用反函数法。
小结:
已知分式函数,如果在其自然定义域(代数式自身对变量的要求)内,值域为;
如果是条件定义域(对自变量有附加条件),采用部分分式法将原函数化为,用复合函数法来求值域。
∵,
(6)、换元法:
运用代数代换,奖所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域,形如(、、、均为常数,且)的函数常用此法求解。
令(),则,
∴
∵当,即时,,无最小值。
(7)、判别式法:
把函数转化成关于的二次方程;
通过方程有实数根,判别式,从而求得原函数的值域,形如(、不同时为零)的函数的值域,常用此方法求解。
由变形得,
当时,此方程无解;
当时,∵,∴,
解得,又,∴
∴函数的值域为
(8)、函数的单调性法:
确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数的值域。
∵当增大时,随的增大而减少,随的增大而增大,
∴函数在定义域上是增函数。
∴,
例2.求函数在区间上的值域。
分析与解答:
任取,且,则
,因为,所以:
,
当时,,则;
而当时,
于是:
函数在区间上的值域为。
构造相关函数,利用函数的单调性求值域。
因为,而与在定义域内的单调性不一致。
现构造相关函数,易知在定义域内单调增。
,,,,
又,所以:
,。
(9)、基本不等式法
利用基本不等式和是求函数值域的常用技巧之一,利用此法求函数的值域,要合理地添项和拆项,添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量,同时,利用此法时应注意取成立的条件.
例1求函数的值域.
解答:
当且仅当时成立.故函数的值域为.
此法可以灵活运用,对于分母为一次多项式的二次分式,当然可以运用判别式法求得其值域,但是若能变通地运用此法,可以省去判别式法中介二次不等式的过程.
例2求函数的值域.
此题可以利用判别式法求解,这里考虑运用基本不等式法求解此题,此时关键是在分子中分解出项来,可以一般的运用待定系数法完成这一工作,办法是设:
(2)
将上面等式的左边展开,有:
故而,.
解得,.
从而原函数;
ⅰ)当时,,,此时,等号成立,当且仅当.
ⅱ)当时,,,此时有
等号成立,当且仅当.
综上,原函数的值域为:
.
利用基本不等式,求函数的最值,其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例3.求函数的值域。
原函数变形为:
当且仅当
即当时,等号成立
故原函数的值域为:
例4.求函数的值域。
当且仅当,即当时,等号成立。
由可得:
(10)、有界性法:
利用某些函数有界性求得原函数的值域。
由函数的解析式可以知道,函数的定义域为,对函数进行变形可得
∵,∴(,),
∴,∴,
形如可解出Yr范围,从而求出其值域或最值。
例2.求函数的值域
[解析]:
函数的有界性
由得
例4:
(11)、图像法:
函数图像是掌握函数的重要手段,利用数形结合的方法,根据函数图像求得函数值域,是一种求值域的重要方法。
当函数解析式具有某种明显的几何意义(如两点间距离,直线的斜率、截距等)或当一个函数的图象易于作出时,借助几何图形的直观性可求出其值域。
∵,
∴的图像如图所示,
由图像知:
函数的值域为
(12)、数型结合法:
以上是我们学习函数之后,关于求函数值域的一些方法,随着以后学习的进一步深入,我们还会学到其它的一些有关求函数值域的方法。
根据函数的结构特征,赋予几何图形,数形结合。
例2:
点拨:
将原函数变形,构造平面图形,由几何知识,确定出函数的值域。
解:
原函数变形为
作一个长为4、宽为3的矩形ABCD,再切割成12个单位
正方形。
设HK=,则EK=2,KF=2,AK=,
KC=。
由三角形三边关系知,AK+KC≥AC=5。
当A、K、C三点共
线时取等号。
∴原函数的知域为{y|y≥5}。
例3.如例4求函数的值域。
令,,则,,,
原问题转化为:
当直线与圆在直角坐标系的第一象限有公共点时,求直线的截距的取值范围。
由图1知:
当经过点时,;
当直线与圆相切时,。
所以:
值域为
例4.求函数的值域。
将函数变形为:
上式可看成定点A(3,2)到点P(x,0)的距离与定点到点的距离之差。
即:
由图可知:
(1)当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时,如点,则构成,根据三角形两边之差小于第三边,有
(2)当点P恰好为直线AB与x轴的交点时,有
综上所述,可知函数的值域为:
注:
由例17,18可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使A、B两点在x轴的两侧,而求两距离之差时,则要使A,B两点在x轴的同侧。
(13)、复合函数法:
对函数,先求的值域充当的定义域,从而求出的值域的方法。
例1、求函数的值域
(复合函数法)设,
则
(14)、非负数法
根据函数解析式的结构特征,结合非负数的性质,可求出相关函数的值域。
例1、
(1)求函数的值域。
(2)求函数的值域。
解析:
(1),
故所求函数的值域为。
(2),原函数可化为,即,当时,,,,解得
又,所以,
(15)、不等式性质法
求下列函数的值域:
(1)y=;
(2)y=;
(3)y=
(4)y=10-;
(16)、导数法
若函数在内可导,可以利用导数求得在内的极值,然后再计算在,点的极限值.从而求得的值域.
求函数在内的值域.
分析:
显然在可导,且.由得的极值点为.
..
所以,函数的值域为.
(17)、“平方开方法”
求函数值域的方法有很多种,如:
“配方法”、“单调性法”、“换元法”、“判别式法”以及“平方开方法”等等.每一种方法都适用于求某一类具有共同特征的函数的值域.本文将指出适合采用“平方开方法”的函数有哪些共同的特征以及“平方开方法”的运算步骤,并给出四道典型的例题.
1.适合采用“平方开方法”的函数特征
设()是待求值域的函数,若它能采用“平方开方法”,则它通常具有如下三个特征:
(1)的值总是非负,即对于任意的,恒成立;
(2)具有两个函数加和的形式,即();
(3)的平方可以写成一个常数与一个新函数加和的形式,即
(,为常数),
其中,新函数()的值域比较容易求得.
2.“平方开方法”的运算步骤
若函数()具备了上述的三个特征,则可以将先平方、再开方,从而得到(,为常数).然后,利用的值域便可轻易地求出的值域.例如,则显然.
3.应用“平方开方法”四例
能够应用“平方开方法”求值域的函数不胜枚举,这里仅以其中四道典型的例题来演示此法在解决具体问题时的技巧.
例1求函数(,)的值域.
首先,当时,;
其次,是函数与的和;
最后,
可见,函数满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是,对平方、开方得().这里,().对根号下面的二次函数采用“配方法”,即可求得的值域为.于是,的值域为.
例2求函数(,,)的值域.
显然,该题就是例1的推广,且此题的也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是,对平方、开方得().这里,().对根号下面的二次函数采用“配方法”,即可求得的值域仍为.于是,的值域也仍为.
例3求函数()的值域.
参照例1的验证步骤,显然,此题的也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是,对平方、开方得().这里,().易知,的值域为.于是,的值域为.
例4求函数()的值域.
例5求函数的值域
(平方法)函数定义域为:
平方法)函数定义域为:
(18).一一映射法
原理:
因为在定义域上x与y是一一对应的。
故两个变量中,若知道一个变量范围,就可以求另一个变量范围。
例1.求函数的值域。
∵定义域为
故或
解得
故函数的值域为
(19)、构造对偶式法
例求函数的值域
设,则在定义域[0,2]上是增函数,,
,,函数的值域为:
[1,]
(20)、综合法
例1求函数的值域。
令,则
(1)当时,,当且仅当t=1,即时取等号,所以
(2)当t=0时,y=0。
综上所述,函数的值域为:
先换元,后用不等式法
例2.求函数的值域。
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- 函数 值域