高中数学极限文档格式.docx

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3．已知函数f（x）＝在x＝1处连续，则f－1（3）等于（　　）

A．0B．1

C．－D.

∵函数f（x）在x＝1处连续，∴f

（1）＝＝4.又当x＝1时，f

（1）＝a＋1，∴a＝3.当x＞1时，令＝3，得x＝0或1，不满足题设．当x≤1时，令3x＋1＝3，得x＝，满足题设．∴f－1（3）＝.

4．用数学归纳法证明＋＋…＋>

时，由n＝k到n＝k＋1，不等式左边的变化是（　　）

A．增加一项

B．增加和两项

C．增加，两项，同时减少一项

D．以上结论均错

n＝k时，不等式左边为＋＋…＋，n＝k＋1时，不等式左边为＋＋…＋＋＋，

故增加，两项，减少一项．

C

5．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an（n≥2），而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an＝（　　）

A.B.

C.D.

由Sn＝n2an知Sn＋1＝（n＋1）2an＋1，

∴Sn＋1－Sn＝（n＋1）2an＋1－n2an，

∴an＋1＝（n＋1）2an＋1－n2an，∴an＋1＝an（n≥2）．

当n＝2时，S2＝4a2，又S2＝a1＋a2，

∴a2＝＝，a3＝a2＝，a4＝a3＝.

由a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝.

猜想an＝.

6．设a，b满足＝－1，则等于（　　）

A．1B.

C.D.

依题意得a＝2，

＝

＝（x－b）＝2－b＝－1，因此b＝3.故

＝＝＝.

二、填空题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）

7．设a＝，则1＋a＋a2＋a3＋…＝________.

∵a＝＝

＝＝，

∴1＋a＋a2＋a3＋…＝2.

2

8．已知函数f（x）＝在点x＝0处连续，则a＝________.

由题意得f（x）＝（x2－1）＝－1，f（x）＝acosx＝a，由于f（x）在x＝0处连续，因此a＝－1.

－1

9．已知logab＞1（0＜a＜1），则＝________.

logab＞1,0＜a＜1得0＜b＜a，

∴＝＝－1.

三、解答题（本大题共3个小题，共46分）

10．（本小题满分15分）已知数列{an}的前n项和Sn＝（n2＋n）·

3n.

（1）求；

（2）证明：

＋＋…＋＞3n.

解：

（1）因为＝

＝（1－）＝1－，

＝＝，

所以＝.

当n＝1时，＝S1＝6＞3；

当n＞1时，＋＋…＋＝＋＋…＋

＝（－）·

S1＋（－）·

S2＋…＋[－]Sn－1＋·

Sn＞＝·

3n＞3n.

综上知，当n≥1时，＋＋…＋＞3n.

11．（本小题满分15分）已知{an}是由非负整数组成的数列，满足a1＝0，a2＝3，a3＝2，an＋1an＝（an－1＋2）（an－2＋2），n＝3,4,5，….

试用数学归纳法证明：

an＝an－2＋2，n＝3,4,5，…；

证明：

①当n＝3时，a3＝2＝a1＋2，所以等式成立；

②假设当n＝k≥3时等式成立，即ak＝ak－2＋2.

而由题设有ak＋1ak＝（ak－1＋2）（ak－2＋2）．

由ak－2是非负整数，得ak＝ak－2＋2≠0，

∴ak＋1＝ak－1＋2，

即当n＝k＋1时，等式也成立．

综合①②得：

对任意正整数n≥3，

都有an＝an－2＋2.

12．（本小题满分16分）在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an，Sn，Sn－成等比数列．

（1）求a2，a3，a4并推出an的表达式，

（2）用数学归纳法证明所得的结论．

∵an，Sn，Sn－成等比数列，

∴S＝an（Sn－）（n≥2）①

（1）由a1＝1，S2＝a1＋a2＝1＋a2代入①得a2＝－，

由a1＝1，a2＝－，S3＝＋a3代入①得a3＝－.

同理可得a4＝－，由此可推出

an＝.

①当n＝1、2、3、4时，由

（1）知猜想成立，

②假设n＝k（k≥2，k∈N*）时，

ak＝－成立．

故S＝－·

（Sk－），

∴（2k－3）（2k－1）S＋2Sk－1＝0，

∴Sk＝，Sk＝－（舍）．

由S＝ak＋1·

（Sk＋1－）得

（Sk＋ak＋1）2＝ak＋1（ak＋1＋Sk－），

∴＋a＋＝a＋－ak＋1，

∴ak＋1＝，

即n＝k＋1时，命题也成立．

由①②知an＝

对一切n∈N*成立．

1．（＋）等于（　　）

A．1　　　　　　　　　　　B．2

C．3D．4

∵＋＝

＝＝＝，

∴（＋）＝＝＝2.

2．函数f（x）＝在点x＝1和x＝2处的极限值都是0，而在点x＝－2处不连续，则不等式f（x）＞0的解集为（　　）

A．（－2,1）B．（－∞，－2）∪（2，＋∞）

C．（－2,1）∪（2，＋∞）D．（－∞，－2）∪（1,2）

由已知得：

f（x）＝，则f（x）＞0的解集为（－2,1）∪（2，＋∞）．

3．设常数a＞0，（ax2＋）4的展开式中x3的系数为，则li（a＋a2＋a3＋…＋an）＝________.

∵Tr＋1＝Ca4－rx8－，令8－＝3，得r＝2，∴x3的系数为Ca2＝6a2＝，则a＝，

∴li（a＋a2＋a3＋…＋an）＝＝1.

1

4．（精选考题·

高考）将直线l1：

x＋y－1＝0，l2：

nx＋y－n＝0，l3：

x＋ny－n＝0（n∈N*，n≥2）围成的三角形面积记为Sn，则Sn＝________.

如图所示，

由得

则直线l2、l3交于点A（，）．

Sn＝×

1×

＋×

－×

1＝－，

Sn＝（－）＝－＝1－＝.

5．对于数列{xn}，满足x1＝，xn＋1＝；

函数f（x）在（－2,2）上有意义，f（－）＝2，且满足x，y，z∈（－2,2）时，有f（x）＋f（y）＋f（z）＝f（）成立．

（1）求f（）的值；

（2）求证：

{f（xn）}是等比数列；

（3）设{f（xn）}的前n项和为Sn，求li.

（1）由x＝y＝z＝0⇒3f（0）＝f（0），∴f（0）＝0，

令z＝0，得f（x）＋f（y）＝f（x＋y），

再令y＝－x，得f（x）＋f（－x）＝f（0）＝0，

则f（－x）＝－f（x）．

所以f（）＝f（）＋f（）＋f（）＝3f（）

＝－3f（－）＝－6.

由x1＝，结合已知可得

0＜xn＋1＝＝≤＜2；

由f（xn＋1）＝f（）＝f（）＝f（xn）＋f（xn）＋f（xn）＝3f（xn），

得＝3，即{f（xn）}是以－6为首项，以3为公比的等比数列，且f（xn）＝－2×

（3）由Sn＝＝＝3×

（1－3n），

得＝＝＝－.