反常积分的收敛判别法docxWord文档格式.docx
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K
所以恥皿也发散。
(2)设在[a,+30)上有/(x)>
0,0(x)>
0,且lmi/⑴=0o则当广f(x)dx0(x)Ja
发散时,f(p(x)d.x也发散;
但当f(x)d.x收敛吋,JJX(p(x)dx可能收敛,
也可能发散。
例如f(A)=-V,(p(x)=—(0<
p<
2),则lim丄®
=00显然有
x2xpm(p(x)
卩f(x)dx收敛,而对于广0(x)dx,则当1<
P<
2时收敛,当0<
p<
l时
发散。
设在[a,+8)上有f(x)>
0,^(x)>
09ILlim'
⑴=+oo。
则当XT+oc從”丫)
f^Xf(x)dx收敛吋,厂0(x)dx也收敛;
但当J**f(x)dx发散吋,[:
*0(x)dx
可能发散,也可能收敛。
例如/(X)=,卩(X)=-(/?
>
-),则lim=+00o显然有
JxXP2xt+oc°
(x)
Jf*f(x)dx发散,iflj对于J(p(x)dx,则当y<
/;
<
1时发散,当卩>
1时收敛。
2.证明Cauchy判别法及其极限形式(立理8.2.3)。
证定理8.2.3(Cauchy判别法)设在0,+8)u(0,+oo)上恒有f(x)>
0,
K是正常数。
⑴若/(x)<
且卩>
1,则厂/(x)dx收敛;
XpJa
(2)若/(x)>
且p<
1,则f(x)dx发散。
推论(Cauchy判别法的极限形式)设在[a,+s)u(0,+s)上恒有
/(a)>
0,且
lmiXJ\x)=I,
XT+X
(1)若0<
/<
且p>
1,则[Xf(x)dx收敛;
⑵若Ov/<
-KO,且P<
1,则ff(x)dx发散。
证直接应用定理8.2.2(比较判别法)及其推论(比较判別法的极限形式),将函数如)取为丄。
xp
3.讨论卜列非负函数反常积分的敛散性:
解
(1)当XT*0时,
所以积分匚亠爲皿+严收敛。
arctanx
1+P
所以积分广
(3)因为当x>
0时有
1>
_L
l+xsin.v|1+x
而积分厂占严发散’所以积分卩諾函办发散。
(4)当XT+O0时,
p_q
所以在p-q>
l时,积分收敛,在其余情况下积分
J「厂匚办发散。
九1+XP
4.证明:
对非负函数/(x),(cpv)匸:
f(x)dx收敛与\^f(x)dx收敛是等价的。
证显然,由C/(A)Jx收敛可推出(cpv)匚口皿收敛,现证明当f(x)>
0时町由(cpv)匸收敛推出i^f(x)dx收敛。
由于(cpv)J"
f{x)dx收敛,可知极限
存在而口有限,由Cauchy收敛原理,
•r
V^>
0,玖>
0,VAA^/lo:
|F(4)—F(/V)|<
$,
于是VA,Ar>
Ao与VB.B2為,成立
"
)—F(A)|°
与F(F)|vc这说明积分/(x)dx与J:
/(x)dx都收敛,所以积分J]/(x)dx收敛。
5.讨论卜•列反常积分的敛散性(包括绝对收敛、条件收敛和发散,下同):
qn(x)在xw[a,+s)范围无零点。
)
解
(1)因为F(A)=^sinxdx有界,业在[2,乜)单调,且lim巴巴=0,•-hlXXT+OO111X
由Dirichlet判别法,积分收敛;
-lnx
散,即积分『兽sm加条件收敛。
■111X
『晋〃绝对收敛;
当Ov〃Sl时,内为尸(A)=J'
smxdx有界,丄在[l、g)单调,且
hin+=0,由Dkichlet判别法,积分「葺厶收敛;
但因为当0vp<
1・l
时积分广呼dx发散,所以当0<
l时积分厂晋厶条件收敛。
X兀"
(3)当“>
1时,lSmVaiCtanVl<
—,而C—dx收敛,所以当“>
1时灯2xphxp
积分psm.vaictanA^绝对收敛;
I
当0<
p<
1nJ,因为/*(A)=j^SHlA^V冇界,"
C"
在[l,4_o0)单调,且
・X
.・arctanx
lmi
由Dirichlet判別法,积分r^m.vaictanxJv收敛;
但因xp
为当0v/心1时积分J;
30竺尹|smx|dx发散,所以当0<
"
S1时积分
J7smU2Xv=Jf^J/,由于卩券df条件收敛,可知
积分sm(x'
皿条件收敛。
(5)当//>
///+1JZx充分大吋,有P"
⑴sinX5,,可知当n>
m+l时积分「匕凹沁加绝对收敛。
儿务⑴
当n=/?
?
+1时,因为F(A)=\'
\mxdx有界,且当x充分人时,⑴
单调且hm上旦=0,
FQn⑴
由Dirichlet判别法可知[+xMHSinxdx收敛;
但
Ja乞⑴
2〃?
+1时,积分「^-smxdx条件收敛。
Ja么⑴
当〃V〃7+1时,由lim几”⑴=A,A为非零常数、+8或-8,易知'
卄09“(X)
积分「匕凹smxdx发散。
6・设/(X)在0,b]只有一个奇点x=b,证明定理8.2.3*和定理
8.2.5'
o
定理8.2.3,(Cauchy判别法)设在0,b)上恒有f(x)>
0,若当x属于〃的某个左邻域仏-弔”)时,存在正常数K,使得
(2)/(x)l卩人°
,且p21,则(x)dx发散。
证
(1)当g时,积分『詁严收敛,由反常积分的Cauchy收敛原理,
<
|o
Vw>
0,3J>
0,(0,J):
Jz^—(lx
由于It;
g*皆詁討“,所以阳说收敛。
(2)当p>
1Ibj*,积分f'
——-——d.i•发散,由反常积分的Cauchy收敛原)a(b-x)p
理,
推论(Cauchy判别法的极限形式)设在gb)上恒有/(x)>
0,且
hm(b-x)pf(x)=I,•*->
6-
(1)若o<
/<
+^,且;
7<
i,则\y(x)dx收敛;
(2)若0<
/<
+8,且〃n1,则\hf(x)dx发散。
证
(1)由1im(Z>
-x)r/(x)=/(p<
1,0<
+oo),可知
35>
0,Vxg(/?
-S.b):
f(x)<
(b—x)P
再应用定理8.2.3,的
(1)o
(2)由lim(t-x)p/(x)=/(p>
l,0<
+oo),可知
A->
/>
-
0,Vxe(/?
-5、b):
f(x)>
2(b-x)p
再应用定理8.2.3,的
(2)o
定理&
2.5,若下列两个条件之一满足,则・心)小)办收敛:
(1)(Abel判别法)^f(x)dx收敛,g(x)在[d,b)上单调有界;
(2)(Dirichlet判别法)F(〃)=『/(x)dx在(0上-°
]上有界,g(x)在
[a,b)上单调且limg(x)=0。
证
(1)设|g(x)|SG,因为打(x)dx收敛,由Cauchy收敛原理,
由积分第二中值定理,
f(x)g(x)dx
88
I—=£
22
(2)设|F(?
7)|<
M,于是有『:
/(x)dxv2M。
因为
limg(x)=O,>
0,35>
0,Vxe(h-8.b)>
\g(x)\<
—»
由积分第
H114M二中值定理,
『:
fWg(x)dxWg(A)|.J:
f(x)dx+|g⑷旺f(x)dx
2M|g(A)|+2M|g(/T)|<
|+|=^o
所以无论哪个判别法条件满足,由Cauchy收敛原理,都有
P7(x)g(x)dx收敛的结论。
Ja
7.讨论卜冽非负两数反常积分的敛散性:
1rilnx
⑵3-1
⑴*/=dx;
JoVx-(l-x)
⑹匸.1日(1一兀严办;
⑶f、1、dx;
0COS・XS111-X
⑸JJlnxr^v;
解
(1)因为f1,〜4-(开T0+),彳1〜——J-(XT1-),
推2(1-X)J蚣2(17)(1_x)7
所以积分匸册^收敛。
⑵因为叱吕T且对任意。
埋沼"
即当5充分小时,有I占牛*,所以积分厶收敛。
(3)因为一二_〜亠(xtO+),
cos*xsin*x
所以积分,dx发散。
°
cos-XSU1・X
⑷因为乎〜詁,所以当2时积分弾空%收敛,当卩23时积分J:
上罟兰厶发散。
(5)首先对任意的0v5vl与任意的p,冇1uii[aj|lnx|/,]=0,即当x>
0・vtO+
充分小时,有皿屮V*;
且|ln屮〜—±
—(x->
l-)o所以当“>
-1时,积分^liiixpJ.v收敛,当p<
-l时,积分^\inx\pdx发散。
(6)"
7(1-/)旷1〜—-(X->
0+),Xp~l(1-X)g~l〜(XT1-),所
以在"
o.q>
0时积分匸严(1-兀严办收敛,在其余情况卜积分-大)旷皿发散。
(7)xp~[(l-x)q~lIhixl〜一-—口
11(1-X尸
1丄
Inn[x2(牙H(1_乂)日|InxI)]=0,即当x>
0充分小时,有
x->
0*
x^O-xj^llnAj<
—?
—,所以当p>
0,q>
_lU寸积分JApTU—x)"
—|lnx|dx1--0
X2
收敛,在其余情况下积分0叫1-兀严|lnx|dx发散。
&
讨论卜列反常积分的敛散性:
当p>
0,q〉0吋积分石二加与积分ddx显然收敛,且当
Uliix°
lux
XT1—时,
(2)(J]1:
dx—/1•dx十]1=dx
冷x(jc-1)2(x-2)ljx(x一1尸(x-2)-1)2(x-2)
+『/1dxO
\]x(x-l)\x-2)
11「八
(-(x—>
2+)9
畑一1)2(—2)迈(v_2)3
〜A(X->
4-00),^/x(x-1)2(x-2)T
所以积分[-1dx收敛。
・#x(x—1)2(x—2)
由此可知积分几2仁一严收敛。
⑶
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