初中奥数系列1411勾股定理Word文件下载.docx
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勾——最短的边、股——较长的直角边、
弦——斜边。
2.勾股定理的证明:
(1)方法一:
将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形:
(2)方法二:
(3)方法三:
“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形:
3.勾股定理的逆定理:
如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。
即
。
4.勾股数:
满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后,仍为勾股数.常用勾股数:
3、4、5;
5、12、13;
7、24、25;
8、15、17。
例题精讲
板块一、勾股定理
【例1】下列说法正确的是( )
A.若是的三边,则
B.若是的三边,则
C.若是的三边,,则
D.若是的三边,,则
【例2】在中,,
(1)如果,则 ;
(2)如果,则 ;
(3)如果,则 ;
(4)如果,则 .
【例3】若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数,则这个三角形的周长为
【例4】一个直角三角形的三边为三个连续偶数,则它的三边长分别为.
【例5】已知直角三角形的两边长分别为3、4,求第三边长.
【例6】已知直角三角形两边,的长满足,则第三边长为______________.
【例7】一个直角三角形中,两直角边长分别为3和4,下列说法正确的是()
A.斜边长为25B.三角形周长为25
C.斜边长为5D.三角形面积为20
【例8】如果梯子的底端距离墙根的水平距离是,那么长的梯子可以达到的高度为
【例9】如图,梯子斜靠在墙面上,,当梯子的顶端沿方向下滑米时,梯足沿方向滑动米,则与的大小关系是()
A.B.C.D.不确定
【例10】如图,一个长为米的梯子,斜靠在墙上,梯子的顶端距离地面的垂直距离为米,如果梯子的顶端下滑米,那么,梯子底端的滑动距离米(填“大于”、“等于”、“小于”)
【例11】三角形的三边长分别为6,8,10,它的最短边上的高为()
A.6B.4.5C.2.4D.8
【例12】若的三边满足条件:
,则这个三角形最长边上的高为
【例13】如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍,那么斜边扩大到原来的()
A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍
【例14】如图,一根高米的旗杆被风吹断倒地,旗杆顶端触地处到旗杆底部的距离为米,则折断点到旗杆底部的距离为
【例15】已知,如图所示,折叠长方形的一边,使点落在边的点处,如果,,求的长.
【例16】如图,有一个直角三角形纸片,两直角边,现将直角边沿直线折叠,使它落在斜边上,且与重合,那么的长为多少?
【例17】如图,正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的三角形中,边长为无理数的边数是()
A.0B.1C.2D.3
【例18】如图所示,在中,三边的大小关系是()
A.B.
C.D.
【例19】设都是正数。
求证:
.
【例20】如图,以一个直角三角形的三边为边长分别向外作三个正方形,如果两个较大正方形的面积分别是和,那么最小的正方形的面积为
【例21】如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形的面积之和为_______cm2.
【例22】如图,在中,是边上的中线,且于,若,,,求的长.
【例23】张大爷家承包了一个长方形鱼池,已知其面积为,其对角线长为,为建立栅栏,要计算这个长方形鱼池的周长,你能帮张大爷计算吗?
【例24】如图,点是的角平分线上一点,过点作交于点.若,则点到的距离等于__________.
【例25】如图,在中,是上异于的一点,求的值.
【例26】某片绿地的形状如图所示,其中,,,,,求、的长(精确到1m,).
【例27】已知:
如图,在四边形中,,,,,.求这个四边形的面积.
【例28】已知钝角三角形的三边为、、,求该三角形的面积.
【例29】如图,在直角梯形中,(),,,是上一点,且,,求的长.
【例30】如图,是斜边的中点,,分别在,上,,判断,与的数量关系并证明你的结论.
【例31】如图,已知和都是等腰直角三角形,为边上一点,求证:
【例32】如图,中,,,、为上的点,且,求证:
.
【例33】在中,为斜边上任一点,求证:
【例34】如图,在凸四边形中,,证明:
【例35】已知中,边上的高为12,求的面积.
【例36】在三角形中,已知边上的高,求边的长
【例37】中,,,.若,如图1,根据勾股定理,则.若不是直角三角形,如图2和图3,请你类比勾股定理,试猜想与的关系,并证明你的结论.
【例38】如图1,分别以直角三角形三边为边向外作三个正方形,其面积分别用、、表示,则不难证明.
⑴如图2,分别以直角三角形三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用、、表
示,那么、、之间有什么关系?
(不必证明)
⑵如图3,分别以直角三角形三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用、、
表示,请你确定、、之间的关系并加以证明.
【例39】有一块直角三角形的绿地,量得两直角边长分别为、,现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以为直角边的直角三角形,求扩充后等腰三角形绿地的周长.
【例40】已知斜边的长为,两直角边的差为,求三角形的周长及斜边上的高.
【例41】直角三角形中一直角边的长为9,另两边为连续自然数,则直角三角形的周长为( )
A.121B.120C.90D.不能确定
【例42】如图,已知Rt△ABC的周长为,其中斜边,求这个三角形的面积.
【例43】在中,,若,则.
【例44】如图,是一块直角三角形的土地,现在要在这块地上挖一个正方形蓄水池,已知剩余的两直角三角形(阴影部分)的斜边长分别为和,则剩余的两个直角三角形(阴影部分)的面积和为.
【例45】如图,学校有一块长方形花铺,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花铺内走出了一条“路”.他们仅仅少走了步路(假设2步为1米),却踩伤了花草.
【例46】一个矩形的抽斗长为24cm,宽为7cm,在里面放一根铁条,那么铁条最长可以是.
【例47】蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点,一共爬了多少厘米?
(小方格的边长为1厘米)
【例48】一架25分米长的梯子,斜立在一竖直的墙上,这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米,那么梯足将滑动( )
A.9分米 B.15分米 C.5分米 D.8分米
【例49】如图,是垂直于地面的前面,是一根斜靠在墙面上长为的木条,当木条端点沿墙面下滑时,沿地面向右滑行
⑴设木条的中点为,试判断木条滑行过程中,墙角处点到的距离怎样变化?
说明理由
⑵木条在什么位置时,的面积最大?
最大面积为多少?
【例50】放学以后,小红和小颖从学校分手,分别沿东南方向和西南方向回家,若小红和小颖行走的速度都是40米/分,小红用15分钟到家,小颖20分钟到家,小红和小颖家的直线距离为()
A.600米B.800米C.1000米D.不能确定
【例51】如图,将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和10㎝的长方体无盖盒子中,求细木棒露在盒外面的最短长度是多少?
【例52】在一平直河岸同侧有,两个村庄,,到的距离分别是和,.现计划在河岸上建一抽水站,用输水管向两个村庄供水.
方案设计
某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案:
图1是方案一的示意图,设该方案中管道长度为,且(其中于点);
图2是方案二的示意图,设该方案中管道长度为,且(其中点与点关于对称,与交于点).
观察计算
⑴在方案一中,(用含的式子表示);
⑵在方案二中,组长小强为了计算的长,作了如图3所示的辅助线,请你按小强同学的思路计算,(用含的式子表示).
探索归纳
⑶①当时,比较大小:
(填“>”、“=”或“<”);
②当时,比较大小:
⑷请你参考右边方框中的方法指导,就(当时)的所有取值情况进行分析,要使铺设的管道长度较短,应选择方案一还是方案二?
【例53】将一根长为的筷子,置于底面直径为,高为的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外边的长度为,则的取值范围为
【例54】已知是边长为1的等腰直角三角形,以的斜边为直角边,画第二个等腰
,再以的斜边为直角边,画第三个等腰,……,依此类推,第个等腰直角三角形的斜边长是.
【例55】如图,设四边形是边长为的正方形,以对角线为边作第二个正方形,再以对角
线为边作第三个正方形,如此下去.
(1)记正方形的边长为,按上述方法所作的正方形的边长依次为,请求出的值;
(2)根据以上规律写出的表达式.
【例56】小华将一条直角边长为1的一个等腰直角三角形纸片(如图1),沿它的对称轴折叠1次后得到一个等腰直角三角形(如图2),再将图2的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到一个等腰直角三角形(如图3),则图3中的等腰直角三角形的一条腰长为_____________;
同上操作,若小华连续将图1的等腰直角三角形折叠次后所得到的等腰直角三角形(如图)的一条腰长为_______________________.
板块二、勾股定理逆定理
【例57】已知是三角形的三边长,(为大于1的自然数),
试说明为直角三角形.
【例58】如果三条线段的长分别为,以这三条线段为边的三角形是否是直角三角形?
请说明理由
【例59】若的三边、、,满足,则是().
A.等腰三角形B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形
【例60】若,以、、为三边长的三角形是().
【例61】已知的三边为、、,且,,,则是().
【例62】已知的的对边分别是,且满足,则三角形的形状是
【例63】如图,在由单位正方形组成的网格图中标有,,,四条线段,其中能构成一个直角三角形三边的线段是( )
A.,,B.,,
C.,,D.,,
【例64】已知:
如图,在中,是边上的高,且.求证:
是直角三角形.
【例65】下面几组数:
①7,8,9;
②12,9,15;
③(均为正整数,);
④,,.其中能
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