M矩阵判定定理及证明Word格式.docx
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三、M矩阵的判定定理与证明
定理1若为M矩阵,则,其中下三角阵L和上三角阵R的主对角线元素为正,且其余元素为非正值。
证明若A为M阵,则当,;
,。
由引理1,A可做三角分解。
设
,
则,
故。
因,故;
因故;
因,故,从而;
因,故。
类似的有,()。
又因有及故相应有,。
假设时有,,(),当时,由于,故。
又由于,故;
类似的可得到,()。
证毕。
定理2设,的代数余子式为,,如果则为M矩阵的充要条件。
证明必要性:
如果为M矩阵,由于,故。
充分性:
由于,且,,就由定义1知为M矩阵,证毕。
定义3设有n阶矩阵,如果存在正向量X(即它的分量都是正值),使得成立,则称A为拟对角占优。
引理2设,满足,并且矩阵为拟对角占优,则A为M矩阵。
定理3设,如果则A为M矩阵(其中)。
证明若对皆成立,则由定义3知为拟对角占优。
由引理2知A为M矩阵,为此,只需证明对某个有的情形。
不失一般性,不妨设。
由
可得
用乘以矩阵B的第一列,得新矩阵,则有
,
再假设,用r乘以矩阵的第二列得到新矩阵,则有
于是为强对角占优,故B为拟对角占优。
由引理2知A为M矩阵。
定理4设,设
若对任意,恒有,则A为M矩阵。
证明令:
由于,故,取
做得,则当时,有,
如果,显然有
。
当时有
,
于是知为强对角占优矩阵,由定义3知B为拟对角占优矩阵,因此,根据引理2知A为M矩阵。
定理5如果存在正对角阵D,使AD为拟对角占优阵,则A为拟对角占优阵。
证明因为存在正对角阵D,使为拟对角占优,则存在正对角阵,使为强对角占优。
又因仍为正对角阵,故A为拟对角占优阵。
定理6设,且对任意的有
(1)
并且对全体等号成立的,存在非零元素链
,使得
成立,则A为M矩阵。
证明由于,故。
取
做得,则当时,有
当时,有
反之,若对使式
(1)成立的,存在非零元素链,使得
成立
则由前分析知为具有非零元素链的对角占优矩阵,并且通过文献知道为半强对角占优矩阵。
故为拟对角占优矩阵,从而B为拟对角占优矩阵,由引理2知A为M矩阵。
四、关于M矩阵新的判定方法
利用逐次降阶的方法,使一个任意阶的矩阵A所对应的逐次降为最后只需利用定义,就可判定矩阵是否满足要求,而无须要求理解定理。
从而得出结论,如果是M矩阵,则A亦是M矩阵。
1判定方法
定义1设A为阶方阵,若对任意的则称A为正定矩阵。
定义2设则称A为M矩阵。
定义3设存在正对角阵D,使AD为正定矩阵,则称A为广义正定矩阵。
引理1设,且,则A为M矩阵的充要条件是为广义正定矩阵。
引理2设,且,是阶可逆方阵,则A为广义正定矩阵的充要条件是为广义正定矩阵。
引理3设设,且,,是阶可逆方阵,则A为M矩阵的充要条件是为广义正定矩阵。
引理4,且,若为M矩阵,则A为M矩阵。
定理1设,,如果,为广义正定矩阵,则A为M矩阵。
证明取
则
由于,为广义正定矩阵,故为广义正定矩阵,故为M矩阵,所以A为M矩阵。
定理2设,,且若为广义正定矩阵,则A为M矩阵。
证明设,则,其中
(所以,只需证为广义正定矩阵)
取,得由已知条件,得为广义正定矩阵,故为广义正定矩阵,故为广义正定矩阵,因此为广义正定矩阵,所以为M矩阵,即A为M矩阵。
定义6若正定,则称A实部正定。
定义7若存在正对角阵D,使正定,则称A广义实部正定。
引理5,且,则A为M矩阵的充要条件是A为广义实部正定。
定理3设,A分块如定理1,则A为M矩阵的充要条件是存在正对角使
为广义实部正定。
若A为M矩阵,则A为广义实部正定。
故存在正对角阵D,使正定。
不失一般性,
不妨设,A分块如定理1,则故由定理1证明知
正定。
故
为实部正定。
所以
广义实部正定。
广义实部正定,故,为M矩阵。
若为M矩阵。
则为广义实部正定。
所以
实部正定,则正定。
则A广义实部正定,所以A为M矩阵。
2算法设计与分析
取
法1分析:
由定理2知要判定一个阶方阵是否为M矩阵,只须判定子块是否为广义正定矩阵。
这样当比较大时,为了减少计算量考虑取为一阶矩阵,这样是的倒数,在计算过程中只须求一些矩阵的减、乘运算,最后可利用定义直接判定是否为M矩阵,如果是M矩阵,则可以确定A是M矩阵。
算法设计取为一阶矩阵,则为阶矩阵。
此时计算,
,令=
取为一阶矩阵,则为阶矩阵。
求
逐次降阶计算得是否为M矩阵。
若是M矩阵,则可得到A是M矩阵结论。
法2(并行算法)
分析因为由定理2知把分为9块,故当时,取,均为阶。
若时,取均为阶,为阶:
此时须计算及,设,
,=
重复上述算法,若,则最多计算次即可。
定理2把A分成块,此时也被分成块,只须判断和,是否为广义正定矩阵即可,而判断和,是否为M广义正定矩阵却是相互独立的。
因此需要设计三个模块并行计算。
模块1判断,模块2判断,模块3判断,三个模块由三个计算单元分别完成。
为主控机,完成矩阵的划分,计算和并将和传送到。
此时同时计算,分别判断和,是否为广义正定矩阵。
将结果传送回主控机,由完成最后的判断,并输出。
以上给出了一个判定阶方阵A是M矩阵的一种方法,并对其并行算法进行了研究,救过表明所提出的方法使行之有效的,并且适合于并行求解,不仅缩短了求解时间,而且方法简单易掌握,因此在实际应用中有重要意义。
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