最大公因数与最小公倍数应用较难含有部分的讲解Word格式文档下载.docx
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二、热点考题:
例1两个自然数的最大公因数是6,最小公倍数是72。
已知其中一个自然数是18,求另一个自然数。
练一练:
甲数是36,甲、乙两数的最大公因数是4,最小公倍数是288,求乙数。
例2两个自然数的最大公因数是7,最小公倍数是210。
这两个自然数的和是77,求这两个自然数。
分析与解:
如果将两个自然数都除以7,则原题变为:
“两个自然数的最大公因数是1,最小公倍数是30。
这两个自然数的和是11,求这两个自然数。
”
例3已知a与b,a与c的最大公因数分别是12和15,a,b,c的最小公倍数是120,求a,b,c。
因为12,15都是a的因数,所以a应当是12与15的公倍数,即是[12,15]=60的倍数。
再由[a,b,c]=120知,a只能是60或120。
[a,c]=15,说明c没有质因数2,又因为[a,b,c]=120=23×
3×
5,所以c=15。
已知两数的最大公因数是21,最小公倍数是126,求这两个数的和是多少
例4已知两个自然数的和是50,它们的最大公因数是5,求这两个自然数。
例5已知两个自然数的积为240,最小公倍数为60,求这两个数。
习题四
1.已知某数与24的最大公因数为4,最小公倍数为168,求此数。
2.已知两个自然数的最大公因数为4,最小公倍数为120,求这两个数。
3.已知两个自然数的和为165,它们的最大公因数为15,求这两个数。
4.已知两个自然数的差为48,它们的最小公倍数为60,求这两个数。
5.已知两个自然数的差为30,它们的最小公倍数与最大公因数的差为450,
求这两个自然数
6.已知两个自然数的和为147,它们的最大公因数与最小公倍数的乘积为432,求这两个自然数。
7、五年一班去划船,他们算了一下,如果增加一条船,正好每船坐6个,如果
减少一条船,正好每船坐9人,这个班有多少人
8、一个数被2除余1,被3除余2,被4除余3,被5除余4,被6除余5,此数最小是几
9、已知A与B的最大公因数为6,最小公倍数为84,且A=42,求B。
10、已知A和B的最大公因数是31,且A×
B=5766,求A和B。
11、有一盘水果,3个3个地数余2个,4个4个数余3,5个5个数余4个,问这个盘子里最少有多少个水果
家庭练习
1.拖拉机前轮直径64厘米,后轮直径96厘米,拖拉机开动后,前轮至少转多少
圈,才能使前、后轮同时着地的两点重新同时着地
2.现在有香蕉42千克,苹果112千克,桔子70千克,平均分给幼儿园的几个班,每班分到的这三种水果的数量分别相等,那么最多分给了多少个班每个班至少分到了三种水果各多少千克
3、一个数被2除余1,被3除余2,被4除余3,被5除余4,被6除余5,此数最小是几
4、将72和120的乘积写成它们的最大公因数和最最小公倍数的乘积的形式。
5、两个自然数的最大公因数是12,最小公倍数是72。
满足条件的自然数有哪几组
例1用自然数a去除498,450,414,得到相同的余数,a最大是多少
分析与解:
因为498,450,414除以a所得的余数相同,所以它们两两之差的公因数应能
被a整除。
498-450=48,450-414=36,498-414=84。
所求数是(48,36,84)=12。
例2现有三个自然数,它们的和是1111,这样的三个自然数的公因数中,最大的可以是多少
只知道三个自然数的和,不知道三个自然数具体是几,似乎无法求最大公因数。
只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析。
三个数的和是1111,它们的公因数一定是1111的因数。
因为1111=101×
1,1它的因数只能是1,11,101和1111,由于三个自然数的和是1111,所以三个自然数都小于1111,1111不可能是三个自然数的公因数,而101是可能的,比如取三个数为101,101和909。
所以所求数是101。
练习:
1、在1000到2000之间,能同时被6、8、10这三个自然数整除的自然数一共有几个
2、三个连续偶数,它们分别是12、14、16的倍数,比它们大的这样三个偶数最小各是多少
3、四个连续自然数,它们分别是6、7、8、9的倍数,比它们大的这样四个自然数最小各是多少
4、甲、乙、丙三人沿600米的环形跑道从同一地点出发同时同向跑步,甲每秒跑3米,乙每秒跑4米,丙每秒跑2米。
至少经过多少时间三人又同时从出发点出发
5、两数的乘积是9000,它们的最大公因数是15,这个两数各是多少
6、甲、乙、丙三人绕操场竞走,他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30秒。
三人同时从起点出发,最少需多长时间才能再次在起点相会
7、两个小于150的数的积是2028,它们的最大公因数是13,求这两个数
8、有一堆桔子,按每4个一堆分少1个,按每5个一堆分也少1个,按每6个一堆分还是少1个。
这堆桔子至少有多少个
【例3】狐狸和袋鼠进行跳远比赛,狐狸每次跳米,袋鼠每次跳米,它们每秒都只跳一次。
比赛途中,从起点开始,每隔米设一个陷阱,当它们之中一个先掉进陷阱时,另一个跳了多少米
【例5】用长9厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体搭一个正方体,至少需要多少块这样的长方体木块
【例6】
(1)A、B两数的乘积是216,它们的最小公倍数是36。
A、B两数的最大公因数是多少
(2)甲乙两数的最小公倍数是288,最大公因数是4,甲数是36,乙数是多少
【例7】加工某种机器零件,要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件,第二道工序每个工人每小时可完成10个,第三道工序每个工人每
小时可完成5个,要使加工生产均衡,三道工序至少各分配几个工人
1.甲数是乙数的三分之一,甲数和乙数的最小公倍数是54,甲数是多少乙数是多少
2.一块长方形地面,长120米,宽60米,要在它的四周和四角种树,每两棵之间的距离相等,最少要种树苗多少棵每相邻两棵之间的距离是多少米
3.已知两个自然数的积是5766,它们的最大公因数是31.求这两个自然数。
4.有一队同学去野炊,吃饭时,他们两人一个饭碗,三个人一个菜碗,四个人一个汤碗,一共用了91个碗。
参加野炊的至少有多少同学
带余数的除法
前面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题.除此之外,例如:
16÷
3=5⋯1,即16=5×
3+1.此时,被除数除以除数出现了余数,我们称之为带余数的除法。
一般地,如果a是整数,b是整数(b≠0),那么一定有另外两个整数q和r,0≤r<
b,使得a=b×
q+r。
当r=0时,我们称a能被b整除。
当r≠0时,我们称a不能被b整除,r为a除以b的余数,q为a除以b的不完全商(亦简称为商).用带余除式又可以表示为a÷
b=q⋯r,0≤r<
b。
例1一个两位数去除251,得到的余数是41.求这个两位数。
分析这是一道带余除法题,且要求的数是大于41的两位数.解题可从带余除式入手分析。
解:
∵被除数÷
除数=商⋯余数,
即被除数=除数×
商+余数,
∴251=除数×
商+41,
251-41=除数×
商,∴210=除数×
商。
∵210=2×
5×
7,
∴210的两位数的因数有10、14、15、21、30、35、42、70,其中42和70大于余数41.所以除数是42或70.即要求的两位数是42或70。
例2用一个自然数去除另一个整数,商40,余数是16.被除数、除数、商数与余数的和是933,求被除数和除数各是多少
∵被除数=除数×
40+16。
由题意可知:
被除数+除数=933-40-16=877,
∴(除数×
40+16)+除数=877,
∴除数×
41=877-16,
除数=861÷
41,
除数=21,
∴被除数=21×
40+16=856。
答:
被除数是856,除数是21。
例3某年的十月里有5个星期六,4个星期日,问这年的10月1日是星期几解:
十月份共有31天,每周共有7天,
∵31=7×
4+3,
∴根据题意可知:
有5天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。
∴这年的10月1日是星期四。
例43月18日是星期日,从3月17日作为第一天开始往回数(即3月16日(第二天),15日(第三天),⋯)的第1993天是星期几
每周有7天,1993÷
7=284(周)⋯5(天),从星期日往回数5天是星期二,所以第1993天必是星期二.
例5一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求适合此条件的最小数。
这是一道古算题.它早在《孙子算经》中记有:
“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何”
关于这道题的解法,在明朝就流传着一首解题之歌:
“三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆正半月,除百零五便得知.”意思是,用除以3的余数乘以70,用除以5的余数乘以21,用除以7的余数乘以15,再把三个乘积相加.如果这三个数的和大于105,那么就减去105,直至小于105为止.这样就可以得到满足条件的解.其解法如下:
方法1:
2×
70+3×
21+2×
15=233
233-105×
2=23符合条件的最小自然数是23。
例5的解答方法不仅就这一种,还可以这样解:
方法2:
[3,7]+2=23
23除以5恰好余3。
所以,符合条件的最小自然数是23。
方法2的思路是什么呢让我们再来看下面两道例题。
例6一个数除以5余3,除以6余4,除以7余1,求适合条件的最小的自然数。
分析“除以5余3”即“加2后被5整除”,同样“除以6余4”即“加2后被
6整除”
[5,6]-2=28,即28适合前两个条件。
想:
28+[5,6]×
之后能满足“7除余1”的条件28+[5,6]×
4=148,148=21×
7+1,又148<
210=[5,6,7]
所以,适合条件的最小的自然数是148。
例7一个数除以3余2,除以5余3,除以7余4,求符合条件的最小自然数。
解:
2+3×
之后能满足“5除余3”的条件
2+3×
2=8。
再想:
8+[3,5]×
之后
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