三刚度矩阵Word下载.docx
- 文档编号:13517148
- 上传时间:2022-10-11
- 格式:DOCX
- 页数:14
- 大小:238.08KB
三刚度矩阵Word下载.docx
《三刚度矩阵Word下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《三刚度矩阵Word下载.docx(14页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
vuvvljj
**rT
UmVm
单兀虚应变列阵为
T
「;
*一;
*
**
1X
yxy
参照式(3-7),则单元虚应变为
*e*e
厂…B1?
作用在弹性体上的外力在虚位移上所做的功为:
(*e、Te
心}|{R}
单元内的应力在虚应变上所做的功为:
—tdxdy
Re
Tr[e
{R
{6
门「B]Tb}tdxdy
故有
eT
R=B二tdxdy
△
将式(3-10)代入,的
「e_T,e
R=BDBtdxdy
(3-27)
=门[bJD]B]tdxdy&
迁
简记为
-.eee
(3-29)
k…R
上式表征单元节点力与节点位移之间的关系,称为单元刚度方程(单元平衡方程)其中
k二BDBtdxdy(3-28)
A
_e
k称之为单元刚度矩阵(简称为单刚),是66矩阵。
如果单元的材料是均质的,矩阵_D中的元素也是常
量,且在三角形常应变的情况下,矩阵_B中的元素也是常
数,当单元的厚度也是常数时,注意到dxdy二厶,于
是单元刚度矩阵可简化为
(3-30)
A][D][BAt
将单元刚度矩阵按节点号写成分块矩阵形式:
il
k
ij
k1
im
I
k二
-k66
kjiji
jj
k・
jm
1
(3-31)
kml
kmj
kmm
其中任一子块
ik1
krs
(r,
s=i,j,
m)是一个
2X2子矩阵,
为
k「s"
〔Br「DMBs1t(r,s=i,j,m)
(1)对于平面应力问题
将〔B1和平面应力问题的弹性矩阵〔D1代入,得
&
二_BrTDBst
(2)对于平面应变问题
将〔B1和平面应变问题的弹性矩阵〔D1代入,得
(r,s=i,j,m)(3-33)
2.单元刚度矩阵的性质
(1)
k的物理意义
(3-29)可完整写为
有六个平衡方程
单元刚度矩阵〔k卢中的任一元素称为刚度系数,其物理
意义为:
kjj-----当单元的第j个节点有单位位移,而其它节点位移为零时,需在单元第i个节点位移方向上施加的节点力的大小。
例如,k23表示是第3个节点有水平(x)方向单位位移(即出=1)时,而其它节点位移分量均为零时,在第2个节点
所引起的铅垂(y)方向的节点力。
(2)单元刚度矩阵只取决于单元形状,大小,方向和弹性常数,而与单元的位置无关。
即_ke不随单元坐标平移而
改变,这叫单元刚度的平移原理。
即单元旋转180后,单元刚度矩阵相等。
这是单元刚度旋转原理。
(3)单元刚度矩阵是对称矩阵
因为[k]e=[b】T[d】[B"
t
所以有
=[B】T[D】T[[b]心主[B】TID】[B^1[k]e
(4)单元刚度矩阵是奇异矩阵
即[k〕e=O
因为[Rdke」代
当节点位移已知时,节点力是唯一确定的,而:
Re已知时,
二七不能唯一确定,因为单元没有支承,可以产生任意的刚体位移。
根据上述性质:
对于上图结构,在节点力为零时,单元
仍可产生刚体位移,即
kkkkkk0
111315121416
同理可得:
单元刚度矩阵任意一行(列)元素之和为零
(5)单元刚度矩阵主对角线上的元素恒为正。
即kH>
0—1,21,,6
整体分析
假设弹性体被分成m个单元和n个节点,对每一个单元进行前面的运算,则得到m组型如
eee
k八R
的方程。
把这些方程集合起来,便可得到表征整体弹性体平
衡的刚度方程:
k=R(3-37)
2n2n2n12n1
式中
1.乜1-—整体结构的节点位移列阵'
是由各节点
位移按节点号码从小到大顺序排列组成的,即
{§
}=「6T
」1
右T什T1
2T11n
__T
其中
{6}=i
UiVi(i=1,2,…,n)
yt
例如图示结构有
.T-
Il1
2.R=彳——整体结构的节点载荷列阵,是由各
2Z1
节点载荷按节点号码从小到大顺序排列组成的,即
{R}=[RrT|||r;
]T
-t
其中{R>
=[RxRjjy(i=1,2,…,小例如图示结构有
R=RTr2TR3R4
2.k——整体结构的刚度矩阵(总刚)
2n2n
(1)k的组集(“对号入座”法)
m
k八ke
2n2ne
例图示结构有
单元1
klm
k22
k24
k21
|
1JJ
k=
ji
kjm
=k42
k44
k41
k12
k14
k11
单元2
k42
k43
(2)
I,
=丨
k23
k34
k32
k33
注:
在单兀刚度矩阵中,各子块的下标表示该子块在总刚中的位置。
则总刚为
(2)总刚的性质
i.整体刚度矩阵的物理意义
'
■K】中每一列元素的物理意义为:
欲使弹性体的某一个节
点在坐标轴方向发生单位位移,而其它节点都保持为零状态,在各节点上所需要加施加的节点力。
由式可以看出,令节点1在坐标轴x方向有单位位移,
即口厂1,而其余的节点位移为零时,即
Vi=U2=V2=U3=V3==U2n=V2n=0,这样就可得至V节点载荷列
阵等于总刚Ik〕的第一列元素组成的列阵,即
ii.总刚*是对称矩阵
iii.总刚,k1是奇异矩阵
iv.总刚k主对角线上的元素恒为正,即
Ki>
00=1,21,1n2)
V.总刚1-ki是一个稀疏矩阵。
若遵守一定的节点编号规
则,则非零元素集中在主对角线附近呈带状分布。
单元越多,总刚'
ki越稀疏。
0r=s/r,s
」「同属于一个单元的两个节点
号码
非零元素集中在主对角线两侧,在包括对角线元素在内的半个带形区域中,具有最多元素的数目称为最大半带宽
半带宽取决于节点号码的最大差值。
半带宽越窄,计算
机的存储量就越少。
所以,在划分有限元网格进行节点编号时,要采用合理的编码方式,使同一单元中两节点的号码差尽可能地小,以便使半带宽小,节省存储空间,提高计算效率。
而且还可以大幅度减少求解方程所需的运算次数,其效果对大型结构显得尤为突出
对于图(a)B=[(7-1)+1]X2=14
对于图(b)B=[(4-1)+1]X2=8
iv.总刚〔k】的存储方式
通常的有限元程序,一般都利用总刚的对称性和稀疏性
的特点,在计算时采用:
半带宽存储只存储上半带的元素
一维变带宽存储
分块一维变带宽存储
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 刚度 矩阵