最新五年级上册奥数讲义.docx
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最新五年级上册奥数讲义
★★★★★优才家教优等生同步奥数提高五年级(下)★★★★★
第一讲整数问题
第1课数的整除
一、知识要点
1.整除——因数、倍数
必要条件:
(1)a、b、c三个数是整数
(2)b≠0
(3)a÷b=c
结论:
整数a能被整数b整除,或b能整除a,则a叫做b的倍数,b叫做a的因数。
记作:
b|a
整数a除以整数b(b≠0)等于c(c是整数且没有余数),那么说a能被b整除,或b能整除a,a叫做b的倍数,b叫做a的因数。
2.相关基础知识点回顾
(1)0是任何整数的倍数。
(2)1是任何整数的因数。
3.数整除的性质
性质1:
如果a、b都能被m整除,那么它们的和与差也能被m整除。
即:
如果m|a,m|b,那么m|(a±b)。
例如:
如果2|10,2|6,那么2|(10+6),并且2|(10—6)。
性质2:
如果a能同时被m、n整除,那么a也一定能被m和n的最小公倍数整除。
即:
如果m|a,n|a,那么[m,n]|a。
例如:
如果6|36,9|36,那么[6,9]|36。
性质3:
如果m、n都能整除a,且m和n互质,那么m与n的积能整除a。
即:
如果m|a,n|a,且(m,n)=1,那么(m×n)|a。
例如:
如果2|72,9|72,且(2,7)=1,那么18|72。
性质4:
如果a能整除b,b能整除m,那么a能整除m。
即:
如果a|b,b|m,那么a|m。
例:
如果7|14,14|28,那么7|28。
4.数的整除特征
(1)能被2整除的数的特征:
如果一个整数的个位数是偶数(即个位数是2、4、6、8、0),那么它必能被2整除。
(2)能被5整除的数的特征:
如果一个整数的个位数字是0或5,那么它必能被5整除。
(3)能被3(或9)整除的数的特征:
如果一个整数的各位数字之和能被3(或9)整除,那么它必能被3(或9)整除。
(4)能被4(或25)整除的数的特征:
如果一个整数的末两位数能被4(或25)整除,那么它必能被4(或25)整除。
例:
1864能否被4整除?
解:
1864=1800+64,因为4|64,4是1864的因数,1864是4的倍数,所以4|1864。
(5)能被8(或125)整除的数的特征:
如果一个整数的末三位数能被8(或125)整除,那么它必能被8(或125)整除。
例:
29375能否被125整除?
解:
29375=29000+375,因为125|375,125是375的因数,375是125的倍数,所以125|29375。
(6)能被11整除的数的特征:
如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差(大减小)能被11整除,那么它必能被11整除。
(奇数位指:
这个数的个位、百位、万位……;偶数位指:
这个数的十位、千位、十万位……)
例:
判断13574是否是11的倍数?
解:
这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是:
(4+5+1)-(7+3)=0。
因为0是任何整数的倍数,所以11|0。
因此13574是11的倍数。
例:
判断123456789这九位数能否被11整除?
解:
这个数奇数位上的数字之和是9+7+5+3+1=25,偶数位上的数字之和是8+6+4+2=20.因为25—20=5,又因为115,所以11123456789。
(7)能被7(11或13)整除的数的特征:
一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差(以大减小)能被7(11或13)整除。
例:
判断1059282是否是7的倍数?
解:
把1059282分为1059和282两个数。
因为1059-282=777,又因为7|777,所以7|1059282。
因此1059282是7的倍数。
例:
判断3546725能否被13整除?
解:
把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数,因为821—2=819,又13|819,所以13|2821,进而13|3546725。
二、典型例题详解
猜猜会是什么数?
【例1】:
一个856五位数,能被3、4、5整除,这样的五位数中,最小的一个是多少?
解:
先将856,看做856ab。
∵3|856ab,则3|8+5+6+a+b,3|19+a+b,∴a+b=2或a+b=5或a+b=8。
∵4|856ab,则4|ab,∴ab=偶数
∵5|856ab,则b=0或b=5,又∵ab为偶数,∴b=0
∵a+b=2或a+b=5或a+b=8,且b=0,∴a=2或a=5或a=8
当a=2,b=0时,这个数为85620;当a=5,b=0时,这个数为85650;当a=8,b=0时,这个数为85680。
答:
五位数中最小的一个是85620。
【例2】:
一本老账本上记着:
72只桶,共67.9元,其中□处是被虫蛀掉的数字,请把这笔账补上。
解:
先将67.9,看做整数a679b。
∵72=8×9,且(8,9)=1,∴8|a679b,且9|a679b。
若8|a679b,则8|79b,所以b=2。
若9|a679b,b=2,则9|a6792,9|a+6+7+9+2,9|a+24,所以a应是3。
所以这个数应是
答:
这笔账应是元。
【例3】:
173是一个四位数,在其中的方框中先后填入三个数字,所得到的三个四位数,依次可以被9、11、6整除。
先后填入的三个数字的和是多少?
[方法一]试商法
解:
[方法二]倍数特征
解:
三、课后作业
1.在中填入适当的数字,使所组成的数能够被
4整除。
7847653863
3.一个六位数2356是22的倍数,那么这样
的六位数中,最大的一个是多少?
2.71450至少加上多少后就能被4整除?
4.如果两个数的和是64,这两个数的积可以整除4875,那么这两个数的差是多少?
5.一位采购员买了同样的72只热水杯,可是发票不慎弄湿,单价无法辨认,总价数字也不全,只能看出:
173.元。
你能算出热水杯的单价吗?
第一讲整数问题
第2课倍数与因数
(一)
一、知识要点
1.质数与合数
质数:
一个数除了1和它本身,不再有别的因数,这个数叫做质数。
(素数)
合数:
一个数除了1和它本身,还有别的因数,这个数叫做合数。
1不是质数,也不是合数。
2.质因数与分解质因数
质因数:
如果一个质数是某个数的因数,那么就说这个质数是这个数的质因数。
分解质因数:
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
例:
30分解质因数。
解:
30=2×3×5答:
2、3、5是30的质因数。
分解质因数的方法:
可以用短除式来求质因数
100以内的质数(要会背的):
2、3、5、7、
11、13、17、19、
23、29、
31、37、
41、43、47、
53、59、
61、67、
71、73、79、
83、89、
97.
3.公因数与公倍数
公因数:
几个自然数公有的因数,叫做这几个自然数的公因数。
公倍数:
几个自然数公有的倍数,叫做这几个自然数的公倍数。
一个数的因数的个数是()的,倍数的个数是()的。
几个数的公因数的个数是()的,公倍数的个数是()的。
4.最大公因数与最小公倍数
最大公因数:
在几个自然数的公因数中,最大的一个称为这几个数的最大公因数。
a、b的最大公因数=(a,b)
最小公倍数:
在几个自然数的公倍数中,除零外最小的一个称为这几个数的最小公倍数。
a、b的最小公倍数=[a、b]
(18,30)=2×3=6[18,30]=2×3×3×5=90
二、典型例题详解
用短除法计算:
【例1】五年级三个班分别有30、24、42人参加课外科技活动,现在要把参加的人分成人数相等的小级,并且各班同学不能打乱,那么每组最多多少人?
一共可以分成多少个小组?
解:
30=2×3×5
24=2×3×2×2
42=2×3×7
(30,24,42)=2×3=6(人)
30÷6=5(个)
24÷6=4(个)
42÷6=7(个)
5+4+7=16(个)
答:
每组最多可以分6人,一共可以分16个组。
【例2】有一种长16厘米,宽12厘米的塑料扣板,如果用这种扣板拼成一个正方形,最少需要多少块?
用短除法计算:
解:
16=2×2×2×2
12=2×2×3
[16,12]=2×2×2×2×3
=48(厘米)
48÷16=3(块)
48÷12=4(块)
3×4=12(块)
答:
最少需要12块扣板。
【例3】甲对乙说:
“我现在的年龄是你的7倍,过几年是你的6倍,再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。
”求出甲、乙现在的年龄。
解:
∵甲现在的年龄是乙的7倍,则甲的年龄比乙大6倍;
∵当甲的年龄是乙的6倍时,则甲的年龄比乙大5倍;
∵当甲的年龄是乙的5倍时,则甲的年龄比乙大4倍;
∵当甲的年龄是乙的4倍时,则甲的年龄比乙大3倍;
∵当甲的年龄是乙的3倍时,则甲的年龄比乙大2倍;
∵当甲的年龄是乙的2倍时,则甲的年龄比乙大1倍;
∴甲、乙的年龄差是6、5、4、3、2的公倍数。
[6,5,4,3,2]=6×5×4×3×2=60(岁)
60÷(7-1)=10(岁)
10+60=70(岁)
答:
甲的年龄是70岁,乙的年龄是10岁。
【例4】写出三个小于20的自然数,它们的最大公因数为1,但两两均不互质,共有几组?
解:
假设这三个数分别是a、b、c
∵a、b、c两两不互质,且a<20,b<20,c<20,
则两两间的质因数互不相同且乘积小于20
(a,b)=2或(a,b)=3或(a,b)=5;
(a,c)=2或(a,c)=3或(a,c)=5;
(b,c)=2或(b,c)=3或(b,c)=5;
∴a,b,c三数有可能是2×3=6,2×5=10,3×5=15,2×6=12,3×6=18。
又∵(a,b,c)=1;
(6,10,15)=1;(10,15,12)=11;(10,15,18)=
答:
共有三组,分别是(6、10、15),(10、12、15),(10、15、18)。
三、课后习题
1.求56,36,284的最小公倍数。
3.三个人绕环行跑道练习骑自行车,他们骑一圈的时间分别为半分钟、45秒钟、1分15秒。
三人同时从起点出发,最少需要多长时间才能再次在起点相会?
5.把一张长120cm,宽80cm的长方形纸裁成同样大小的正方形(纸不能有剩余),至少能裁成多少张这样的正方形纸,每张裁成的纸是多大?
2.有336个苹果、252个梨子、210个桔子,用这三种水果最多可以分成多少份相同的礼物?
每份礼物中,三种水果各占多少?
4.有一个表,每走9分钟亮一次灯,每到整点时响一次铃。
中午12点时既亮灯又响铃。
下次既亮灯又响铃在几点?
6.用一个数去除31,61,76都余1,这个数最大是多少?
第3课倍数与因数
(二)
一、知识要点
1.最小公倍数与最大公因数之间的关系
定理一:
两个自然数分别除以它们的最大公因数,所得的商互质。
即:
如果(a,b)=d,那么(a÷d,b÷d)=1
定理二:
两个数的最小公倍数与最大公因数之积等于这两个数的乘积。
即:
[a,b]×(a,b)=a×b
定理三:
两
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