新高一数学函数的单调性与最值教案Word格式.docx
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一、知识导向或者情景引入
1、观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律:
(1)随x的增大,y的值有什么变化?
(2)能否看出函数的最大、最小值?
(3)函数图象是否具有某种对称性?
2、画出下列函数的图象,观察其变化规律:
(1)f(x)=x
1从左至右图象上升还是下降______?
○
2在区间____________上,随着x的增
○大,f(x)
的值随着________.
(2)f(x)=-2x+1
2在区间____________上,随着x的增○
大,f(x)的值随着________.(3)f(x)=x21在区间____________上,f(x)的值随○
着x的增大而________.2在区间____________上,f(x)的值随○
着x的增大而________.
二、新课教学
(一)函数单调性定义
1.增函数
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1
思考:
仿照增函数的定义说出减函数的定义.(学生活动)注意:
1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;
单调性是与“区间”○
紧密相关的概念,一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性。
2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;
当x1
掉,证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换,两个任意的自变量是属于同一个单调区间。
2.函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间:
3.判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤:
1任取x1,x2∈D,且x1
2作差f(x1)-f(x2);
3变形(通常是因式分解和配方)○;
4定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负)○;
5下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)○.
4、判定函数单调性的常见方法
(1)定义法:
如上述步骤,这是证明或判定函数单调性的常用方法
(2)图象法:
根据函数图象的升降情况进行判断。
(3)直接法:
运用已知的结论,直接得到函数的单调性,如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出。
直接判定函数的单调性,可用到以下结论:
(3.1)函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反(3.2)函数y(x)恒为正或恒为负时,函数y=
1
与y=f(x)的单调性相反。
f(x)
(3.3)在公共区间内,增函数+增函数=增函数,增函数-减函数=增函数等
提醒:
书写函数的单调区间时,区间端点的开或闭没有严格规定,习惯上,若函数在区间端点处有定义,则写成闭区间,当然写成开区间也可;
若函数在区间端点处没有定义,则必须写成开区间。
(二)典型例题
例1.(教材P29例1)根据函数图象说明函数的单调性.解:
见教材例2.(教材P29例2)根据函数单调性定义证明函数的单调性.解:
见教材巩固练习:
证明函数y=x+
在(1,+∞)上为增函数。
x
例3.借助计算机作出函数y=-x2+2|x|+3的图象并指出它的的单调区间.
解:
用几何画板画,用A3打印,由学生看图回答。
画出反比例函数y=
的图象.x
1这个函数的定义域是什么?
2它在定义域I上的单调性怎样?
证明你的结论.○
说明:
本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象.
归纳小结,强化思想
函数的单调性一般是先根据图象判断,再利用定义证明.画函数图象通常借助计算机,求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域,单调性的证明一般分五步:
取值→作差→变形→定号→下结论(三)函数的最大(小)值
画出下列函数的图象,并根据图象解答下列问题:
1说出y=f(x)的单调区间,以及在各单调区间上的单调性;
2指出图象的最高点或最低点,并说明它能体现函数的什么特征?
(1)f(x)=-2x+3
(2)f(x)=-2x+3x∈[-1,2](4)f(x)=x2+2x+1x∈[-2,2]
(3)f(x)=x2+2x+1
(3.1)函数最大(小)值定义1.最大值一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;
(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M那么,称M是函数y=f(x)的最大值(MaximumValue).
仿照函数最大值的定义,给出函数y=f(x)的最小值(MinimumValue)的定义.(学生活动)
注意:
1函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在x0∈I,使得f(x0)=M;
2函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的x∈I,都有f(x)≤M(f(x)○
≥M).2.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法
1利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值○
2利用图象求函数的最大(小)值○
3利用函数单调性的判断函数的最大(小)值○
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
(3.2)典型例题
例1.(教材P30例3)利用二次函数的性质确定函数的最大(小)值.解:
(略)
对于具有实际背景的问题,首先要仔细审清题意,适当设出变量,建立适当的函数模型,然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大(小)值.
巩固练习:
如图,把截面半径为
25cm的圆形木头锯成矩形木料,
如果矩形一边长为x,面积为y试将y表示成x的函数,并画出函数的大致图象,并判断怎样锯才能使得截面面积最大?
本题是在教材23页练习第一题的增加(正方形)
例2.(新题讲解)
旅馆定价
一个星级旅馆有150
欲使每天的的营业额最高,应如何定价?
根据已知数据,可假设该客房的最高价为160元,并假设在各价位之间,房价与住房率之间存在线性关系.
设y为旅馆一天的客房总收入,x为与房价160相比降低的房价,因此当房价为(160-x)元时,住房率为(55+
⋅10)%,于是得20
⋅10)%.20
y=150·
(160-x)·
(55+
由于(55+
⋅10)%≤1,可知0≤x≤90.20
因此问题转化为:
当0≤x≤90时,求y的最大值的问题.将y的两边同除以一个常数0.75,得y1=-x2+50x+17600.由于二次函数y1在x=25时取得最大值,可知y也在x=25时取得最大值,此时房价定位应是160-25=135
(元),相应的住房率为67.5%,最大住房总收入为13668.75(元).所以该客房定价应为135元.(当然为了便于管理,定价140元也是比较合理的)例3.(教材P31例4)求函数y=
2
在区间[2,6]上的最大值和最小值.x-1
利用函数的单调性求函数的最大(小)值的方法与格式.
三、课堂练习1、教材32页练习
2、提高作业:
快艇和轮船分别从A地和C地同时开出,如下图,各沿箭头方向航行,快艇和轮船的速度分别是45km/h和15km/h,已知AC=150km,经过多少时间后,快艇和轮船之间的距离最短?
BA
3、函数y=-x2的单调增区间为(A)(世纪)A、(-∞,0]B、[0,+∞)C、(0,+∞)D、(-∞,+∞)
4、若f(x)是R上的增函数,且f(x1)>
f(x2),则x1与x2的大小关系是5、设函数f(x)是(-∞,+∞)上的减函数,则f(a2+1)与f(a)的大小是6、函数y=-x2+2x在[1,2]上的最大值为()(世纪)A、1B、2C、-1D、不存在
7、设f(x)=x2+px+q,若f(x)的最小值为0,则q为(世纪)
8、证明函数f(x)=3x+2是(-∞,上的增函数。
(世纪)+∞)
9、证明函数f(x)=x+
10、作出函数f(x)=
11、已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(世纪)(-∞,4]上是减函数,求实数a的取值范围。
12、(易错题)已知f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,且f(x-2)
13、求函数f
(x)=
14、求二次函数f(x)=x-6x+7在区间[-2,2]上的最大值和最小值。
(世纪)
在(0,1)上为减函数。
(世纪)x
(世纪)x2-6x+9+x2+6x+9的图象,并指出函数f(x)的单调区间。
在区间[2,5]上的最大值与最小值。
(世纪)x-1
四、作业
1、设(a,b),(c,d)都是函数f(x)的单调增区间,且x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1
A、f(x1)f(x2)C、f(x1)=f(x2)D、不能确定
2、(2019年陕西卷)已知函数f(x)=ax2+2ax+4(0f(x2)B、f(x1)
C、f(x1)=f(x2)D、f(x1)与f(x2)的大小不能确定3、在区间(0,+∞)上不是增函数的函数是A.y=2x+1B.y=3x2+1
C.y=
(C)
D.y=2x2+x+1
4、函数f(x)=4x2-mx+5在区间[-2,+∞]上是增函数,在区间(-∞,-2)上是减函数,则f
(1)等于(D)A.-7B.1C.17D.25
5、函数f(x)在区间(-2,3)上是增函数,则y=f(x+5)的递增区间是(B)A.(3,8)B.(-7,-2)C.(-2,3)D.(0,5)
6、已知函数f(x)在区间[a,b]上单调,且f
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