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"
不是陈述句,不是命题。
4."
一个偶数可表示成两个素数之和"
(哥德巴赫猜想)。
是命题,或为真或为假,只不过当今尚不知其是真命题还是假命题。
ﻫ 5."
1+101=110"
这是一个数学表达式,相当于一个陈述句,可以叙述为"
1加101等110"
这个句子所表达的内容在十进制范围中真值为假,而在二进制范围中真值为真。
可见这个命题的真值还与所讨论问题的范围有关。
举例ﻫ举例:
下列句子都是命题ﻫ
(1)8小于12。
(2) 8大于12。
ﻫ (3)21世纪末,人类将住在月球。
ﻫ (4)任何一个大于5的偶数可表成两个素数的和。
(1)显然为命题,它陈述了一个事实。
(2)表示了一个错误的判断,故为假,又是一个陈述句,故为命题。
(3)也是命题,虽然现在还不知道真假,但到21世纪末,就能知其真假,故它是不为真必为假的一个陈述句,即为命题。
(4)是不知真假的一个陈述句,但"不知"
不等于"
不存在",这句话要么为真,要么为假,只是不知道而已,故也为一个命题。
举例
举例:
下列句子不是命题。
ﻫ (1)8大于12吗?
(2)请勿吸烟。
ﻫ (3)X大于Y。
(4)本页这一行的这句话是假话。
(1)是一个疑问句,不是陈述句。
(2)是一个祈使句。
(3)是一个不能确定其真假的句子,它可能为真,也可能为假,从而不为命题。
在判断一个语句是否是命题时,从语法上就是看他是否是陈述句。
但值得注意的是,这里所说的陈述句不包括那些"
自指谓"的语句。
如(4)这个语句,它的结论是对自身而言的,就是所谓"
自指谓"的。
这种自指谓的语句往往会产生自相矛盾的结论,即所谓的悖论。
如上面这句话,如果承认它是真的,由于本页这一行中没有别的话,所以必须承认它是假的;
另一方面,如果承认它是假的,这刚好就是这句话所说的,所以又必须承认它是真的。
因此这句话本身包含了悖论。
我们在判断一个语句是否是命题时把这种语句排除在命题之外。
二、 命题变项
为了对命题作逻辑演算,采用数学手法将命题符号化(形式化)是十分重要的。
我们约定用大写字母表示命题,如以P表示"雪是白的"
Q表示"北京是中国的首都"等等。
当P表示任一命题时,P就称为命题变项(变元)。
有些文献中,用小写拉丁字母表示命题变量:
p,q,r,…,而用大写字母代表具体的、确指的命题:
P,Q,R,…,本书在不发生混淆的地方有时也用大写字母代表命题变量。
命题与命题变项含义是不同的,命题指具体的陈述句,是有确定的真值,而命题变项的真值不定,只当将某个具体命题代入命题变项时,命题变项化为命题,方可确定其真值。
命题与命题变项象初等数学中常量与变量的关系一样。
如5是一个常量,是一个确定的数字,而x是一个变量,赋给它一个什么值它就代表什么值,即x的值是不定的。
初等数学的运算规则中对常量与变量的处理原则是相同的,同样在命题逻辑的演算中,命题与命题变项的处理原则也是相同的。
因此,除在概念上要区分命题与命题变项外,在逻辑演算中就不再区分它们了。
三、简单命题和复合命题ﻫ
简单命题又称原子命题,它是不包含任何的与、或、非一类联结词的命题。
如1.1.1中所举的命题例子都是简单命题。
这样的命题是不可再分割了,如再分割就不是命题了。
而像命题"
雪是白的而且1+1=2"
,就不是简单命题,它可以分割为"
以及"
1+1=2"
两个简单命题,联结词是"而且"
在简单命题中,尽管常有主语和谓语,但我们不去加以分割,是将简单命题作为一个不可分的整体看待,进而作命题演算。
在谓词逻辑里,才对命题中的主谓结构进行深入分析。
ﻫ仅只限于简单命题的讨论,除分别讨论真值外,再没有可研究的内容了。
而命题逻辑所讨论的正是多个命题联结而成的复合命题的规律性。
把一个或几个简单命题用联结词(如与、或、非)联结所构成的新的命题称为复合命题,也称为分子命题。
复合命题自然也是陈述句,其真值依赖于构成这复合命题的各简单命题的真值以及联结词,从而复合命题有确定的真值。
"张三学英语和李四学日语"就是一个复合命题,由简单命题"
张三学英语"
李四学日语"
经联结词"
和"
联结而成,这两个简单命题真值均为真时,这复合命题方为真。
ﻫﻫ 在数理逻辑里,仅仅把命题看成是一个可取真或可取假的陈述句,所关心的并不是这些具体的陈述句的真值究竟为什么或在什么环境下是真还是假,这是有关学科本身研究的问题,而逻辑关心的仅是命题可以被赋予真或假这样的可能性,以及规定了真值后怎样与其他命题发生联系的问题。
不能分解成更简单的命题的组合的命题称为简单命题。
而像下面这样的命题:
ﻫ
(1)期中考试,张三没有考及格。
(2)期中考试,张三和李四都考及格了。
ﻫ (3)期中考试,张三和李四中有人考90分。
(4)张三能考90分,那么李四也能考90分。
(5)张三能考90分当且仅当李四也能考90分。
它们都是由简单命题通过加上诸如:
不是"
"
或者"
,"
而且","
如果…那么…"
"当且仅当"等这样一些否定词或连词得到的。
这些词称为联结词。
由联结词连接的命题称为复合命题。
第二节 命题连接词及真值表
联结词可将命题联结起来构成复杂的命题,命题逻辑联结词的引入是十分重要的,其作用相当于初等数学里的实数集上定义的+、-、×
、÷
等运算符。
通过联结词便可定义新的命题,从而使命题逻辑的内容变得丰富起来,我们要讨论的仅只是复合命题的真值,可由组成它的相应命题的真值所确定。
值得注意的是逻辑联结词与日常自然用语中的有关联结词的共同点和不同点。
ﻫ 下面介绍五个常用的逻辑联结词:
ﻫ 、∧、∨、→、
联结词分为两类。
ﻫ一类是由此联结词构成的复合命题的真假完全由构成它的简单命题的真假决定,这种联结词叫做真值联结词。
ﻫ例如,张三和李四都考了90分。
若"
张三考了90分"
李四考了90分"
都真,则原命题真,若这两个命题有一个假,则原命题假。
所以"
是个真值联结词。
ﻫ另一类是由此联结词构成的复合命题的真假不完全由构成它的简单命题的真假来确定,例如:
(1)清华大学是中国最好的大学之一,促使许多有志学子前来求学。
(2) 珠穆朗玛峰最高,促使许多有志学子来清华求学。
这两个命题都是用联结词"
促使"
来连接的,但前者为真,后者却为假了。
在古典逻辑中,我们只讨论真值联结词,即复合命题的真假完全由构成它的简单命题的真假来确定。
一、否定词ﻫ
否定词""是个一元联结词。
一个命题P加上否定词就形成了一个新的命题,记作P,这个新命题是命题的否定,读作非P。
ﻫ 规定,若命题P的真值为真,那么P的真值就为假。
若P的真值为假,那么P 的真值就为真。
P与P间的真值关系, 常常使用称作真值表的一种表格来表示,见图1.2.1ﻫﻫ也可将图1.2.1看作是对P的定义。
它表明了P的真值如何依赖于P的真值。
真值表描述了命题之间的真值关系,很直观,当命题变项的个数不多时,也很容易建立,所以真值表是命题逻辑里研究真值关系的重要工具。
图1.2.1ﻫ ﻫ
例题
例1:
"
昨天张三去看球赛了"
这命题以P表示,于是"昨天张三没有去看球赛",这新命题便可以P表示了。
若昨天张三去看球赛了,命题P是真的,那么新命题P必然是假的。
反之,若命题P是假的,那么P就是真的.这符合图1.2.1的描述。
例题ﻫ 例2:
Q:
今天是星期三。
ﻫ Q:
今天不是星期三。
然而Q不能理解为"
今天是星期四"
因为"
今天是星期三"
的否定,并不一定必是星期四,还可能是星期五、星期六……。
在这种情况下,要注意否定词的含义是否定被否定命题的全部,而不是一部分。
我们来看下面的例子:
(1)塑料不是金属。
(Q)ﻫ
(2)塑料是金属。
(Q)ﻫ 对于上面的
(1)句究竟算不算简单命题,有不同的看法,在有些文献中认为,简单命题中不应该含有联结词,因此它不应当算简单命题,然而也有人认为,在人们发现塑料之初,对它的性质还不够了解时,命题(1)也是一种肯定的判断,虽然这种肯定是通过否定的方式加以表达的。
这个问题我们不去争论。
重要的是,如果命题(1)用Q表示,那么命题
(2)就应该用Q表示。
ﻫ二、合取词∧
合取词"∧"是个二元命题联结词。
将两个命题P、Q联结起来,构成一个新的命题P∧Q,读作P、Q的合取,也可读作P与Q。
这个新命题的真值与构成它的命题P、Q的真值间的关系,由合取词真值表图1.2.2来规定。
ﻫﻫ图1.2.2指出,只有当两个命题变项P =T,Q= T时方可P∧Q =T,而P、Q只要有一为F则P∧Q=F。
这样看来,P∧Q可用来表示日常用语P与Q, 或P并且Q。
ﻫ日常自然用语中说,"这台机器质量很好,但是很贵",这句话的含义是说同一台机器质量很好而且很贵。
若用P表示"
这台机器量很好"
,用Q表示"
这台机器很贵"
那么这句话的逻辑表示就是P∧Q。
尽管这句话里出现的联结词是"
但是"
总之,合取词有"
与"
、"并且"
的含义,但逻辑联结词是自然用语中联结词的抽象,两者并不是等同的,这是需注意的。
在进行命题的形式化时,不能见到"
就用"
∧"
例如,"
李文与李武是兄弟"
王芳和陈兰是好朋友",这两个命题中分别有"
和"及"与"
字,可是它们都是简单命题而不是复合命题,因而,分别符号化P,Q即可。
图1.2.2
例题ﻫ例3:
P:
教室里有10名女同学。
ﻫ Q:
教室里有15名男同学。
不难看出,命题"
教室里有10名女同学与15名男同学"
便可由P∧Q来描述了。
例4:
A:
今天下雨了。
B:
教室里有100张桌子。
可知A∧B就是命题"
今天下雨了并且教室里有100张桌子".
P、Q、A、B都是简单命题,通过合取词∧,得到了复合命题P∧Q, A∧B。
复合命题通过∧还可得到复合命题的复合命题。
日常自然用语里的联结词"
和"、"
,一般是表示两种同类有关事物的并列关系的(如例3)。
而在逻辑语言中仅考虑命题与命题之间的形式关系或说是逻辑内容,并不顾及日常自然用语中是否有此说法。
这样"
同"
、"
并且"又不能等同视之。
例4在日常自然用语句,因A,B毫无联系,然而在数理逻辑中A∧B是可以讨论的。
ﻫ
上面这一点是我们需要着重指出的。
我们现在只考虑命题与命题之间的形式关系,而不顾及语句的含义,正如我们在研究语法规则时,只考虑句子的形式,而不考虑句子的意义。
ﻫ三、析取词∨
ﻫ 析取词"
∨"
是个二元命题联结词。
将两个命题P、Q联结起来,构成一个新的命题P∨Q,读作P、Q的析取,也读作
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