较复杂的因式分解习题Word格式文档下载.docx
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合并在一起,可得到下图:
用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是:
(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2,得到一个十字相乘图(有两列);
(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上,要求第二、第三列构成的十字交
叉之积的和等于原式中的ey,第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的
dx.
例1分解因式:
22
⑴X-3xy-10y+x+9y-2;
(2)x2-y2+5x+3y+4;
(3)xy+y+x-y-2;
(4)6x-7xy-3y-xz+7yz-2z
解
(1)
原式=(x-5y+2)(x+2y-1)
⑵
原式=(x+y+1)(x-y+4)
(3)原式中缺x2项,可把这一项的系数看成0来分解.
it
原式=(y+i)(x+y-2).
⑷
原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z).
说明(4)中有三个字母,解法仍与前面的类似.
2•求根法
我们把形如anxn+an-ixn-1+…+aix+ao(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式,并用f(x),g(x),…等记号表示,女口
f(x)=x2-3x+2,g(x)=x5+x2+6,…,
当x=a时,多项式f(x)的值用f(a)表示.如对上面的多项式f(x)
f
(1)=12-3X1+2=0;
f(-2)=(-2)-3X(-2)+2=12.
若f(a)=0,则称a为多项式f(x)的一个根.
定理1(因式定理)若a是一元多项式f(x)的根,即f(a)=0成立,则多项式f(x)有一个因式x-a.
根据因式定理,找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根.对于任意多项式f(x),要求出它的根是没有一般方法的,然而当多项式f(x)的系数都是
整数时,即整系数多项式时,经常用下面的定理来判定它是否有有理根.
定理2
若既约分数旦是整系数多项式
P
的根,则必有p是ao的约数,q是an的约数•特别地,当a°
=1时,整系数多
项式f(x)的整数根均为an的约数.
我们根据上述定理,用求多项式的根来确定多项式的一次因式,从而对多项式进行因式分解.
例2分解因式:
x3-4x2+6x-4.
分析这是一个整系数一元多项式,原式若有整数根,必是-4的约数,逐个检验
-4的约数:
土1,土2,土4,只有
32
f
(2)=2-4X2+6X2-4=0,
即x=2是原式的一个根,所以根据定理1,原式必有因式x-2.
解法1用分组分解法,使每组都有因式(x-2).
原式=(x-2x)-(2x-4x)+(2x-4)
=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)
=(x-2)(x-2x+2).
品-蠢*2
x_2/4jc~+6s-4
-2x2+6x
-2x2+4x
2x-4
2h二4
~Q
所以
原式=(x-2)(x2-2x+2).
说明在上述解法中,特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数,反之不
成立,即-4的约数不一定是多项式的根.因此,必须对-4的约数逐个代入多项式进
行验证.
例3分解因式:
9x4-3x3+7x2-3x-2.
分析因为9的约数有土1,土3,土9;
-2的约数有土1,土
2、所以原式的有理根只可能是±
1,±
2,士*士彳,士*土彳,
12—~12
经检验,只有冷和彳是原式的根,所以原式有因式出和迸.又因
为:
仪+|)(x~'
)=£
(強+1)(3x「2)
=-3z~2),
所以,原式有因式9x2-3x-2.
解9x4-3x3+7x2-3x-2
=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2
=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2
=(9x-3x-2)(x+1)
=(3x+1)(3x-2)(x2+1)
说明若整系数多项式有分数根,可将所得出的含有分数的因式化为整系数因
式,如上题中的因式
可以化为9x2-3x-2,这样可以简化分解过程.
总之,对一元高次多项式f(x),如果能找到一个一次因式(x-a),那么f(x)就可以
分解为(x-a)g(x),而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式,这样,我们就可以继续对g(x)进行分解了.
3.待定系数法
待定系数法是数学中的一种重要的解题方法,应用很广泛,这里介绍它在因式
分解中的应用.
在因式分解时,一些多项式经过分析,可以断定它能分解成某几个因式,但这
几个因式中的某些系数尚未确定,这时可以用一些字母来表示待定的系数•由于该
多项式等于这几个因式的乘积,根据多项式恒等的性质,两边对应项系数应该相等,
或取多项式中原有字母的几个特殊值,列出关于待定系数的方程(或方程组),解出待
定字母系数的值,这种因式分解的方法叫作待定系数法.
例4分解因式:
x2+3xy+2y2+4x+5y+3.
分析由于
(x+3xy+2y)=(x+2y)(x+y),
若原式可以分解因式,那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x+y+n的形式,
应用待定系数法即可求出m和n,使问题得到解决.
解设
x+3xy+2y+4x+5y+3
=(x+2y+m)(x+y+n)
=x+3xy+2y+(m+n)x+(m+2n)y+mn,
比较两边对应项的系数,则有
r
in+n=,
m+2n=5,inn—3.
k
解之得m=3,n=1.所以
原式=(x+2y+3)(x+y+1).
说明本题也可用双十字相乘法,请同学们自己解一下.
例5分解因式:
x4-2x3-27x2-44x+7.
分析本题所给的是一元整系数多项式,根据前面讲过的求根法,若原式有有理
根,则只可能是土1,土7(7的约数),经检验,它们都不是原式的根,所以,在有理数集内,原式没有一次因式.如果原式能分解,只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式.
原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)
432
=x+(a+c)x+(b+d+ac)x+(ad+bc)x+bd,
所以有
'
a+c=-2,
b+d+ac=-27,ad4-be=a44,bd=7,
L
由bd=7,先考虑b=1,d=7有
a+c=-2*
彳ac=-35,
7a+c—-44,
a=-7
解之得£
c=5.
原式=(x-7x+1)(x2+5x+7).
说明由于因式分解的唯一性,所以对b=-1,d=-7等可以不加以考虑.本题如
果b=1,d=7代入方程组后,无法确定a,c的值,就必须将bd=7的其他解代入方
程组,直到求出待定系数为止.
本题没有一次因式,因而无法运用求根法分解因式•但利用待定系数法,使我
们找到了二次因式.由此可见,待定系数法在因式分解中也有用武之地.
练习二
1•用双十字相乘法分解因式:
(1)x-8xy+15y+2x-4y-3;
(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2
2.用求根法分解因式:
(1)x3+x2-10x-6;
432
(2)x4+3x3-3x2-12x-4;
(3)4x4+4x3-9x2-x+2.
3.用待定系数法分解因式:
(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20;
(2)x4+5x3+15x-9
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