数学数学09级1班闻晶晶外文文献翻译Word下载.docx

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都成立

其中

和

是任意两个使得协方差存在且对任意变量都增加的函数.

在本文中，我们称

是NA序列，其中

，

，表示关于i的同分布损失函数

，满足

.我们同样可以假定，对任意

，如果满足

或

我们说分布函数F属于重尾子集C，其中分布函数F具有一致变化尾.Clineetal.（1994）也曾研究过重尾子集C，他称其为‘中间正规变量’.另一个著名的重尾子集被称为控制变量集（D族）.一个分布函数F支撑在

上且属于D，当且仅当对任意

（或某些

），

成立.

对于像R，S，L等其他重尾子集的更多细节，参考文献Ngetal.（2004）或者WangandWang（2007）.集合

其中，

.在Tang（2006）的专业用语中，

被称为F的上Matuszewska指数.

是k正整数序列.为方便起见，令

.

是一列关于索赔次数的独立非负整数计数过程，我们假定

是相互独立的，且当

时，

.令

，Tang（2006）研究了带有一致变化尾的负相伴随机变量和的精致大偏差，Chenetal.（2007）和Liu（2007）把Tang（2006）的研究结果扩展到负相伴随机变量的随机和，它们各自具有一致变化尾.在本文中，我们研究多风险模型中的负相伴随机阵列部分和的精致大偏差.我们对一些已知的结论进行推广，发现在多风险模型中精致大偏差的渐近同样呈现负相伴结构.后面的章节安排如下：

在第二节中，我们介绍一些预备知识，主要的结果和证明将在第三章节给出，第四章将会给出一个应用程序的主要结果.

2预备知识

在这一章节，我们按照惯例用符号

以及

表示

显然，如果

，那么，对任意

.这在TangandYan（2002）中同样也可以看到.下面我们给出一些证明定理的引理，引理2.1是对Joag-Dev和Proschan（1983）的轻微调整.

引理2.1设

为一NA随机变量序列，

为

的任意一列两两不交子集.如果

为对每个分量不降（或不增）函数，

仍为NA序列，且对任意

，有

引理2.2设

是一列同分布的NA随机变量，共同发布

，期望为

，且

如果存在某

，使得

.则对任意给定的常数

，当

时，对

一致地有

对

一致成立，即

证明：

由于

为NA序列，根据定义，

同样是NA序列.由Tang（2006）的引理2.3得，对任意

，必存在某正常数

与C，使得对任意

有

.（2.1）

显而易见，对任意给定的

，则当

时，有

；

对于较大的x，

.在（2.1）中，利用条件

，我们得到

从而引理2.2证毕.

注1

（1）在引理2.2的证明中，对任意

，用

替换

时，

（2.2）

一致成立.

（2）设

是负相伴序列，且

满足定理2.2的条件.我们可以用数学归纳法证明，对任意

（2.3）

对所有

一致成立.事实上，对

和任意

，由引理2.1,引理2.2和负相伴性质，有

（2.4）

因此，（2.3）可以直接由（2.4）用归纳假设证出.

3主要结论及其证明

定理3.1设

为NA随机阵列，对任意

具有相同的分布

，有限期望为

，且满足

为任意给定的

个正整数，如果对任意的

，存在某

使得

.则对任意给定的

，对所有的

时，有

（3.1）

注2假定所有

是同分布函数，那么（3.1）可以推出Tang（2006）的定理1.1.特别的，如果我们已知

是非负随机变量序列，很容易可以验证定理3.1的条件一定成立.因此，（3.1）验证Liu（2007）的定理2.1.如果

是独立随机阵列，由（3.1）推出WangandWang（2007）的引理3.1.

证明我们用数学归纳法证明（3.1）.当

时，首先，显然有

.（3.2）

注意，对任意

，任意

.（3.3）

先估计

注意到，

.（3.4）

由Tang（2006）定理2.1得，对任意

.（3.5）

又

，则更有

成立，由引理2.2，对

一致的有，

.综合以上各式，对充分大的

（3.6）

一致成立.同理亦有对充分大的

一致成立.最后我们估计

，由于

为NA，则由WangandWang（2007）得，

（3.7）

注意到

是NA，

也是NA.因此，由Tang（2006）的引理2.1和（3.11）得，

（3.8）

联合（3.3）-（3.8）得，当

一致地有，

此外，令

，我们得到（3.2）.

下面，我们再证

.（3.9）

任意给定

，由NA性质、引理2.1和Tang（2006）的定理2.1,有，

（3.10）

从而（3.9）成立.这样（3.1）对

时成立.

假定（3.1）对

时成立，下面往证结果对k时也成立.我们采用类似（3.3）的分解法，可得到

由NA性质，注1和归纳假设得，

.（3.12）

另一方面，利用归纳假设表明，

（3.13）

结合（3.12）（3.13），定理证明成立.

定理3.2设

为一负相伴随机阵列，对

，具有相同的分布

，如果对任意的

.再令

为一列相互独立的非负正整数值计数过程

与

相互独立.如果

满足：

对任意

，均存在

时，使得

.（3.14）

则对任意固定的

（3.15）

注3如果假定所有的

为同一分布，则由（3.15）可推出Chen和Zhang定理1.2.特别地，如果我们假定

是非负随机变量序列，可以很轻易的看出满足定理3.2的条件.所以，（3.15）验证了Liu（2007）定理2.2.如果假定

是一列相互独立的序列，可由（3.15）证出Wang和Wang（2007）的定理4.1.

证明我们仍然采用数学归纳法证明本定理的结论，其证明思路与定理3.1完全相同，为简洁起见，这里我们只证明

情形.为此，我们首先证

.（3.16）

同理，对任意

（3.17）

.（3.18）

由Chen和Zhang（2007）的定理1.2易知

.（3.19）

现在对任意

，令

（3.20）

首先，运用引理2.2，我们得到

（3.21）

现在我们估计

为简单起见，我们声明在下文中

属于

.事实上，对任意

，用Tchebychef不等式，我们可得出

.（3.22）

由Tang（2006）引理2.1中的

，最后一个等式成立.联合（3.18）-（3,22）得，对任意

都有

.（3.23）

同理可得

.最后我们估计

，类比（3.7）我们易得

（3.24）

相互独立以及

为NA序列，由引理2.1，Chen和Zhang（2007）以及（3.24）可得，

.（3.25）

所以，用（3.23）-（3.25），令

，对任意充分大的t，

，由

证出（3.16）

另一方面，我们再证明

.（3.26）

注意到对任意

并利用NA性质和（3.10）相同的方法，当

（3.27）

这样我们得到（3.26）.

联合（3.16）（3.26）（3.15）定理对

时成立.定理3.2证明完毕.

4应用

本节我们给出一个例子对本章主要结果加以应用.假定某保险公司经营着两个不同险种，而与第一个险种对应的索赔额记为

，为一列独立同分布的非负随机变量，共同分布为

.若该索赔到来的时刻

为一更新过程

其中对任意

为一列Bernoulli随机变量序列（即

服从两点分布），且

的期望为q，其中

，q表示第j个索赔到来的概率.假定与公司第二个险种相应的索赔额为

，为另外一列独立同分布的非负随机变量，共同分布为

为一Cox过程，其中

为由一列独立同分布的非负随机变量序列

生成的更新过程，且满足

为另一个右连续的非降的随机过程，且满足

.若

相互独立，对任意

.假定上述随机变量序列

相互独立，

为NA序列，则可以看出到t时刻时公司的累计索赔额为

（4.1）

这里我们假定公司同时经营着两种不同的险种，因此该模型是Denuit等（2002）与Ng（2004）所研究的一维风险模型的推广.这里我们假设随机过程

满足，对任意

，且当

，对任意

，存在

使得，

记

，则

表示在

时刻内发生索赔的真实次数.易见

，以及

.因此（4.1）式可以被重新改写为

用和Wang等（2007）中第五节相同的方法和定理3.2，我们得到，当

，及

参考文献

[1]Alem,K.andS