几何第01讲几何的有名定理Word文档格式.docx
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例2.设△ABC的∠A的外角平分线与∠B的延长线交于P,B的平分线与A交于Q,C的平分线和AB交于R(图15-7).求证P、Q、R三点共线.
分析要证P、Q、R三点共线,只需证明,利用三角形内角及外角平分线的性质不难得到.
例3.莱莫恩(Lemoine)线
如图,过△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线,分别和BC、CA、AB的延线交于P、Q、R.求证P、Q、R三点共线.
分析欲证P、Q、R三点共线,只须证明
证明因AP为圆的切线,所以△ACP∽△ABP,从而有
两式相乘得
同理可得
由梅涅劳斯定理的逆定理得,P、Q、R三点共线,
例4.戴沙格(Desargues)定理设△ABC和△A’B’C’对应顶点的连线AA’,BB’,CC’交于一点S,这时如果对应边BC和B’C’、CA和C’A’、AB和A’B’(或它们的延长线)相交,则它们的交点D、E、F在同一直线上.
分析由于D、E、F三点分别在△ABC三边延长线上,要证三点共线,只须证明
注意图中多个三角形被多条直线所截;
反复利用梅涅劳斯定理,即可得证.
证明因直线FA’B’截△SAB,由梅涅劳斯定理,有
同理,直线BCA截△SAC,有直线DC’B’截△SBC,有
三式相乘,得,由梅涅劳斯定理逆定理,D、E、F三点共线.
注戴沙格定理是射影几何中的一个重要定理.
例5.牛顿(Newton)线
设四边形ABCD的一组对边AB和CD的延长线交于点E,另一组对边AD和B的延长线交于F,则AC中点L、BD中点M及EF中点N三点共线.
分析为了证明L、M、N共线,可考虑L、M、N三点是否分别在一个三角形的边或延长线上.由它们分别是AC、BD、E的中点,设△EBC三边中点为P、R、Q,则显然有M在P上,L在R上,N在P延长线上.再利用梅涅劳斯定理不难得到证明.
证明设P、R、Q分别为EB、BC、CE中点,因为L、Q、R分别是CA、CE,CB的中点,所以它们在同一直线上,且有
同理,M、R、P三点在同一直线上,且
N、P、Q三点在同一直线上,且
三式相乘得
但因直线AD切割△EBC由梅涅劳斯定理,有
因L、M、N三点分别在△PQ三边或其延长线上,故由梅涅劳斯定
理逆定理,L、M、N三点共线,
注直线LMN叫做四边形ABCD的牛顿线。
例6.若在直角△ABC中,CK是斜边上的高.CE是∠ACK的平分线,E点在AK上,D是AC的中点,F是DE与CK的交点,则BF∥CE.
证在△EBC中,作的平分线BH.
即
从而可知△EBC为等腰三角形.
作腰BC上的高EP,则CK=EP.
把梅涅劳斯定理用于△ACK和三点D、E、F,则得
于是即
利用分比定理得从而故得
例7.(1996年全国高中数学联赛题)
如图,圆O1和圆O2与∆ABC的三边所在的三条直线都相切,E、F、G、H为切点,并且EG,FH的延长线交于P点,求证直线PA与BC垂直.
分析:
要证PA⊥BC只要证明PA∥O1E
证明:
延长PA交EF于D,直线PGE与△ADC的三边延长线都相交,直线PHF与△ABD的三边延长线都相交,由梅尼劳斯定理,,,∵HB=BF,EC=CG,∴
连接O1G,O1E,O1A,O2A,O2H,O2F,则O1、A、O2三点共线,以及O1E⊥EF,O2F⊥EF,∴O1EFO2为直角梯形,又△O1AG∽△O2AH,∴,∴AD∥O1E,故AD⊥EF即PA⊥EF.
课外练习题
1.设平行四边形ABCD内一点E,过E引AB的平行线与AD、BC交于K、G.过E引AD的平行线与AB、CD交于F、H,则FK、BD、GH互相平行或交于一点.
证明.设BD与FK交点为O.
∵OKF截△ABD,
∴G、H、O在同一直线上,即FK,BD,GH交于一点。
2.一条直线与三角形三边或其延长线交于L、M、N三点,若L’、M’、N’点与L、M、N关于三边的中点对称,求证L’、M’、N’三点也共线.
证明.由梅涅劳斯定理有
又由于M’、N’、L’分别与M、N、L关于三边中点对称,所以AN’=BN,BN'
=AN,BL’=CL,CL’=BL,AM'
=CM,CM’=AM。
代入上式得∴L’、M’、L’三点共线.
3.设四边形,ABCD外切于⊙O.切点分别为E、F、G、H,则HE、DB、GF交于一点(或GH、CA、EF交于一点).
证明.设HE与BD交于M’,则HEM'
截△ABD,∴
又设GF与DB交于M,则
由上两式得,∴M’、M重合.
4.从点K引四条直线,另两条直线分别交这四条直线于A、B、C、D和A1,B1,C1,D1,
试证:
5.设不等腰△ABC的内切圆在三边BC、CA、AB上的切点分别为D、E、F,则EF与BC,FD与CA,DE与AB的交点X、Y、Z在同一条直线上;
6.已知直线AA1,BB1,CC1相交于D,直线AB和A1B1的交点为C2,直线BC与B1C1的交点是A2,直线AC与A1C1的交点是B2,试证:
A2、B2、C2三点共线;
7.△ABC的内切圆分别切三边BC,CA,AB于点D,E,F,点X是△ABC的一个内点,△XBC的内切圆也在D点与BC边相切,并与CX,XB分别相切于点Y,Z.证明:
EFZY是圆内接四边形.
分析:
若BC与EF交于P,且DE·
PF=PY·
PZ,则本题获证.
略证:
如果EF∥BC,则AB=AC,AD是EFZY的对称轴,因而
如果EF不平行于BC,可假定BC与EF的延长线相交于P,由梅涅劳斯定理,有
由圆幂定理,有,
由梅涅劳斯定理的逆定理,知P,Y,Z三点共线,于是,PE·
PF=PD2=PY·
PZ.所以,EFZY是圆内接四边形.
评述:
本题证明除应用了梅涅劳斯定理及其逆定理,还多次应用了圆幂定理。
二塞瓦(Ceva)定理
G·
Ceva(1647年~1743年),意大利著名数学家.
塞瓦定理设S为△ABC边所在直线外一点,连接AS、BS、CS分别和△ABC之边或三边延长线交于P、Q、R,则
塞瓦定理逆定理设P、Q、R为△ABC的三边或其延长线上的三点(P、Q、R都在三边上或只有其中之一在边上),如果有则三直线AP、BQ、CR交于一点或互相平行.
例1.△ABC中,内切圆⊙O与各边BC、CA、AB相切于D、E、F,求证AD、BE、CF交于一点.
由巳知有BD=BF,CD=CE,AE=AF,
∴AD,BE,CF三线共点。
例2.证明:
锐角三角形的高交于一点。
例3.已知AD是△ABC的边B上的高,P为AD上任意一点,直线BP、CP分别交AC、AB于E、F.
求证∠FDA=∠ADE.
过A作BC的平行线交DF、DE的延长线于F’、E’.
由塞瓦定理有
而
代入上式得AF’=AE’.
例4.设A’、B’、C’分别为△ABC三边B’C’,C’A’,A’B’的中点,P为△A’B’CC内一点,A’P、B'
P、C'
P分别交B’C’、C’A’、A’B.于L、M、N,求证:
AL,BM,CN三线共点
分析要由一组三线共点推出另一组三线共点,考虑到A’、B’、C’分别为△ABC三边的中点,不难利用塞瓦定理得到证明.
证明∵AL、BM、CN三线共点,
设AL、BM、CN分别交BC、CA、AB于点L’、M’、N’,
∵BC、分别为AC、AB的中点,
同理
由塞瓦定理的逆定理,AL’、BM’、CN’三线共点,即AL、BM、CN三线共点.
例5如图,设P是△ABC内一点,AP、BP、CP分别与边BA、CA、AB交于D、E、F,过D、E、F三点作圆,与三边又交于D’、E’、F’.求证AD’、BE’、CF'
三线交一点.
分析要证AD'
、BE’、CF'
三线共点,考虑到AD、BE、CF三线共点.显然可利用塞瓦定理.又考虑到D、E、F、D’、E’、F’六点共圆,因此可利用圆幂定理将等式转换.
证明AD,BE、CF三线共点,由塞瓦定理得但D、E、F和D’,E’、F’共圆,所以
三式相乘得:
即因
所以
由塞瓦定理逆定理可知,AD'
、BE、CF'
共点,
注由本题可知,一个圆周与△ABC交于六点D、D、E、E、F、F,若
AD,BE,CF三线交于一点,则AD’、BE'
、CF’也相交于一点.
例6.在锐角三角形ABC中,∠C的平分线交AB于L,从L作边AC和BC的垂线,垂足分别是M和N,AN和BM交于P,证明:
CP⊥AB.
证明作于Q
因为LM⊥AC,LN⊥BC,所以五点共圆,
所以AM·
AC=AL·
AQ,BN·
BC=BQ·
BL,
又由CL平分∠ACB得,,所以即
于是,所以CM=CN
故有
由塞瓦定理的逆定理得,AN,BM,CQ共点,故C,P,Q共线,从而CP⊥AB.
例7.以△ABC各边为底边向外作相似的等腰三角形BCE,CAF,AGB.求证AE,BF,CG相交于一点.
分析如图,要证AE、BF、DG三线共点,由塞瓦定理的逆定理,只需证即可,但是图中没有平行线,得不到比例关系,我们尝试通过三角形面积之比来转换,看能否得到要证的式子.
证明设三个相似等腰三角形的底角为,AE、BF、CG分别交BC,CA,AB于L、M、N,则
由塞瓦定理的逆定理,AE、BF、CG交于一点.
1.证明:
三角形的三条中线、三条角平分线交于一点。
证(略)
2.(2002年澳大利亚数学奥林匹克)
已知过三角形的一个顶点的直线将三角形分为两个小三角形,若这两个小三角形的周长相等,则称这条直线为“整分线”.证明:
△ABC的三条“整分线”交于一点.
证明设分别过顶点A、B、C的“整分线”与对边分别交于点A’、B’、C’;
设BC=a,CA=b,AB=c,又设BA'
=m,A‘C=n.由已知条件,有c+m+AA'
=b+n+AA'
又因为m+n=a,所以2m=a+b-c,2n=a+c-b
所以,同理
由塞瓦定理的逆定理得,AA'
、BB'
、CC’三线交于一点.
3.在△ABC的边BC上任取一点D,设∠ADB和∠ADC的角平分线分别交AB、AC于F和E,求证AD、BE、CF交于一点.
解.考虑到DF、DE分别是∠BDA和∠ADC的平分线,
∴AD、BE、CF三线共点.
4.在△ABC中,AM为BC边上的中线,AD为∠A的平分线,顶点B在AD上射影为E,BE交AM于N,求证DN//AB.
证延长AC与BE延长线交于F’,则△ABF为等腰三角形.延长EM交AB于L,则L为AB中点,在△ABE中由塞瓦定理,有
5.已知
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- 几何 01 有名 定理