第二章 二阶线性偏微分方程的分类汇编文档格式.docx

第二章 二阶线性偏微分方程的分类汇编文档格式.docx

《第二章 二阶线性偏微分方程的分类汇编文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二章 二阶线性偏微分方程的分类汇编文档格式.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

用抛物型方程的标准形式

先算出：

∴

即

方法二：

应用特征方程，作自变量变换，求出

代入原方程得，

（2），

因为，所以该方程是双曲型的其特征方程为

，

特征线为和。

故可令，，在双曲型方程的标准型式，

中，先算出，

（3）

所以该方程是椭圆型的，其特征方程为

特征线为：

和，

故可令

为计算方便，又令

在椭圆型方程的标准形式：

改变自变量、的记号为、，则

（4）

（i）如，则，该方程为双曲型。

其特征方程为：

，和

其特征线为：

和

故可令：

在双曲型方程的标准形式

中，先算出

所以原方程化为

（ii）如，则，该方程为椭圆型。

其特征方程为

特征线为

为方便计，又令

，或

则

，,,

原方程为

把符号换成，就有。

（5）。

，所以特征方程为。

（i）如，则，所以方程是双曲型的。

特征线：

或改写为及

令

，

（1）

，

（2）

，，

（3）

将

（1）减

（2）式得

代入（3）就代成标准形

（ii）如，则，则，

则此方程为椭圆型。

特征方程为：

令，

则，，

方程为

（6）。

故方程是椭圆型，

特征方程：

则有

原方程变为

（7）。

，故方程为双曲型。

，。

令，

（1）

则，

，

方程成为

（1）+

（2）有

代入

（1）由

2．简化下列常系数方程：

（1）。

试作函数变换，其中和是待定常数，于是

以此代入原方程，约去公共因子后得：

令，，即，则一阶偏导数和的项消去，方程简化为：

（2）

与

（1）题一样，试作函数变换，并以，，，及代入原方程，约去公共因子后得：

如令则项被消去，如要项也被消去，则必须

即，即，即该常微分方程简化为

作函数变换，并以，，及代入原方程，约去公共因子后得

如令，则项消失；

如要项也消去，则必须，即才可能。

所以，作出函数变换后，方程简化为

（4）。

作函数变换，并以，，及代入原方程，约去公共因子后得：

如令，，即则方程简化为

（5）

如直接作函数变换，该方程不能化简，所以，必须先作自变量的变换先消去项，然后再作函数变换，消去，项才行。

（i）因为，该方程为椭圆型，其特征方程是：

即和

令，，，

则，

即。

（ii）对上式作进一步化简，令，

取，代入上式，则原方程简化为：

其中，

代回原来变量

∴