高级微观经济学期末复习汇编Word文档下载推荐.docx
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s.t.
1.求瓦尔拉斯需求函数
(1)建立拉格朗日函数
(2)求极值一阶条件
(a)
(b)
(c)
由(a)和(b)整理得:
(3)瓦尔拉斯需求函数
分别将,代入预算约束(c),有
2.求间接效用函数
将瓦尔拉斯需求函数代入目标函数,有
3.求支出函数
由间接效用函数,求反函数得:
4.求希克斯需求函数
法一:
将支出函数
代入瓦尔拉斯需求函数,得到
法二:
根据谢伯特引理,对支出函数对价格求导,也可得到希克斯需求函数。
5.求货币度量的效用函数
(1)货币度量的直接效用函数
由,有
(2)货币度量的间接效用函数
6.下标0表示征税前,下标1表示征收消费税后。
,,
,
等价变化分析:
按照征税前的价格计算的,消费者对征收消费税前后所获得效用的变化:
商品税与收入税对消费者的福利之差为:
表明商品税对消费者的福利影响更差。
补偿变化分析:
按照征税后的价格计算的,消费者对征收消费税前后所获得效用的变化:
=0.1213
2.D.3设xB,xB,[0,1].
令x=x+(1-)x,因为x是一个凸集,所以xX.
故pۤۤۤۤ∙x=(p∙x)+(1-)(p∙x)≤w+(1-)w=w
因此,xB.
2.E.5因为x(p,w)对w是一次齐次的,所以对任意>
0有x(p,w)=x(p,w).
因此,x(p,w)=x(p,1)w.
因为当k≠l时,(p,1)/=(p)/=0
所以x(p,1)只是关于p的函数,即可记为x(p,w)=x(p).
又因为x(p,w)满足零次齐次性,所以x(p)必定是p的-1次方。
因此,存在〉0时,使x(p)=/p.
根据瓦尔拉斯定律,∑p(/p)w=w∑=w.
因此有∑=1是个常数.
解:
2.F.3(a)若100∙120+100y≤100∙100+100∙100且100∙100+80∙100≤100∙120+80y
即,y∈[75,80]时,他的行为与弱公理矛盾.
(b)若100∙120+100y≤100∙100+100∙100且100∙100+80∙100>
100∙120+80y
即,y<
75时,消费者在第1年的消费束显示出优于第2年的消费束.
(c)若100∙120+100y>
100∙100+100∙100且100∙100+80∙100≤100∙120+80y
即,y>
80时,消费者在第2年的消费束显示出优于第1年的消费束.
(注:
b,c假定弱公理成立)
(d)无论y取何值,都有充分的信息来断定a,b,c中有一个成立
(e)当y<
75时,商品1是劣等品.
100∙120+100y≤100∙100+100∙100且100∙100+80∙100>
因此第2年的实际收入水平低于第1年的实际收入水平,同时商品1的相对价格上升.但是,因为y<
75<
100,商品2的需求量下降,这意味着商品1的收入效应是负的.故商品1(在某一价格上)是劣等品.
(f)当80<
y<
100时,商品2是劣等品.
100∙120+100y>
因此第2年的实际收入水平高于第1年的实际收入水平,同时商品2的相对价格下降.但是,因为y<
100,商品2的需求量下降,这意味着商品2的收入效应是负的.故商品2(在某一价格上)是劣等品.
3.D.6(a)令(x)=u(x)=(x-b)(x-b)(x-b),
其中,,
因为函数u→u是单调变换,
因此,,(•)与u(•)代表相同的效用水平.
因而我们可以不失一般性的假定.
(b)对已给出的效用函数进行另一种形式的单调变换:
lnu(x)=ln(x-b)+ln(x-b)+ln(x-b).
根据UMP的一阶条件得出瓦尔拉斯需求函数:
x(p,w)=(b,b,b)+(w-p∙b)(/p,,)
其中p∙b=
将此需求函数代入u(•),得到间接效用函数:
v(p,w)=(w-p∙b)
(本题(a)中验证3.E.2和3.E.3不用作。
)
3.G.3(a)假设.对于效用函数:
lnu(x)=ln(x-b)+ln(x-b)+ln(x-b).
根据EMP一阶条件得:
h(p,u)=(b,b,b)+u
将此函数代入p∙h(p,u),得到支出函数:
e(p,u)=p∙b+u.其中,p∙b=.
(b)对(a)中求出的支出函数求导,通过与h(p,u)比较,可得到支出函数的导数即为(a)中所求出的希克斯需求函数。
(c)根据(b)可得,Dh(p,u)=De(p,u).
将a中的支出函数对p求二阶导数,得到
=
在3.D.6中,我们得到x(p,w)=(b,b,b)+(w-p∙b)(/p,,)
于是,Dx(p,w)=(/p,,)
Dx(p,w)=-(w-p∙b)(b,b,b)
根据以上结果,我们可验证斯拉茨基方程成立.
(d)根据Dh(p,u)=De(p,u)以及De(p,u)即得。
(e)根据=Dh(p,u)=De(p,u),
我们可得出De(p,u)是半负定的,并且秩为2。
3.G.6(a)根据瓦尔拉斯定律,可得到:
x=(w--)/
(b)是齐次的。
对于任意,有:
100-5++=100-5++,
=.
(c)因为斯拉茨基替代矩阵具有对称性,则有:
=
因此,代入=1,整理得:
因为该方程对于所有和w都成立,则有,
=,=-5,
得,
由于斯拉茨基矩阵的对角线上的所有元素均为非正的,则得到:
=0
代入=1,对角线上的第一个元素为:
-5+
若≠0,则〉0,就可找到一组值使得上式〉0.故得:
所以,=.
(d)因为对于任意价格,=,所以消费者的无差异曲线呈L型,拐点在坐标轴的对角线上,如下图。
(e)根据d的结论,对于固定的,商品1和2的偏好可由表示,商品1和2的需求也无收入效应。
因此得到:
=+或是该形式的单调变换。
3.I.7(a)根据瓦尔拉斯定律和零次齐次性,可得到三种商品的需求函数的定义域都是。
于是我们可以从需求函数中得到一个33的斯拉茨基矩阵。
将该斯拉茨基矩阵的最后一行与最后一列去掉,可得到一个22的子矩阵,为.
根据瓦尔拉斯定律和齐次性,当且仅当22的子矩阵对称时,33的斯拉茨基矩阵也对称。
同样,可得当且仅当22的子矩阵为半负定矩阵时,33的斯拉茨基矩阵也是半负定矩阵。
因此,效用最大化所蕴含的参数限制为:
c=e,b≤0,g≤0,且bg-c≥0.
(b)首先,证明前两种商品相应的希克斯需求函数与效用水平无关,仅是前两种商品价格的函数,它等于已给出的瓦尔拉斯需求函数。
=,=l=1,2
因为与收入无关,=
因此=。
故,与效用水平无关,它等于已给出的瓦尔拉斯需求函数。
若价格变化是遵循路径:
→→,则等价变化为:
+=+
=+
当且仅当c=e时,以上两种等价变化相等。
(c)由以上可知:
==a+(3/2)b+c
==d+e+(3/2)g=d+c+(3/2)g
=(a+(3/2)b+c)+(d+2e+(3/2)g)=a+(3/2)b+3c+d+(3/2)g
因此,-(+)=c
与之和不包括由于第二种商品的价格上升到2引起的图中需求函数的移动进而引起的等价变化的效应(同样也可指不包括第一种商品的价格上升到2引起的图中需求函数的移动进而引起的等价变化的效应)。
从图中看出,当c=e〉0,包括ABCD区域,但+不包括。
(d)因为=a+2b+c,第一种商品的税收收入与它相等,
因此,=(a+(3/2)b+c)-(a+2b+c)=-b/2
因为=d+e+2g,第二种商品的税收收入与它相等,
因此,=(d+e+(3/2)g)-(d+e+2g)=-g/2
因为=a+2b+2c,=d+2e+2g,两种商品的税收收入为:
(a+2b+2c)+(d+2e+2g)=a+2b+4c+d+2g
因此,=(a+(3/2)b+3c+d+(3/2)g)-(a+2b+4c+d+2g)=-b/2-c-g/2
故,-(+)=-c
(e)问题可以转化为:
s.t.≥R
其中,=-
=--
建立拉格朗日函数:
=+(R-)
对求一阶导数:
-=0
但是,由于/=
所以=/-
-
=-
因此一阶条件可以写为:
+=0l=1,2
又因为R=,
则-==
(a+b+c)+(d+c+g)=R
第二部分:
厂商理论
一、厂商的生产函数,求其要素需求函数和条件要素需求函数
(1)
(2)
二、产商的生产函数,求其成本函数和利润函数
将要素需求函数带入利润函数表达式就得到利润函数,将条件要素需求函数带入成本函数表达式就得到成本函数
三、产商的生产函数,
(1)用三种方法求其供给函数
(2)假定生产要素2固定为k,再重新求其供给函数。
(1)方法一:
由利润函数求解供给函数
方法二:
由生产函数求解供给函数
方法三:
由成本函数求解供给函数(注意:
是利润最大化条件)
(2)同样的三种办法
四、厂商利润最大化条件、成本最小化的意义及应用边界
五、分析生产集的性质
六、阐述欧拉方程和克拉克分配定理的理论意义和现实意义。
七、证明利润函数是价格的凸函数。
第三部分不确定性选择
一、一决策者的效用函数为,初始财富160000,5%损失70000,5%损失120000,问其愿意支付的最大保险金额多大?
如果保险公司不承担损失中的7620,其愿意支付的最大保险金额又多大?
用确定性等值,
(1)
(2)
二*、期望效用函数的存在性证明
三、写出并证明绝对和相对风险系数不变的效用函数。
四、简要分析保险需求理论的基本框架。
五、简要分析资产组合理论的基本框架
六、假定个人具有效用函数,
(1)计算当财富水平时的绝对和相对风险规避系数。
(2)计算彩票的确定性等价和风险溢价(3)计算彩票的确定性等价和风险溢价。
将这一结果与
(2)比较,并解释。
对同一个人,不同财富水
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