23运动方程的解法文档格式.docx
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拉式变换的特点是:
把时域变为复频域,线形微分方程变成代数方程,求出代数方程的解,并用逆变换求出时域解。
方法简单。
拉式变换的基本定理
L[cft]=cFS1C是常数
Lfitf2t丄FisF2s
常用拉式变换
1
Lit
s
LSint丨=2
s+co
XL丄
s+a
例9-4用拉式变换求解下列微分方程
dii=100dt
已知i0=0。
解对方程两边进行拉式变换
SiSIS=100s
100100100故Is=
s(1+s)ss+1
取拉式反变换,即得Is为it=1001-e」
传递函数简单机电系统常有一个输入端口和一个输出端口,
如图9-4
设输入量的拉式变换为Xs,输出量的拉式变换为Ys则输出
与输入的拉式变
之比成为系统的传函。
用Gs表示。
即Gs二工旦,式中初始
X(s)
条件为零。
时域传递函数令P=—,丄二dt,并以微分方程导出系统的dtp
输出与输入之比,则可以得到时域传递函数gP(用于模拟计算
机求解)
例2如下图道出电路传函
鬧4石例95的电嘉
根据基式电压定律和电容性质有
uitALpiRi丄i
Cp
u2t£
故时域的传递函数gP=計SJ
若取u1t和u2t的拉式变换,令初始条件为零,则
故频域传函为Gs二焉LCs2ks1
gP和Gs形式相同,含义不同。
gp为微分算子的函数,是时
dt
域函数,而Gs是s的函数,是频域的传函,需要反变换来求时域解。
框图框图是方程的图示描述。
等效变换的规则:
求和点不能与分离点交叉换位,求和点与求和点可以互换,分离点与分离点可以互换
例3求例2的方框图
-J1
6小
1j*a}ttcs+i
图g
0所示电路妁莊圏及其简化’
机电等效电路
用等效的纯电路代表一个机电系统。
根据微分方程的类比关系,可以用相应的电路元件来表示,这种电路就称为机电等效电路。
例3下图表示一个包含有弹簧,质量,和阻尼的机械系统,弱作用在质量M上的外力为f,弹簧弹性系数为k,阻力系数为Rv,求该系统的机电等效电路。
运动方程为M筲RvdXf
dt2dtk
再看下图的运动方程为Ldv-Rdq•丄q=u
dt2dtC
对比系数可得机电等效关系f--u,x--q,Rv--R,M--L,--~~,kC
即该电路为机电等效电路。
[^9-12张窝一瓚慌系统的等竝也辭
d)系嫌示就圉b>系统的容枚电踏
频率特性
线性系统频率特性指系统的输入端口加以随时间正弦变化的驱动力
时,该系统在稳定状态时的频率响应,即不同频率下的输出与输入之比。
把传函中的s变为j■即得到频率特性。
仍以例2为例其频率特性为
LCj■2RCj-11-2LCjRC
可画出其幅频特性和相频特性。
对于变系数线性微分方程可以通过坐标变换化为常系数线性微分方程。
非线性系统的解法
可用数字计算机或模拟计算机求解,也可以将微增运动线性化。
下面
讲微增运动线性化以下图为例
閱H16单边激励的陛型机电系统
图示为单边激励的电磁铁系统,该电磁铁电源为u,线圈电阻为R,自感为Lx,作用在轭铁上的电磁力为fm轭铁质量为M,弹簧弹性系数为K,弹簧的初始条件X0,轭铁运动是机械阻尼为Rv,该电磁铁运
动方程为
d2xdx1『
fm=M牙RvX-Xo
dtdtK
1.2dLi
2dx
现设电磁铁围绕某一平衡点O作为小的增量变化
^UoUi,i=1°
•h,x•Xi式中Uo,Io,Xo为平衡点的外加直流电压,直流电流,和位移。
Ui,ii,xi为微增变量。
在平衡点O处有U。
二RI。
ci〜xi,2'
dL"
0=—(Xo_x())Io
K2idx丿X#
上式把A式与B式对应相减并考虑到微增运动时ui,ii,xi很小时,忽略
其平方项得
22
iIo21oh
再忽略i1,x-,论匹等微小的项目,可得
式,式中
X=Xo;
Lo=LXo为平衡点的电感。
di1dX1
再用Ko=Io!
牛X二Xo和K二K-S带入C式,贝y得到
u1=i1R|Lo-K
dtvdt
Koi-=M^^-RvdX-KX-
dt2dt
上式
式就是围绕平衡点O作
微增运动时,电磁铁的运动方程。
不难看出,由于忽略了为增量的平
方项和乘积项,所以D式是线性微分方程组。
D式中Ko晋是微增运
动所引起的运动电动势,用Umi表示则
由E式可知
带入D式第二式,可得
状态方程法
用于线性或在运行点线性化的运动方程,以矩阵形式表示
y=Ay•Bv,该方程称为机电系统的状态方程。
两边进行拉式变换
sYs—yO=AYsBVs,y0是由y的初始值所构成的列向量,y是状态变量。
贝SYsAbl-AFy0Isl-AFBVs二Gsy0亠尬isBVs
式中门s称为状态转移矩阵,Gs-Isl-aF,
则通过逆变换求出y。
例已知机电系统运动方程为
-2*-^it,式中二为角位移,i为外加电源。
设系统初始条件为零,it为单位阶跃函数,用状态方程法求解。
解设yi=“,y2二yi,则上述方程为yi=y2
y2_-5y--2y2-i
于是^=s|-A^s22s^-5
y0"
,Vs—故Ys」sBV—ss22s5「5s_1
2?
!
ss2■2s'
^{s
故Y-^ss22s5
s22s5
同理可以求出y?
t。
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