数列的递推公式选学教案Word格式.docx
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教学难点:
利用数列的递推公式和首项,猜想该数列的通项公式.
课时安排
课时
教学过程
导入新课
思路1.让学生观察章头图中左图兔子的繁殖情况.假设每次生出的小兔子都是一雄一雌,并且排除兔子发生死亡的情况,这样每个月兔子的对数,依次可以排成一个数列,你能把这个数列的每一项用前一项表示出来吗?
由此展开新课的探究.
思路2.我们知道数列1,2,3,4,…可用通项公式an=n表示.容易发现,这个数列从第2项起的任一项都可用它的前一项表示出来,即an=an-1+1,这就是数列的另一种表示方法,也就是今天我们探究的主要内容:
递推公式.由此展开探究.
推进新课
新知探究
提出问题
多媒体演示图1,是工厂生产的钢管堆放示意图,你能写出它的一个通项公式吗?
你能找出它的相邻两层之间的关系吗?
数列{an}的通项公式是an=2n.从第2项起,它的任一项与它相邻的前一项有什么关系?
章头数列3,1coscoscos…从第2项起,它的任一项与它相邻的前一项有什么关系呢?
怎样理解递推公式?
若已知数列an=2an-1+1,你能写出这个数列吗?
为什么?
活动:
教师用多媒体演示工厂生产的钢管堆放示意图.引导学生观察钢管堆放示意图,寻其规律,看看能否建立它的一些数学模型.由学生合作探究,必要时教师给予点拨.
模型一:
自上而下
第1层钢管数为4,即14=1+3;
第2层钢管数为5,即25=2+3;
第3层钢管数为6,即36=3+3;
第4层钢管数为7,即47=4+3;
第5层钢管数为8,即58=5+3;
第6层钢管数为9,即69=6+3;
第7层钢管数为10,即710=7+3.
若用an表示钢管数,n表示层数,则可得出每一层的钢管数为一数列,且an=n+3.
模型二:
上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1,
即a1=4;
a2=5=4+1=a1+1;
a3=6=5+1=a2+1.
依此类推:
an=an-1+1.
在教师的引导点拨下,学生最终能得到以上两种数学模型,教师适时给以点评.首先表扬学生的这种探究问题的精神,不怕困难敢于钻研,而且推得两个很重要的结论.对于推得的an=n+3,只要将n的具体值代入,我们就会很快地求出某一层的钢管数.因为这一关系反映了每一层的钢管数与其层数之间的对应规律,这会给我们的统计与计算带来很大方便,这是由特殊到一般的数学思想方法的运用,是非常正确和成功的.对于推得an=an-1+1的同学就更值得表扬,因为这是我们没有见过的,这就是创新,这就是聪明智慧的闪现.这个关系式说明:
只要知道a1,则以后的每一项都等于它的前项加1,这样就可以求出第二项,以此类推即可求出其他项.这就是我们今天要探究的一个重点内容,也就是数列的另一种表示法,递推公式法.我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式.递推公式很重要,显然教材上涉及的内容不多,但在每年的高考卷上都有所体现,应引起注意.下一节要学习的等差数列就是最简单的递推数列.
引导学生给递推公式这样下定义:
通过给出数列的第一项,并给出数列的某一项与它的前一项的关系式来表示数列,这种表示数列的式子叫做这个数列的递推公式.
注意:
递推公式也是给出数列的一种方法.如下列数字排列的一个数列:
3,5,8,13,21,34,55,89,递推公式为a1=3,a2=5,an=an-1+an-2.掌握递推公式的关键一点是把握其中的递推关系,应特别注意探究和发现递推关系中前项和后项,或前、后几项之间的关系.
有了以上探究活动,学生很容易探究出问题,至此,学生对数列的表示方法有了全面的理解,为数列的后续内容的学习打下了坚实的基础.
讨论结果:
略
a1=2,an=2an-1;
数列3,a1=1,an=cos.
递推公式包括已知的第1项才能写出这个数列的后续各项.前者是递推的基础,后者是递推的延续.因此仅知an=2an-1+1无法写出这个数列的各项.
应用示例
例1已知a1=2,an+1=2an,写出前5项,并猜想an.
根据a1=2及an+1=2an,学生很容易求出前5项,分别是2,4,8,16,32.由观察可猜想an=2n,这种解法在选择题或填空题中是非常有效的,但若改为求an,这种解法则是不完整的.
由anan-1=2,可得到以下解法:
anan-1×
an-1an-2×
an-2an-3×
…×
a2a1=ana1=2n-1,
∴an=2n.
解:
∵a1=2,an+1=2an,
∴a2=2×
a1=4,
a3=2×
a2=8,
a4=2×
a3=16,
a5=2×
a4=32.
∵a2=2×
2=22,a3=2×
22=23,a4=16=24,
∴猜想an=2n.
变式训练
已知a1=2,an+1=an-4,求an.
由an+1-an=-4依次向下写,一直到第一项,然后将它们加起来,
an-an-1=-4
an-1-an-2=-4
an-2-an-3=-4
……
+&
#61481;
a2-a1=-4 an-a1=-4&
#61480;
n-1&
∴an=2-4.
例2
本例由学生自己完成,并通过本例边注中的提问,让学生进一步体会数列两种表示方法的特色,用递推公式写出数列的前几项后,引导学生观察、归纳并猜想该数列的通项公式,虽有一定难度,但学生应有这个能力.教师可引导学生分析,如果不代入a1的值,由依次计算的结果可能更容易看到an与n的函数关系:
a2=a11-a1;
a3=a11-2a1,a4=a11-3a1,a5=a11-4a1,…,an=a11-&
&
#8226;
a1=23-2n.
已知数列{an}的递推公式是an+2=3an+1-2an,且a1=1,a2=3.
求:
a5;
127是这个数列中的第几项?
∵a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an,
∴a3=3a2-2a1=7,
a4=3a3-2a2=15,
a5=3a4-2a3=31.
由递推公式,可得a6=3a5-2a4=63,a7=3a6-2a5=127,
∴127是此数列的第7项.
例3
本例为数列这一大节的最后一个教材例题,具有一定的综合性,难度较大.要求学生有较坚实的数形结合基础和解题能力.这种解题的综合能力,要努力去训练,学生才能掌握.具体讲解时,可把P1,P2,P3的坐标都写出来让学生观察发现an与an+1间的关系.
在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,则an等于
A.2+lnn
B.2+lnn
c.2+nlnn
D.1+n+lnn
答案:
A
解析:
方法一,由a2=a1+ln2=2+ln2,排除c、D;
由a3=a2+ln=2+ln3,排除B.故选A.
方法二,由已知,an+1-an=lnn+1n,a1=2,
∴an-an-1=lnnn-1,an-1-an-2=lnn-1n-2,
…
a2-a1=ln21,
将以上n-1个式子累加得
an-a1=lnnn-1+lnn-1n-2+…+ln21
=ln=lnn,
∴an=2+lnn.
例4如图甲是第七届国际数学教育大会的会徽,会徽的主体图案是由如图乙所示的一连串直角三角形演化而成,其中oA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,记oA1,oA2,oA3,…,oA7,oA8的长度所在的数列为{ln}.
甲
乙
写出数列的前4项;
写出数列{ln}的一个递推关系式;
求{ln}的通项公式;
如果把图中的三角形继续作下去,那么oA9,oAXX的长度分别是多少?
本例虽然题干看起来很繁杂,但难度并不大,可让学生独立探究解决,学生充分理解题意后会很快完成第问,关于递推公式,教师可点拨学生递推公式的关键是递推关系,也就是前项和后项的关系,这是递推公式的核心所在.教师可借此进一步向学生点拨:
①数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的,如果只有递推关系而无初始值,那么这个数列是不能确定的.
②递推公式是给出数列的一种方法,由递推公式可能求出数列的通项公式,也可能求不出通项公式.
l1=oA1=1,l2=oA2=2,l3=oA3=3,l4=oA4=2.
通过观察图形,可知:
oAn+1,oAn,1组成直角三角形,而oAn+1=ln+1,oAn=ln.
∴由勾股定理可得l
2n+1=l2n+1.
ln=n.
oA9=l9=3,oAXX=XX=3223.
点评:
递推关系在教材上的要求并不高,仅是明了递推公式是数列的一种表示方法,并能根据给出的数列递推公式写出其中的几项,对繁难复杂的递推公式,如3项或2项以上的递推公式不作要求.
知能训练
.若数列{an}前n项的值各异,且an+8=an对任意的n∈N*都成立,则下列数列中可取遍{an}的前8项值的数列为
A.{a2n+1} B.{a3n+1}
c.{a4n+1} D.{a6n+1}
2.已知an=an-2+an-1,a1=1,a2=2,bn=anan+1,则数列{bn}的前4项依次是__________.
.B 解析:
取k=0,1,2,…,8验证,周期为8.
2.前4项依次是12,23,35,58.
课堂小结
.先由学生自己总结归纳本节课所学到的数学知识,即数列的简单表示法:
通项公式、列表法、图象法、简单的递推公式法.探求和发展了数列的各项之间的关系及其规律,并用合适的表示法来表示这种规律.
2.教师强调,通过例题进一步明确了数列的图象是一些离散的点,并通过实际
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- 数列 公式 教案