离散数学综合练习及答案Word文档格式.docx
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解:
000
1
001
010
011
100
101
110
111
成真赋值:
000,001,010,011,101,111;
成假赋值100,110
三、用真值表、等值演算两种方法判别公式类型。
1、
可满足式
2、
A
00
01
10
11
永真式
四、求命题公式的主析取范式和成真赋值、成假赋值。
000,001,010,011,100,101,111;
成假赋值110
五、解释I如下:
D是实数集,特定元素a=0;
特定函数fx,y=xy;
特定谓词Fx,y:
x<
y。
在解释I下判别公式真、假。
真值为假
真值为真
六、
1、求前束范式
2、证明:
证明:
七、写出下面推理的证明,要求写出前提、结论,并注明
推理规则。
(1)如果乙不参加篮球赛,那么甲就不参加篮球赛。
若乙参加篮球赛,那么甲和丙就参加篮球赛。
因此,如果甲参加篮球赛,则丙就参加篮球赛。
甲参加篮球赛。
乙参加篮球赛。
r:
丙参加篮球赛。
前提:
qp,qpr,
结论:
pr
①qp前提引入
②pq①置换
③qpr前提引入
④qpr③置换
⑤qpqr④置换
⑥qr⑤化简
⑦qr⑥置换
⑧pr②⑦假言三段论
推理正确
(2)学会的成员都是专家。
有些成员是青年人。
所以,有些成员是青年专家。
个体域是人的集合
x是学会成员。
Gx:
x是专家。
Hx:
x是青年人。
xFxGx,xFxHx
xFxHxGx
①xFxHx前提引入
②FcHc①EI
③xFxGx前提引入
④FcGc③UI
⑤Fc②化简
⑥Gc⑤④假言推理
⑦FcHcGc②⑥合取
⑧xFxHxGx⑦EG
《离散数学》综合练习二参考答案
集合、关系、函数
一、判断题
1、对任意集合A,都有AA和AA,不能同时成立。
(F)
2、R1、R2是A上的具有自反性的二元关系,R1-R2也具有自反性。
3、A上恒等关系IA具有自反性、对称性、反对称性、传递性。
(T)
4、f:
AB,g:
BC,若fog是AC的满射,则f、g都是满射。
5、A={1,2,3,4},f是从A到A的满射,则也是从A到A的单射。
二、填空题
1、A-B∪AB=A。
2、A有2个元素,B有3个元素,从A到B的二元关系有26个。
3、R是A上的二元关系,RoR-1一定具有的性质是对称性。
4、fx=lnx是从R+到R的函数。
5、f、g都是从A到A的双射,(fog)-1=g-1of-1。
三、集合
1、A={{a,{b}},c,{c},{a,b}}、B={{a,b},c,{b}}
求A∪B、A∩B、A-B、AB
2、A={{a,{b}},c,Ø
}求A的幂集。
PA={Ø
,{Ø
},{{a,{b}}},{c},{{a,{b}},c},{{a,{b}},Ø
},{c,Ø
}},A}
3、证明:
A-B∪C=A-B∩A-C
四、二元关系(共30分)
1、A={a,b,c,b},R={<
a,b>
,<
b,a>
b,c>
c,d>
}
用关系矩阵求R4,写出R4的集合表示。
2、指出二元关系满足哪种性质,不满足哪种性质,说明理由。
满足反对称性;
不满足自反性,反自反性,对称性,传递性
3、A={1,2,3,4,5,6},S={{1,2},{3},{4,5,6}}
画出由S产生的等价关系的关系图。
4、画出偏序集的哈斯图,并指出最大元、最小元、极大元、极小元。
{1,2,3,…,12}整除关系
最大元:
无;
最小元、极小元:
1;
极大元:
7,8,9,10,11,12
五、函数
1、确定以下各题中f是否是从AB的函数,若是指出是否是单射、满射、双射,
如果不是说明理由。
(1)A={1,2,3,4,5}、B={5,6,7,8,9}
f={1,8,3,9,4,10,2,6,5,9}
f是函数,由3,9,5,9f不是单射,也不是满射。
(2)A={1,2,3,4,5}、B={5,6,7,8,9}
f={1,7,2,6,4,8,1,9,5,10}
由1,7,1,9,f不是函数。
(3)A、B都是实数集,fx=x3。
f是函数,f是单射,也是满射,f是双射。
(4)A、B都是正整数集,
f是函数,f是单射,不是满射。
2、,,,,、都是的函数。
:
,,,
、中哪个有反函数?
若有则求出反函数。
求出复合函数、。
是双射,有反函数,就是自己。
:
3、A、B都是有n个元素的集合,f:
AB的函数。
证明:
f是单射f是满射。
设f是单射,由于,,所以有n个元素,
又,而也只有n个元素,所以
设f是满射,若f不是单射,则,,
由于中只有n个元素,所以,与矛盾。
《离散数学》综合练习三参考答案
代数系统
1、{0,1,2,…,n}对普通加法封闭。
(F)
2、在非负整数集Z+上定义运算·
,x·
y=min{x,y},1是运算的幺元。
(T)
3、实数集与普通乘法构成的代数系统中每个元素都有逆元素。
4、在代数系统Z,+,0中,0是零元。
5、非负整数集Z+与普通加法构成的代数系统是群。
6、M是n阶可逆矩阵的集合,×
是矩阵乘法,M,×
是群。
(T)
7、循环群的子群是循环群。
8、代数系统Z,+是代数系统R*,+的子代数。
1、A={x|x=3n,nN},对乘法运算封闭。
2、R*,+构成的代数系统是半群。
3、在代数系统Z,+,0中,0是单位元。
4、F={f|f:
AA},o为函数的复合运算,F,o的单位元是恒等函数。
5、f、g都是从A到A的双射,(fog)-1=g-1of-1。
6、在代数系统S,*中,元素a、b都有逆元,则a-1-1=a,a*b-1=b-1*a-1。
7、循环群有生成元,使循环群中元素都是该元素的方幂。
8、V1=S1,o,V2=S2,*都有幺元,是V1到V2的同态,则把V1中的单
位元映射到V2中的单位元。
三、解答题
1、Q+是正有理数集,×
是普通乘法,Q+,×
是否是半群、独异点、群?
普通乘法有结合律,单位元是1,但0没有逆元,Q+,×
是独异点。
2、实数集R上的运算*,a*b=a+b+a×
b,+是普通加法,×
是普通乘法。
验证:
R,*只能是独异点。
a,b,cR
a*b*c=a+b+a×
b*c=a+b+a×
b+c+a+b+a×
b×
c
=a+b+c+a×
b+a×
c+b×
c+a×
a*b*c=a*b+c+b×
c=a+b+c+b×
c+a×
b+c+b×
运算*有结合律
由于运算*有交换律,设e是单位元。
aR
a*e=a+e+a×
e=a,1+a×
e=0,e=0
设a-1是*a的逆元,a-1*a=a-1+a+a-1×
a=0
1+aa-1=-a,当a-1时,a有逆元。
a=-1无逆元,所以Q+,×
3、实数集R上的运算*,a*b=a+b-2,+是普通加法,是普通减法。
R,*是否是群?
a,b,cR,
a*b*c=a+b-2*c=a+b-2+c-2=a+b+c-4
a*b*c=a*c+b-2=a+b+c-2-2=a+b+c-4
运算*有结合律
a*e=a+e-2=a,e-2=0,e=2
设a-1是*a的逆元,a-1*a=a-1+a-2=2
a-1=4-a
所以R,*是群。
四、求8阶循环群{e,a,a2,…,a7}的各阶子群。
一阶子群{e}
二阶子群{e,a4}
四阶子群{e,a2,a4,a6}
八阶子群{e,a,a2,…,a7}
五、设代数系统〈A,*〉有单位元,代数系统〈B,〉无单位元。
这两个代数系统不同构。
若〈A,*〉,〈B,〉同构,则存在同构映射,又设e是〈A,*〉
的单位元,则e是〈B,〉中的单位元,与〈B,〉无单位元矛盾。
《离散数学》综合练习四参考答案
图论
1、2,2,5,2,1,3可以构成图的度数序列。
2、n阶无向完全图的边数为nn-1。
3、生成子图与母图有相同的边集。
4、最小生成树是不唯一的。
(
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