数学高考一轮复习第十五章圆锥曲线与方程152双曲线Word格式.docx
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8题
分析解读 双曲线作为一种重要的圆锥曲线,考查的频度比较高,试题难度一般中等偏下,复习时不要过度挖掘.
五年高考
考点一 双曲线的定义和标准方程
1.(2017课标全国Ⅲ理改编,5,5分)已知双曲线C:
-
=1(a>
0,b>
0)的一条渐近线方程为y=
x,且与椭圆
+
=1有公共焦点,则C的方程为 .
答案
=1
2.(2017天津文改编,5,5分)已知双曲线
0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为 .
答案 x2-
3.(2017天津理改编,5,5分)已知双曲线
0)的左焦点为F,离心率为
.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为 .
4.(2015天津改编,6,5分)已知双曲线
0)的一条渐近线过点(2,
),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4
x的准线上,则双曲线的方程为 .
5.(2015广东改编,7,5分)已知双曲线C:
=1的离心率e=
且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为 .
6.(2014天津改编,5,5分)已知双曲线
0)的一条渐近线平行于直线l:
y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为 .
教师用书专用(7—8)
7.(2013广东理改编,7,5分)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0),离心率等于
则C的方程是 .
8.(2014福建,19,13分)已知双曲线E:
0)的两条渐近线分别为l1:
y=2x,l2:
y=-2x.
(1)求双曲线E的离心率;
(2)如图,O为坐标原点,动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点(A,B分别在第一、四象限),且△OAB的面积恒为8.试探究:
是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?
若存在,求出双曲线E的方程;
若不存在,说明理由.
解析
(1)因为双曲线E的渐近线分别为y=2x,y=-2x,所以
=2,
所以
故c=
a,
从而双曲线E的离心率e=
=
.
(2)解法一:
由
(1)知,双曲线E的方程为
=1.
设直线l与x轴相交于点C.
当l⊥x轴时,若直线l与双曲线E有且只有一个公共点,
则|OC|=a,|AB|=4a,
又因为△OAB的面积为8,
|OC|·
|AB|=8,
因此
a·
4a=8,解得a=2,
此时双曲线E的方程为
若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为
以下证明:
当直线l不与x轴垂直时,双曲线E:
=1也满足条件.
设直线l的方程为y=kx+m,依题意,得k>
2或k<
-2,
则C
.记A(x1,y1),B(x2,y2).
由
得y1=
同理得y2=
由S△OAB=
|y1-y2|得,
·
=8,即m2=4|4-k2|=4(k2-4).
得(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0.
因为4-k2<
0,
所以Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16),
又因为m2=4(k2-4),
所以Δ=0,即l与双曲线E有且只有一个公共点.
因此,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为
解法二:
设直线l的方程为x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2).
依题意得-
<
m<
设直线l与x轴相交于点C,则C(t,0).
|y1-y2|=8,
得
|t|·
=8,
所以t2=4|1-4m2|=4(1-4m2).
得(4m2-1)y2+8mty+4(t2-a2)=0.
因为4m2-1<
0,直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ=64m2t2-16(4m2-1)(t2-a2)=0,
即4m2a2+t2-a2=0,即4m2a2+4(1-4m2)-a2=0,
即(1-4m2)(a2-4)=0,所以a2=4,
解法三:
当直线l不与x轴垂直时,设直线l的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).
依题意得k>
-2.
得(4-k2)x2-2kmx-m2=0,
0,Δ>
0,所以x1x2=
|OA|·
|OB|·
sin∠AOB=8,又易知sin∠A
OB=
=8,化简得x1x2=4.
=4,即m2=4(k2-4).
由
(1)得双曲线E的方程为
=1,
得(4-k2)x2-2kmx-m2-4a2=0,
0,直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+4a2)=0,
即(k2-4)(a2-4)=0,所以a2=4,
所以双曲线E的方程为
当l⊥x轴时,由△OAB的面积等于8可得l:
x=2,又易知l:
x=2与双曲线E:
=1有且只有一个公共点.
综上所述,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为
考点二 双曲线的性质
1.(2017江苏,8,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线
-y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是 .
答案 2
2.(2017课标全国Ⅱ文改编,5,5分)若a>
1,则双曲线
-y2=1的离心率的取值范围是 .
答案 (1,
)
3.(2017课标全国Ⅱ理改编,9,5分)若双曲线C:
0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为 .
4.(2016江苏,3,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线
=1的焦距是 .
5.(2016北京,12,5
分)已知双曲线
0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(
0),则a= ;
b= .
答案 1;
2
6.(2016浙江,13,4分)设双曲线x2-
=1的左、右焦点分别为F1,F2.若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是 .
答案 (2
8)
7.(2016山东,14,5分)已知双曲线E:
0).矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是 .
8.(2015江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为 .
9.(2015课标Ⅰ改编,5,5分)已知M(x0,y0)是双曲线C:
-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若
0,则y0的取值范围是 .
10.(2014课标Ⅰ改编,4,5分)已知F为双曲线C:
x2-my2=3m(m>
0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为 .
11.(2014浙江,16,5分)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线
0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是 .
12.(2013课标全国Ⅰ理改编,4,5分)已知双曲线C:
0)的离心率为
则C的渐近线方程为 .
答案 y=±
x
13.(2014江西,20,13分)如图,已知双曲线C:
-y2=1(a>
0)的右焦点为F,点A,B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).
(1)求双曲线C的方程;
(2)过C上一点P(x0,y0)(y0≠0)的直线l:
-y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x=
相交于点N.
证明:
当点P在C上移动时,
恒为定值,并求此定值.
解析
(1)设F(c,0),
因为b=1,所以c=
直线OB的方程为y=-
x,直线BF的方程为y=
(x-c),解得B
又直线OA的方程为y=
x,则A
kAB=
.又因为AB⊥OB,所以
=-1,解得a2=3,
故双曲线C的方程为
-y2=1.
(2)由
(1)知a=
则直线l的方程为
-y0y=1(y0≠0),
即y=
因为直线AF的方程为x=2,所以直线l与AF的交点为M
;
直线l与直线x=
的交点为N
则
因为P(x0,y0)是C上一点,则
=1,代入上式得
所求定值为
教师用书专用(14—23)
14.(2016天津理改编,6,5分)已知双曲线
=1(b>
0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为 .
15.(2016课标全国Ⅱ理改编,11,5分)已知F1,F2是双曲线E:
=1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=
则E的离心率为 .
16.(2016浙江理改编,7,5分)已知椭圆C1:
+y2=1(m>
1)与双曲线C2:
-y2=1(n>
0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则e1e2与1的大小关系为 .
答案 e1e2>
1
17.(2015课标Ⅱ改编,11,5分)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°
18.(2015重庆改编,10,5分)设双曲线
0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线,两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a+
则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 .
答案 (-1,0)∪(0,1)
19.(2015浙江,9,6分)双曲线
-y2=1的焦距是 ,渐近线方程是 .
y=±
20.(2015山东,15,5分)平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:
0)的渐近线与抛物线
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