等差数列的前n项和Word版Word文档下载推荐.docx
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(3)若数列{an}的前n项和为Sn=an2+bn,则{an}是等差数列.( )
【解析】
(1)任何等差数列都能应用等差数列的前n项和公式.
(2)数列{n2}不是等差数列,故不能用等差数列的前n项和公式.
(3)当公差不为0时,等差数列的前n项和是关于n的二次函数(常数项为0).
【答案】
(1)×
(2)×
(3)√
[小组合作型]
与Sn有关的基本量的计算
(1)已知等差数列{an}中,a1=,d=-,Sn=-15,求n和an;
(2)已知等差数列{an}中,S5=24,求a2+a4;
(3)数列{an}是等差数列,a1=1,an=-512,Sn=-1022,求公差d;
(4)已知等差数列{an}中,a2+a5=19,S5=40,求a10.
【精彩点拨】 运用方程的思想,根据已知条件建立方程或方程组求解,另外解题时要注意整体代换.
【尝试解答】
(1)Sn=n·
+·
=-15,整理得n2-7n-60=0,
解得n=12或n=-5(舍去),
所以a12=+(12-1)×
=-4.
(2)设等差数列的首项为a1,公差为d,
则S5=5a1+d=24,
即5a1+10d=24,所以a1+2d=,
所以a2+a4=2(a1+2d)=2×
=.
(3)因为an=a1+(n-1)d,Sn=na1+d,
又a1=1,an=-512,Sn=-1022,
所以
把(n-1)d=-513代入②得
n+n·
(-513)=-1022,解得n=4,
所以d=-171.
(4)由已知可得
解得a1=2,d=3,
所以a10=a1+9d=2+9×
3=29.
等差数列中基本计算的两个技巧:
(1)利用基本量求值.等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1,d,n,an和Sn,一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组,解出a1和d,便可解决问题.解题时注意整体代换的思想.
(2)利用等差数列的性质解题.等差数列的常用性质:
若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am+an=ap+aq,常与求和公式Sn=结合使用.
[再练一题]
1.等差数列中:
(1)a1=105,an=994,d=7,求Sn;
(2)an=8n+2,d=5,求S20;
(3)d=,n=37,Sn=629,求a1及an.
【解】
(1)由an=a1+(n-1)d且a1=105,d=7,
得994=105+(n-1)×
7,解得n=128,
∴Sn===70336.
(2)∵an=8n+2,∴a1=10,又d=5,
∴S20=20a1+×
5=20×
10+10×
19×
5=1150.
(3)将d=,n=37,Sn=629代入an=a1+(n-1)d,
Sn=,得
解得
等差数列前n项和公式在实际中的应用
为响应教育部下发的《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》的要求,某市提出了实施“校校通”工程的总目标:
从2011年起用10年的时间,在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算,2011年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2011年起的未来10年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少?
【精彩点拨】 将该实际问题转化为数列问题求解,由于每年投入资金都比上一年增加50万元,故可考虑利用等差数列求解.
【尝试解答】 根据题意,从2011年~2020年,该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元,
所以,每年投入的资金依次组成等差数列{an},其中,a1=500,d=50.
那么,到2020年(n=10),投入的资金总额为
S10=10×
500+×
50=7250(万元),
即从2011年~2020年,该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元.
有关数列的应用问题,应首先通过对实际问题的研究建立数列的数学模型,最后求出符合实际的答案,可分以下几步考虑:
(1)问题中所涉及的数列{an}有何特征;
(2)是求数列{an}的通项还是求前n项和;
(3)列出等式(或方程)求解.
2.如图122,一个堆放铅笔的V型架的最下面一层放1支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放1支.最上面一层放120支,这个V型架上共放着多少支铅笔?
图122
【解】 由题意可知这个V型架自下而上各层的铅笔数组成等差数列,记为数列{an},其中a1=1,a120=120.根据等差数列前n项和公式得S120==7260.
即V型架上共放着7260支铅笔.
[探究共研型]
等差数列前n项和的性质
探究1 设{an}是等差数列,公差为d,Sn是其前n项和,那么Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等差数列吗?
如果是,它们的公差是多少?
【提示】 由Sm=a1+a2+…+am,S2m-Sm=am+1+am+2+…+a2m=a1+md+a2+md+…+am+md=Sm+m2d,
同理S3m-S2m=a2m+1+a2m+2+…+a3m=S2m-Sm+m2d,
所以Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等差数列,公差为m2d.
探究2 设Sn、Tn分别为两个等差数列{an}和{bn}的前n项和,那么与有怎样的关系?
请证明之.
【提示】 =.
【证明】 ==
==.
(1)等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,求数列{an}的前3m项的和S3m;
(2)两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,已知=,求的值.
【精彩点拨】
(1)利用Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列求解.
(2)利用前n项和结合等差数列的性质将项的比值转化为和的比值求解.
【尝试解答】
(1)在等差数列中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,∴30,70,S3m-100成等差数列,
∴2×
70=30+(S3m-100),∴S3m=210.
(2)====.
巧妙应用等差数列前n项和的性质
(1)“片段和”性质.
若{an}为等差数列,前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…构成公差为n2d的等差数列.
(2)项数(下标)的“等和”性质.
Sn==.
(3)项的个数的“奇偶”性质.
{an}为等差数列,公差为d.
①若共有2n项,则S2n=n(an+an+1);
S偶-S奇=nd;
②若共有2n+1项,则S2n+1=(2n+1)an+1;
S偶-S奇=-an+1;
(4)等差数列{an}中,若Sn=m,Sm=n(m≠n),则Sm+n=-(m+n).
(5)等差数列{an}中,若Sn=Sm(m≠n),则Sm+n=0.
3.已知两个等差数列{an}与{bn}的前n(n>1)项和分别是Sn和Tn,且Sn∶Tn=(2n+1)∶(3n-2),求的值.
【解】 ==
==
===.
等差数列前n项和的最值
探究1 将等差数列前n项和Sn=na1+d变形为Sn关于n的函数后,该函数是怎样的函数?
为什么?
【提示】 由于Sn=na1+d=n2+n,
所以当d≠0时,Sn为关于n的二次函数,且常数项为0.
探究2 类比二次函数的最值情况,等差数列的Sn何时有最大值?
最小值?
【提示】 由二次函数的性质可以得出,当d>0时,Sn有最小值;
当d<0时,有最大值,且n取值最接近对称轴的正整数时,Sn取得最值.
在等差数列{an}中,a10=18,前5项的和S5=-15.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)求数列{an}的前n项和的最小值,并指出何时取最小值.
【精彩点拨】
(1)直接根据等差数列的通项公式和前n项和公式列关于首项a1和公差d的方程,求得a1和d,进而得解;
(2)可先求出前n项和公式,再利用二次函数求最值的方法求解,也可以利用通项公式,根据等差数列的单调性求解.
【尝试解答】
(1)由题意得
得a1=-9,d=3,
∴an=3n-12.
(2)Sn==(3n2-21n)=2-,
∴当n=3或4时,
前n项的和取得最小值S3=S4=-18.
等差数列前n项和的最值问题的三种解法:
(1)利用an:
当a1>0,d<0时,前n项和有最大值,可由an≥0且an+1≤0,求得n的值;
当a1<0,d>0,前n项和有最小值,可由an≤0且an+1≥0,求得n的值.
(2)利用Sn:
由Sn=n2+n(d≠0),利用二次函数配方法求得最值时n的值.
(3)利用二次函数的图象的对称性.
4.在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,求Sn的最大值.
【解】 利用前n项和公式和二次函数性质,由S17=S9得
25×
17+(17-1)d=25×
9+(9-1)d,解得d=-2,
∴Sn=25n+(n-1)(-2)=-(n-13)2+169,
∴由二次函数性质,当n=13时,Sn有最大值169.
1.设Sn为等差数列{an}的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9=( )
A.-6 B.-4C.-2D.2
【解析】 S8==4(a3+a6),又S8=4a3,所以a6=0,
又a7=-2,所以a8=-4,a9=-6.
【答案】 A
2.记等差数列前n项和为Sn,若S2=4,S4=20,则该数列的公差d等于( )
A.2B.3C.6D.7
【解析】 由题意得解得
【答案】 B
3.在等差数列{an}中,a1=2,前三项和为15,则前6项和为( )
A.57B.-40C.-57D.40
【解析】 由题意知a1+a2+a3=15,∴3a2=15,a2=5,
∴d=a2-a1=3,∴an=3n-1,
∴S6==57.
4.在等差数列{an}中,已知a1=2,d=2,则S20=________.
【解析】 S20=20·
a1+×
d=20×
2+×
2=420.
【答案】 420
5.等差数列{an}中,a10=30,a20=50.
(1)求通项公式an;
(2)若Sn=242,求n.
【解】
(1)由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,
得方程组
所以an=2n+10.
(2)由Sn=na1+d,Sn=242,
得12n+×
2=242,
解得n=11或n=-22(舍去),所以n=11.
学业分层测评(五)
(建议用时:
45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=( )
A.5 B.7C.9D.11
【解析】 法一:
∵a1+a5=2a3,∴a1+a3+a5=3a3=3,∴a3=1,
∴S5==5a3=5,故选A.
法二:
∵a1+a3+a5=a1+(a1+2d)+(a1+4
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