初中数学《平行四边形的判定》教案3文档格式.docx
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★教学过程
一、课堂引入
1.欣赏图片、提出问题.
展示图片,提出问题,在刚才演示的图片中,有哪些是平行四边形?
你是怎样判断的?
2.【探究】:
小明的父亲手中有一些木条,他想通过适当的测量、割剪,钉制一个平行四边形框架,你能帮他想出一些办法来吗?
让学生利用手中的学具——硬纸板条通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件,思考并探讨:
(1)你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗?
(2)你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形?
(3)你能说出你的做法及其道理吗?
(4)能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法?
你能用文字语言表述出来吗?
(5)你还能找出其他方法吗?
从探究中得到:
平行四边形判定方法1两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
平行四边形判定方法2对角线互相平分的四边形是平行四边形.
二、例题分析
例1已知:
如图□ABCD的对角线AC、BD交于点O,E、F是AC上的两点,并且AE=CF.
求证:
四边形BFDE是平行四边形.
学生活动:
认真审题并独立思考证明方法后发表看法。
教师活动:
强调指出所给的已知条件在平行四边形的对角线上,因此最好利用与对角线有关的判定方法。
写出规范的证明过程。
分析:
欲证四边形BFDE是平行四边形可以根据判定方法2来证明.
(证明过程参看教材)
问;
你还有其它的证明方法吗?
比较一下,哪种证明方法简单.
例2已知:
如图,A′B′∥BA,B′C′∥CB,C′A′∥AC.
(1)∠ABC=∠B′,∠CAB=∠A′,∠BCA=∠C′;
(2)△ABC的顶点分别是△B′C′A′各边的中点.
证明:
(1)∵A′B′∥BA,C′B′∥BC,
∴四边形ABCB′是平行四边形.
∴ ∠ABC=∠B′(平行四边形的对角相等).
同理∠CAB=∠A′,∠BCA=∠C′.
(2)由
(1)证得四边形ABCB′是平行四边形.同理,四边形ABA′C是平行四边形.
∴AB=B′C,AB=A′C(平行四边形的对边相等).
∴B′C=A′C.
同理 B′A=C′A,A′B=C′B.
∴ △ABC的顶点A、B、C分别是△B′C′A′的边B′C′、C′A′、A′B′的中点.
三、随堂练习
1.如图,在四边形ABCD中,AC、BD相交于点O,
(1)若AD=8cm,AB=4cm,那么当BC=____cm,CD=____cm时,四边形ABCD为平行四边形;
(2)若AC=10cm,BD=8cm,那么当AO=___cm,DO=___cm时,四边形ABCD为平行四边形.
2.已知:
如图,□ABCD中,点E、F分别在CD、AB上,DF∥BE,EF交BD于点O.求证:
EO=OF.
四、课堂总结
请同学们谈谈这节课学习的体会和收获.
①判定一个四边形是平行四边形常用的几种方法:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形;
两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
②判断一个数学命题是否成立的基本方法:
证明与举例.
③平行四边形的判定定理与相关的性质定理是互逆定理的关系.
第二课时
1.掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法.
2.能灵活的运用平行四边形的判定方法和性质来证明问题.
1.经历探究平行四边形的判别方法的过程,发展学生勇于探索、勤于思考的良好学习习惯.
2.经历推理平行四边形的判定方法的过程,锻炼学生逻辑思维和推理论证的能力.
组织学生主动参与操作活动和观察,发展学生的主动探索、质疑和独立思考的习惯.
平行四边形各种判定方法及其应用,尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法.
平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用.
组织引导学生动手操作并观察思考、发现结论并独立完成证明.
1.平行四边形的性质;
2.平行四边形的判定方法;
3.【探究】取两根等长的木条AB、CD,将它们平行放置,再用两根木条BC、AD加固,得到的四边形ABCD是平行四边形吗?
结论:
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
如图,□ABCD中,E、F分别是AD、BC的中点,求证:
BE=DF.
独立思考并写出证明过程。
巡视,总结学生的证明方法大致有两种:
利用两个三角形全等或利用四边形BEDF是平行四边形。
引导学生比较两种做法的难易程度。
从而让学生明白凡是可以用平行四边形知识证明的问题,不要再回到用三角形全等证明。
证明BE=DF,可以证明两个三角形全等,也可以证明
四边形BEDF是平行四边形,比较方法,可以看出第二种方法简单.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥CB,AD=CD.
∵E、F分别是AD、BC的中点,
∴DE∥BF,且DE=AD,BF=BC.
∴DE=BF.
∴四边形BEDF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形平行四边形).
∴BE=DF.
此题综合运用了平行四边形的性质和判定,先运用平行四边形的性质得到判定另一个四边形是平行四边形的条件,再应用平行四边形的性质得出结论;
题目虽不复杂,但层次有三,且利用知识较多,因此应使学生获得清晰的证明思路.
例2(补充)已知:
如图,□ABCD中,E、F分别是AC上两点,且BE⊥AC于E,DF⊥AC于F.求证:
四边形BEDF是平行四边形.
因为BE⊥AC于E,DF⊥AC于F,所以BE∥DF.需再证明BE=DF,这需要证明△ABE与△CDF全等,由角角边即可.
∴AB=CD,且AB∥CD.
∴∠BAE=∠DCF.
∵BE⊥AC于E,DF⊥AC于F,
∴BE∥DF,且∠BEA=∠DFC=90°
.
∴△ABE≌△CDF(AAS).
∴BE=DF.
∴四边形BEDF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形平行四边形).
三、课堂练习
1.(选择)在下列给出的条件中,能判定四边形ABCD为平行四边形的是().
(A)AB∥CD,AD=BC(B)∠A=∠B,∠C=∠D
(C)AB=CD,AD=BC(D)AB=AD,CB=CD
如图,AC∥ED,点B在AC上,且AB=ED=BC,找出图中的平行四边形,并说明理由.
第三课时
1.理解三角形中位线的概念,掌握它的性质.
2.掌握简单添加辅助线的方法.
3.能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算.
1.经历探索、猜想、证明的过程,进一步发展推理论证的能力.
2.培养学生观察、发现、分析、探索知识的能力及创造性思维和归纳总结能力;
1.理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法.
2.通过学生亲自参与、发现和证明,培养学生的参与意识及合作精神,激发学生探索数学的兴趣,体验数学学习的过程与探索成功后的喜悦.
掌握和运用三角形中位线的性质.
三角形中位线性质的证明(辅助线的添加方法).
引导探究法、讨论法.
平行四边形的判定;
它们之间有什么联系?
2.你能说说平行四边形性质与判定的用途吗?
(答:
平行四边形知识的运用包括三个方面:
一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题.例如求角的度数,线段的长度,证明角相等或线段相等等;
二是判定一个四边形是平行四边形,从而判定直线平行等;
三是先判定一个四边形是平行四边形,然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题.)
3.创设情境
实验:
请同学们思考:
将任意一个三角形分成四个全等的三角形,你是如何切割的?
(答案如图)
图中有几个平行四边形?
你是如何判断的?
例1如图,点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点,求证:
DE∥BC且DE=BC.
引导学生分析:
所证明的结论既有平行关系,又有数量关系,联想已学过的知识,可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中,利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立,从而使问题得到解决,这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形。
思考并动手添加辅助线。
所证明的结论既有平行关系,又有数量关系,联想已学过的知识,可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中,利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立,从而使问题得到解决,这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形.
方法1:
如图
(1),
延长DE到F,使EF=DE,连接CF,由△ADE≌△CFE,可得AD∥FC,且AD=FC,因此有BD∥FC,BD=FC,所以四边形BCFD是平行四边形.所以DF∥BC,DF=BC,因为DE=DF,所以DE∥BC且DE=BC.
(也可以过点C作CF∥AB交DE的延长线于F点,证明方法与上面大体相同)
方法2:
如图
(2),
延长DE到F,使EF=DE,连接CF、CD和AF,又AE=EC,所以四边形ADCF是平行四边形.所以AD∥FC,且AD=FC.因为AD=BD,所以BD∥FC,且BD=FC.所以四边形ADCF是平行四边形.所以DF∥BC,且DF=BC,因为DE=DF,所以DE∥BC且DE=BC.
定义:
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
【思考】:
(1)想一想:
①一个三角形的中位线共有几条?
②三角形的中位线与中线有什么区别?
(2)三角形的中位线与第三边有怎样的关系?
(1)一个三角形的中位线共有三条;
三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同.中位线是中点与中点的连线;
中线是顶点与对边中点的连线.
(2)三角形的中位线与第三边的关系:
三角形的中位线平行与第三边,且等于第三边的一半.)
三角形中位线的性质:
三角形的中位线平行与第三边,且等于第三边的一半.
〖拓展〗利用这一定理,你能证明出在设情境中分割出来的四个小三角形全等吗?
(让学生口述理由)
例2 已知:
如图
(1),在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
四边形EFGH是平行四边形.
认真审题,寻找解题思路。
因为已知点E、F、G、H分别是线段的中点,可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH的边之间的关系。
由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形,所以添加辅助线,连接AC或BD,构造“三角形中位线”的基本图形后,此题便可得证。
因为已知
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