第4讲中考第一轮复习方程与不等式目标目标1班教师版Word文档格式.docx

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会运用二元一次方程组解决简单的实际问题

分式方程及其解法

了解分式方程的概念

会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）；

会对分式方程的解进行检验

会运用分式方程解决简单的实际问题

一元二次方程

了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项的系数；

了解一元二次方程根的意义

能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；

会由方程的根求方程中待定系数的值

一元二次方程的解法

理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据

能选择适当的方法解一元二次方程；

会用一元二次方程根的判别式判断根的情况

能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；

会用配方法对代数式作简单的变形；

会运用一元二次方程解决简单的实际问题

不等式（组）

能根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义

能根据具体问题中的数量关系列出不等式（组）

不等式的性质

理解不等式的基本性质

会利用不等式的性质比较两个实数的大小

解一元一次不等式（组）

了解一元一次不等式（组）的解的意义，会在数轴上表示或判定其解集

会解一元一次不等式和一元一次不等式组，并会根据条件求整数解

能根据具体问题中的数量关系，用列出一元一次不等式解决简单问题

一、定义

方程的定义：

含有未知数的等式叫做方程．

一元一次方程：

含有一个未知数且含未知数的项的最高次数为一次的整式方程叫做一元一次方程．

一元二次方程的定义：

含有一个未知数且含未知数的项的最高次数为二次的整式方程叫做一元二次方程．

方程的解：

使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解．

二、根的情况

对于形如的形式应判断，，的情况而定：

⑴当且方程有唯一解．

⑵当且，时，方程有无数解．

⑶当且且时，方程无解．

⑷当时，方程为一元二次方程．

当时，方程有两个不相等的实数根；

当时，方程有两个相等的实数根；

当时，方程无实数根．

三、特殊根

对于关于的方程

⑴当方程有一根为时，则．

⑵当方程有一根为时，则．

⑶当方程有一根为时，则．

⑷当方程两根互为相反数时，则．

⑸当方程有一根大于零一根小于零时，则．

⑹当方程两根都大于零时，则且．

⑺当方程两根都小于零时，则且．

⑻当方程有一根大于，一根小于，则．

四、整数根

思路一：

有整数根必须具备的前提条件：

①有实数根：

；

②有有理数根：

是完全平方数；

②有整数根：

是的整数倍．

思路二：

能分解因式的用分离系数法．

【编写思路】本讲没有分模块，共分两个板块，对方程与不等式问题分了两个层次.

第一个板块（能力提升）：

代数式变形板块；

例1复习代数式变形中常用的几种方法；

代数式变形是代数中的重点难点，也是中考要求中C要求部分.常见方法如下：

①、加减消元；

代数恒等变形方法

1、消元Ⅰ、部分代入；

②、代入消元

Ⅱ、整体代入；

①、直接开方；

②、配方：

A2+B2=0；

2、降次

③、因式分解：

A·

B=0或A·

B=c（c为常整数，且A、B均等于整数）；

Ⅰ、条件为一元二次方程：

转化为

，然后进行降次；

④、利用题设条件

Ⅱ、条件为，转化为，然后两边平方得，然后进行降次；

3、换元整体（当需要对某个代数式进行整体处理时，可以考虑对这个代数式进行换元处理）。

第二个板块（综合探索）：

一元二次方程板块；

此版块主要复习一元二次方程，并借助一元二次方程复习代数式的相关变形.例题中重点四类题型：

一是一元二次方程和代数式变形的结合（例2、例3）：

主要方法同上；

二是一元二次方程的区间根问题（例4）；

三是公共根问题：

设、代、解三步走（例5）；

四是方程的整数根问题，主要处理方法如下（其中分解质因数的方法超出中考范畴，某些区模拟可能会简单涉及，老师可自行选择）（例6）：

整数解问题解题步骤

①、为整数；

1、用十字相乘法解含参一元二次方程

②、为整数，先用分离常数法

转化为；

①、判别式为一次多项式时，可根据参

数的取值范围直接求出参数的整数

解，然后检验；

2、不能因式分解时，使判别式为完全平方数

②、判别式为二次多项式时，如：

Ⅰ、设m2+4m–3=n2；

Ⅱ、转化为；

Ⅲ、分解成A·

B=7，从而求出m。

【例1】代数式变形.

⑴分解因式：

．

⑵已知，则的值为．

（广东佛山中考）

⑶对任意实数，等式恒成立，则.

⑷若，则的值为____________.

⑸已知是方程的根，则代数式的值为．

⑹当整数为时，代数式的值为整数.

⑺已知、为整数，且（），则.

⑻已知，，，用、表示为.

1【解析】⑴.

点评：

因式分解是常考的代数式变形，主要考查提公因式法、平方差公式和完全平方公式.

⑵

∵，，

∴，，

∴.

⑶由得，对于任意的成立，故

故，故.

此类题有两种解法，一种是变为的形式，一种是对进行赋值解方程组.

⑷对分母进行整体换元：

令，原方程化为，去分母得，解得，，故或.

⑸把代入得，

.

⑹，当，代数式的值为整数.

⑺由得，

∵，∴

或或或

解得（舍）或或（舍）或

⑻.

【例2】已知：

关于的一元二次方程有实数根．

⑴求的取值范围；

⑵若，是此方程的两个根，且满足，求的值．

（2012海淀期中）

【解析】

（1）4+4m≥0，m≥-1；

（2）将a，b代入一元二次方程可得

【点评】应具备将方程的解代入原方程中的处理方法，再利用降次和整体代入求代数式的值.

【例3】知关于x的方程①有两个相等的实数根；

⑴用含n的代数式表示；

⑵求证：

关于y的方程②必有两个不相等的实数根；

⑶若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式的值.

（2011四中期中）

【解析】⑴证明：

方程①有两个相等的实数根，

且，则

由方程②，有

=

且，

方程②必有两个不相等的实数根。

⑵解法一：

由可得

将代入方程<

1>

得

解得

方程①的一根的相反数是方程②的一个根，

由根的定义，得

整理，得

即

解法二：

由解法一得是方程②的一个根。

设方程②的另一根为

由根与系数的关系可得；

；

以下同解法一。

解法三：

方程②为③

方程①的一根的相反数是方程②的一个根，设方程②的此根为，

为方程①的根。

由方程③变形，得

又由解法一可知，

以下同解法一。

【例4】已知关于m的一元二次方程=0.

⑴判定方程根的情况；

⑵设m为整数，方程的两个根都大于且小于，当方程的两个根均为有理数时，求m的值．

（2013平谷一模）

【解析】⑴

∵

∴

所以无论m取任何实数，方程=0都有两个不相等的实数根.

⑵设．

∵的两根都在和之间，

∴当时，，即：

当时，，即：

．

∴．

∵为整数，∴．

当时，方程，此时方程的根为无理数，不合题意．

当时，方程，，不符合题意．

当时，方程，符合题意．

综合可知，．

【例5】已知关于x的两个一元二次方程：

方程①:

;

方程②:

⑴若方程①有两个相等的实数根，求解方程②；

⑵若方程①和②中只有一个方程有实数根,请说明此时哪个方程没有实数根,并化

简；

⑶若方程①和②有一个公共根a,求代数式的值．

（2011海淀期中）

【解析】⑴∵方程①有两个相等实数根,

③

④

∴

由③得k+20,

由④得（k+2）（k+4）=0.

∵k+20,

∴k=-4.

当k=-4时,方程②为:

.

解得

⑵由方程②得∆2=.

法一:

∆2－∆1＝-（k+2）（k+4）=3k2＋6k+5=3（k+1）2＋2>

0.

∴∆2>

∆1.

∵方程①、②只有一个有实数根，

∴∆2>

0>

∆1.

∴此时方程①没有实数根.

由

得（k+2）（k+4）<

0.

∵（k+2）（k+4）<

0,

∴.

法二:

∵∆2=>

因此无论k为何值时,方程②总有实数根.

∵方程①、②只有一个方程有实数根，

下同解法一.

⑶法一:

∵a是方程①和②的公共根,

∴;

.

∴,.

=2+3=5.

法二:

③.④

∴（③－④）2得⑤

由④得⑥

将⑤、⑥代入原式，得

原式=

=

=5.

【例6】

已知关于的方程

⑴求证：

无论取任何实数时，方程恒有实数根.

⑵若关于的二次函数的图象与轴两个交点的横坐

标均为正整数，且为整数，求抛物线的解析式.

（2013顺义一模）

①当时，方程为，所以，方程有实数根.

②当时,

=

=

所以,方程有实数根

综①②所述，无论取任何实数时，方程恒有实数根

⑵令，则

解关于的一元二次方程，得，

二次函数的图象与轴两个交点的横坐标均为正整数，且为整数，

所以只能取1，2

所以抛物线的解析式为或

【例题精讲】

【探究对象】含参的一元二次方程的整数根问题

【探究目的】对一元二次方程的整数根求解策略进行了方法总结和梳理

【探究方法】

思路1：

探究方程是否能直接求根？

思路2：

如果不能直接求根就思考判别式，那么判别式的形式都有几种，对于每一种情况应该用什么样的方法处理？

思路3：

如何应用根与系数的关系解决整数根问题？

整系数一元二次方程有整数根，则：

（1）两个根都是整数；

（2）判别式是整数；

（3）判别式是整数的完全平方