最新高中数学第二章平面向量本章复习教案Word文档下载推荐.docx
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教学难点:
向量的概念、运算法则的理解和利用向量解决物理问题和几何问题.对于本章内容的学习,要注意体会数形结合的数学思想方法的应用.
课时安排
2课时
第1课时
导入新课
思路1.(直接导入)前面一段,我们一起探究学习了向量的有关知识,并掌握了一定的分析问题与解决问题的方法,提高了我们的思维能力.这一节,我们一起对本章进行小结与复习,进一步巩固本章所学的知识,强化向量的综合应用.
思路2.(问题导入)由于向量具有几何形式和代数形式的双重身份,与代数、几何都有着密切的关系,因而成为中学数学知识网络的一个交汇点.在中学数学教材中的地位也越来越重要,也成为近几年全国及各省高考命题的重点和热点,根据你所学的本章知识解释一下,它是怎样具有代数、几何双重身份的?
向量是怎样进行代数运算的?
又是怎样进行几何运算的?
你对向量的哪种运算掌握得最好?
由此展开全章的复习.
推进新课
向量的概念、运算及其综合应用.
活动:
本章概念较多,学生可能不知如何进行复习,从头到尾重新翻看教材,学生兴趣不大,效果也不好.教师要点拨学生不仅要善于学习知识,而且还要善于归纳整理所学的知识.首先教师引导学生回忆从前所学,指导学生归类比较.比较是最好的学习方法,如向量的表示法有:
几何表示法为,a(手写时为),坐标表示法为a=xi+yj=(x,y).有哪些特殊的向量:
a=0|a|=0.向量a0为单位向量|a0|=1.相等的向量:
大小相等,方向相同.a=b(x1,y1)=(x2,y2)等等.
指导学生从代数运算和几何运算两方面展开思考归纳,引导学生把向量的运算类比数的运算.向量的加减法,数与向量的乘积,向量的数量积及其各运算的坐标表示和性质较杂乱,教师可以利用多媒体课件或投影仪打出下表让学生填写相关内容:
运算
类型
几何方法
坐标方法
运算性质
向量的加法
1.平行四边形法则
(共起点构造平行四边形)
2.三角(多边)形法则
(向量首尾相连)
a+b=(x1+x2,y1+y2)
a+b=b+a
(a+b)+c=a+(b+c)
+
=
向量的减法
三角形法则
(共起点指向被减)
a-b=(x1-x2,y1-y2)
a-b=a+(-b)
=-
-
数乘向量
1.λa是一个向量,满足|λa|=|λ||a|.
2.λ>
0时,λa与a同向;
λ<
0时,λa与a异向;
λ=0时,λa=0
λa=(λx,λy)
λ(μa)=(λμ)a
(λ+μ)a=λa+μa
λ(a+b)=λa+λb
a∥b
a=λb(b≠0)
向量的数量积
a·
b是一个实数
1.a=0或b=0或a⊥b时,a·
b=0
2.a≠0且b≠0时,a·
b=|a||b|cos〈a,b〉
b=x1x2+y1y2
b=b·
a
(λa)·
b=a·
(λb)=λ(a·
b)
(a+b)·
c=a·
c+b·
c
a2=|a2|,|a|=
|a·
b|≤|a||b|
本章的重要定理及公式:
(1)平面向量基本定理:
e1、e2是同一平面内两个不共线的向量,那么,对于这个平面内任一向量,有且仅有一对实数λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
(2)两个向量平行的条件:
a∥b(b≠0)存在惟一的实数λ使得a=λb;
若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥bx1y2-x2y1=0(b可以为0).
(3)两个向量垂直的条件
当a、b≠0时,a⊥ba·
b=0x1x2+y1y2=0.
讨论结果:
①~③略.
例1已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,
(1)ka+b与a-3b垂直?
(2)ka+b与a-3b平行?
平行时它们是同向还是反向?
向量的垂直、平行关系是向量间最基本、最重要的位置关系,是高考考查的重要内容之一.在解决本题时,教师首先引导学生思考回顾,如何用数量积及有关的定理解决有关长度,角度,垂直的问题;
共线的向量和平面向量的两条基本定理,揭示了共线向量和平面向量的基本结构,它们是进一步研究向量的基础,那么怎样应用向量共线这个条件呢?
让学生通过例题仔细体会,进一步熟练、提高.
解:
(1)ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).
当(ka+b)·
(a-3b)=0时,这两个向量垂直.
由(k-3)×
10+(2k+2)×
(-4)=0,解得k=19,
即当k=19时,ka+b与a-3b垂直.
(2)当ka+b与a-3b平行时,存在惟一实数λ,
使ka+b=λ(a-3b).
由(k-3,2k+2)=λ(10,-4),得
这是一个以k、λ为未知数的二元一次方程组.
解这个方程组得k=-,λ=-,即当k=-时,ka+b与a-3b平行,
这时ka+b=-a+b.
因为λ=-<
0,所以-a+b与a-3b反向.
点评:
向量共线的条件有两种不同的表示形式,但其本质是一样的,在运用中各有特点,解题时可灵活选择.在本例中,也可以根据向量平行条件的坐标形式,从(k-3)×
(-4)-10×
(2k+2)=0,先解出k=-,然后再求λ.
变式训练
1.已知向量a、b是两非零向量,在下列四个条件中,能使a、b共线的条件是( )
①2a-3b=4e且a+2b=-3e
②存在相异实数λ、μ,使λa+μb=0
③xa+yb=0(其中实数x、y满足x+y=0)
④已知梯形ABCD中,
=a、
=b
A.①② B.①③ C.② D.③④
解析:
A、B均含有①,而C、D均含有④,所以可先判定①或④.若①能使a、b共线,则只有从A、B中进一步作出选择,若①不能使a、b共线,则应从C、D中进一步作出选择.首先判定①能否使a、b共线.由向量方程组
可求得a=-
e,b=-
e.∴b=10a.∴a、b共线,因此可排除C、D.而由②可得λ、μ是相异实数,所以λ、μ不同时为0,不妨设μ≠0,∴b=-
a,故a、b共线,∴排除B,选择A.
答案:
A
2.设坐标平面上有三点A、B、C,i、j分别是坐标平面上x轴、y轴正方向上的单位向量,若向量
=i-2j,
=i+mj,那么是否存在实数m,使A、B、C三点共线?
方法一:
假设满足条件的m存在,由A、B、C三点共线,即
∥
,
∴存在实数λ,使
=λ
,i-2j=λ(i+mj),
∴m=-2,
即当m=-2时,A、B、C三点共线.
方法二:
假设满足条件的m存在,根据题意可知:
i=(1,0),j=(0,1),∴
=(1,0)-2(0,1)=(1,-2),
=(1,0)+m(0,1)=(1,m).
由A、B、C三点共线,即
故1×
m-1×
(-2)=0,解得m=-2.
∴当m=-2时,A、B、C三点共线.
例2如图1,已知在△ABC中,=a,=b,=c.若a·
c=c·
a.求证:
△ABC为正三角形.
图1
引导学生回顾,向量具有二重性,一方面具有“形”的特点,因此有了几何运算;
另一方面又具有一套优良的代数运算性质,因此又有了代数运算.对于这两种运算,前者难度大,灵活多变,对学生来说是个难点,后者学生感到熟悉,易于掌握,但应让学生明了,这两种方法都要掌握好,近几年高考题的解答都是以两种解法给出.本题给出的是三角形,对于某些几何命题的抽象的证明,自然可以转化为向量的几何运算问题来解决,请同学们在探究中要注意仔细体会,领悟其实质.教学中,教师要放手大胆地让学生自己去探究,鼓励学生从不同的角度去观察、去发现.真正做到一题多用,一题多变,串联知识、串联方法,使学生在探究过程中掌握了知识,提高了思维能力和复习效率.
证法一:
由题意得a+b+c=0,∴c=-(a+b).
又∵b·
a,∴c·
(a-b)=0.
∴-a2+b2=0.∴|a|2=|b|2,即|a|=|b|.
同理可得|c|=|b|,∴|a|=|b|=|c|.
∴△ABC为正三角形.
证法二:
由题意得a+b+c=0,∴a=-b-c,b=-a-c.
∴a2=b2+c2+2b·
c,b2=a2+c2+2a·
c.
而b·
a(已知),∴a2-b2=b2-a2.
∴a2=b2.∴|a|2=|b|2.∴|a|=|b|.
证法三:
如图2,以AB、BC为邻边作平行四边形ABCD,则=a,=-,
图2
∴=a-c.
又∵a·
c,∴b·
(a-c)=0.
∴b·
=0.∴b⊥.
∴平行四边形ABCD为菱形,∴AB=BC.同理可得BC=AC,
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