二次函数根的判别式韦达定理Word文档下载推荐.docx
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则
①
方程
有两个不相等的实数根
②
有两个相等的实数根
③
没有实数根.
若
,
为有理数,且
为完全平方式,则方程的解为有理根;
为完全平方式,同时
是
的整数倍,则方程的根为整数根.
说明:
(1)用判别式去判定方程的根时,要先求出判别式的值:
上述判定方法也可以反过来使用,当方程有两个不相等的实数根时,
;
有两个相等的实数根时,
没有实数根时,
(2)在解一元二次方程时,一般情况下,首先要运用根的判别式
判定方程的根的情况(有两个不相等的实数根,有两个相等的实数根,无实数根).当
时,方程有两个相等的实数根(二重根),不能说方程只有一个根.
①当
时
抛物线开口向上
顶点为其最低点;
②当
抛物线开口向下
顶点为其最高点.
3.一元二次方程的根的判别式的应用:
一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用:
(1)运用判别式,判定方程实数根的个数;
1
2
3若
,则
必有一根
4若
⑸韦达定理主要应用于以下几个方面:
1已知方程的一个根,求另一个根以及确定方程参数的值;
2已知方程,求关于方程的两根的代数式的值;
3已知方程的两根,求作方程;
4结合根的判别式,讨论根的符号特征;
5逆用构造一元二次方程辅助解题:
当已知等式具有相同的结构时,就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根,以便利用韦达定理;
⑤利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后,一定要验证方程的
.一些考试中,往往利用这一点设置陷阱.
例题
一、判断方程根的情况
【例1】不解方程,判别下列方程的根的情况:
(1)
;
(2)
(3)
。
【例2】不解方程,判别方程
的根的情况。
【例3】解关于
的方程
【例4】已知关于
①有两个相等的实数根.
求证:
关于
的一元二次方程
②必有两个相等的实数根.
【巩固】已知
,判断关于
的根的情况,并给出必要的说明.
【巩固】
(1998年山东省竞赛)设
为互不相等的非零实数,求证:
三个方程
不可能都有2个相等的实数根.
二、应用题
【例5】
(2006·
湛江市)近年来,我市开展以“四通五改六进村”为载体,以生态文明为主要特色的新农村建设活动取得了明显成效.下面是市委领导和市民的一段对话,请你根据对话内容,替市领导回答市民提出的问题(结果精确到0.1%).
全市一共有13233个自然村,2005年已建成生态文明村2315个,计划到2007年全市生态文明村数要达到自然村总数的24.4%
领导,按这个计划,从2005年到2007年,平均每年生态文明村增长率约是多少?
领导
市民
新疆)2004年,自治区党委、人民政府决定在乌鲁木齐、库尔勒等八个城市开办区内初中班,重点招收农牧民子女及其他家庭贫困的学生.某市2004年9月招收区内初中班学生50名,并计划在2006年9月招生结束后,使区内初中班三年招生总人数达到450名.若该市区内初中班招生人数平均每年比上年的增长率相同,求这个增长率.
【例6】
重庆市)机械加工需要拥有进行润滑以减少摩擦,某企业加工一台大型机械设备润滑用油90千克,用油的重复利用率为60%,按此计算,加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克.为了建设节约型社会,减少油耗,该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关.
(1)甲车间通过技术革新后,加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70千克,用油的重复利用率仍然为60%.问甲车间技术革新后,加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克?
(2)乙车间通过技术革新后,不仅降低了润滑用油量,同时也提高了用油的重复利用率,并且发现在技术革新的基础上,润滑用油量每减少1千克,用油量的重复利用率将增加1.6%.这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克.问乙车间技术革新后,加工一台大型机械设备润滑用油量是多少千克?
用油的重复利用率是多少?
【例7】
南安)某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售,一天可售出100件.后来经过市场调查,发现这种商品单价每降低1元,其销量可增加10件.
(1)求商场经营该商品原来一天可获利润多少元?
(2)设后来该商品每件降价
元,,商场一天可获利润y元.
①若商场经营该商品一天要获利润2160元,则每件商品应降价多少元?
②求出y与x之间的函数关系式,并通过画该函数图像的草图,观察其图像的变化趋势,结合题意写出当x取何值时,商场获利润不少于2160元?
【例8】
诸暨市)有一根竹竿,不知道它有多长.把竹竿横放在一扇门前,竹竿长比门宽多4尺;
把竹竿竖放在这扇门前,竹竿长比门的高度多2尺;
把竹竿斜放,竹竿长正好和门的对角线等长.问竹竿长几尺?
【例9】
广东省)将一条长为
的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.
(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?
(2)两个正方形的面积之和可能等于
吗?
若能,求出两段铁丝的长度;
若不能,请说明理由.
三、韦达定理
【例10】
广安市)已知:
的两边
的长是关于
的两个实数根,第三边BC的长为5.试问:
取何值时,
是以
为斜边的直角三角形?
【例11】已知关于
.
(1)若方程有两个相等的实数根,求
的值;
(2)若方程的两实数根之积等于
,求
的值.
【巩固】已知关于
(1)当
取何值时,方程有两个不相等的实数根?
(2)设
是方程的两根,且
的值。
【例12】
济南市)已知关于
,且满足
【例13】已知
是关于
的两个非零实数根,问:
与
能否同号?
若能同号请求出相应的
的取值范围;
若不能同号,请说明理由。
【巩固】证明:
无整数根。
【例14】已知
是一元二次方程
的两个实数根。
(1)是否存在实数
,使
成立?
若存在,求出
若不存在,请说明理由。
(2)求使
的值为整数的实数
的整数值。
的两个实数根的倒数和等于3,关于
有实根,且
为正整数,求代数式
作业题
1.已知关于
只有整数根,且关于
的两个实数根为
为整数时,确定
(2)在
(1)的条件下,若
=2,求
2.已知
的两个非零实根,问:
若能同号,请求出相应
3.设
是方程
的两根,则①
=;
=;
=。
4.以方程
的两根的倒数为根的一元二次方程是。
5.已知方程
的两实根差的平方为144,则
6.已知方程
的一个根是1,则它的另一个根是,
的值是。
7.反比例函数
的图象经过点
(
),其中
的两根,那么点
的坐标是。
8.已知
的两根,则
的值为。
9.不解方程,判别下列方程的情况:
(4)
(5)
(6)
10.练习:
不解方程,判别下列方程的根的情况。
11.(南通市)据2005年5月8日《南通日报》报道:
今年“五一”黄金周期间,我市实现旅游收入再创历史新高,旅游消费呈现多样化,各项消费所占的比例如图所示,其中住宿消费为3438.24万元。
(1)求我市今年“五一”黄金周期间旅游消费共多少亿元?
旅游消费中各项消费的中位数是多少万元?
(2)对于“五一”黄金周期间的旅游消费,如果我市2007年要达到3.42亿元的目标,那么2005年到2007年的平均增长率是多少?
2005年南通市“五一”黄金周旅游各项消费分布统计图:
12.(2006·
永州市)李大伯承包了一片荒山,在山上种植了一部分优质油桃,今年已进入第三年收获期.今年收获油桃6912千克,已知李大伯第一年收获的油桃重量为4800千克.试求去年和今年两年油桃产量的年平均增长率,照此增长率,预计明年油桃的产量为多少千克?
13.已知关于
……①有两个不相等的实数根,且关于
……②没有实数根,问:
取什么整数时,方程①有整数解?
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