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焦点
焦距
范围
顶点
实轴
虚轴
对称性
离心率
渐近线
(1)如何比较标准地在直角坐标系中画出双曲线的图像?
(2)双曲线的离心率的取值范围是什么?
离心率有什么作用?
(3)当
,双曲线有什么特点?
4.双曲线的方程的求法
(1)双曲线的方程与双曲线渐近线的关系
①已知双曲线段的标准方程是
(或
),则渐近线方程为________________________________________________________________;
②已知渐近线方程为
,则双曲线的方程可表示为__________________________。
(2)待定系数法求双曲线的方程
①与双曲线
有共同渐近线的双曲线的方程可表示为_______________________;
②若双曲线的渐近线方程是
,则双曲线的方程可表示为_____________________;
③与双曲线
共焦点的双曲线方程可表示为_______________________________;
④过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为______________________________________;
⑤与椭圆
有共同焦点的双曲线的方程可表示为______________________________________________________________________________。
5.双曲线离心率的有关问题
(1)
,
,它决定双曲线的开口大小,
越大,开口越大。
(2)等轴双曲线的两渐近线互相垂直,离心率
。
(3)双曲线离心率及其范围的求法。
①双曲线离心率的求解,一般可采用定义法、直接法等方法求解。
②双曲线离心率范围的求解,一般可以从以下几个方面考虑:
.与已知范围联系,通过求值域或解不等式来完成;
.通过判别式
;
.利用点在曲线内部形成的不等式关系;
.利用解析式的结构特点。
6、直线与双曲线的位置关系的判定及相关计算
(1)直线与双曲线的位置关系有:
____________、____________、____________
注意:
如何来判断位置关系?
(2)若斜率为k的直线被双曲线所截得的弦为AB,A、B两点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2),则相交弦长
_____________________
二、典型例题:
考点一:
双曲线的定义
例1已知动圆M与圆C1:
(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:
(x-4)2+y2=2内切,求动圆圆心M的轨迹方程.
变式训练:
由双曲线
=1上的一点P与左、右两焦点F1、F2构成△PF1F2,求△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点坐标.
巩固训练:
(1).F1、F2是双曲线
-
=1的焦点,点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9,求点P到焦点F2的距离.
(2).过双曲线x2-y2=8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上,若|PQ|=7,F2是双曲线的右焦点,则△PF2Q的周长是.
(3).一动圆与两定圆
和
都外切,则动圆圆心轨迹为
A.椭圆B.双曲线C.双曲线的一支D.抛物线
考点二:
双曲线的方程
例2根据下列条件,求双曲线的标准方程.
(1)与双曲线
=1有共同的渐近线,且过点(-3,2
);
(2)与双曲线
=1有公共焦点,且过点(3
,2).
已知双曲线的渐近线的方程为2x±
3y=0,
(1)若双曲线经过P(
,2),求双曲线方程;
(2)若双曲线的焦距是2
,求双曲线方程;
(3)若双曲线顶点间的距离是6,求双曲线方程.
(1)求与椭圆
共焦点且过点
的双曲线的方程;
(2)中心在原点,一个顶点的坐标为
且焦距与虚轴长之比为
,求双曲线的标准方程;
(3)已知双曲线的离心率
,经过点
,求双曲线的方程;
(4)与双曲线
有共同渐近线,且过点
的双曲线方程;
(5)已知双曲线
(a>
0,b>
0)的两条渐近线方程为
,若顶点到渐近线的距离为1,则双曲线方程为_________________.
(6).已知方程
表示双曲线,则
的取值范围是__________________.
(7).经过两点
的双曲线的标准方程为___________.
考点三:
双曲线的几何性质
例3双曲线C:
=1(a>0,b>0)的右顶点为A,x轴上有一点Q(2a,0),若C上存在一点P,使
·
=0,求此双曲线离心率的取值范围.
已知双曲线的中心在原点,焦点F1、F2在坐标轴上,离心率为
且过点P(4,-
).
(1)求双曲线方程;
(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:
=0;
(3)求△F1MF2的面积.
(1)已知双曲线
0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°
的直线与双曲线的一条渐近线平行,则此双曲线的离心率是:
A.1B.2C.3D.4
(2)已知双曲线
的两条渐近线的夹角为
,则双曲线的离心率为:
A.2B.
C.
D.
(3)设双曲线的—个焦点为F;
虚轴的—个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为_________.
(4)双曲线
的一个焦点为F(4,0),过双曲线的右顶点作垂直于x轴的垂线交双曲线的渐近线于A,B两点,O为为坐标原点,则△AOB面积的最大值为:
A.8B.16C.20D.24
考点四:
双曲线的离心率
例1、已知F1、F2分别是双曲线
的左、右焦点,过F1作垂直于X轴的直线与双曲线交于A、B两点,若△AF2B是直角三角形,求双曲线的离心率。
1、若△AF2B是等边三角形,则双曲线的离心率为__________。
2、若△AF2B是锐角三角形,则双曲线的离心率的取值范围为________。
3、若△AF2B是钝角三角形,则双曲线的离心率的取值范围为________。
1、已知F1、F2分别是双曲线
的左、右焦点,过F2作倾斜角为
的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,求双曲线的离心率的取值范围。
2、已知F1、F2分别是双曲线
的左、右焦点,过F2作垂直于渐近线的直线与双曲线的两支都相交,求双曲线的离心率的取值范围。
3、直线
与双曲线
没有公共点,则
的取值范围为_______,有两个公共点,则
的取值范围为_______,有一个公共点,则
的取值范围为_______,与左支有两个公共点,则
的取值范围为_______。
考点五:
双曲线中的焦点三角形
例、设F1和F2为双曲线
的两个焦点,P是双曲线上一点,已知∠F1PF2=600求△F1PF2的面积
设F1和F2为双曲线
的两个焦点,P是双曲线上一点,
已知∣PF1∣∣PF2∣=32,求∠F1PF2的余弦值与三角形F1PF2面积
1.双曲线
左焦点
的弦
长为6,则
(
为右焦点)的周长是____________
2、已知定点
,且
,动点
满足
,则
的最小值是.
3、设F1和F2为双曲线
的两个焦点,P为双曲线上一点,若∠F1PF2=900,则三角形F1PF2面积是
4、设F1和F2为双曲线
的两个焦点,P是双曲线上一点,已知∠F1PF2=600则P点到F1和F2两点的距离之和为___________
5、已知双曲线C
0)的两个焦点为F1(-2,0),F2(2,0),点P(3,
)在双曲线C上
(1)求双曲线C的方程
(2)记O在坐标原点,过Q(0,2)的直线L与双曲线C相交于不同的两点E,F,若△OEF的面积2
,求直线L的方程
考点六:
直线和双曲线的位置关系
例4.已知曲线
的离心率
,直线l过A(a,0)、B
两点,原点O到l的距离是
(1)求双曲线的方程;
(2)过点B作直线m交双曲线于M、N两点,若
,求直线m的方程。
直线
的右支交于不同的两点A、B.(Ⅰ)求实数k的取值范围;
(Ⅱ)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?
若存在,求出k的值;
若不存在,说明理由.
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